Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz, Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatlarının Hesaplanması.
Bu belli bir oranda bölme meselesi iki farklı şekilde karşımıza çıkacak. Birincisi içten bölme, ikincisi dıştan bölme.
İlk olarak içten bölmeyi ele alarak başlayalım. Şimdi bir C noktamız var arkadaşlar ve uç noktaları A(X1,Y1) ve B(X2,Y2) olan bir AB doğru parçasını içten bölüp, AC bölü CB oranı eşittir k olacak biçimde bir C(X0,Y0) noktasından bahsediyoruz.
İçten bölme meselesi ne demek, tekrar söyleyeyim C noktasının AB doğru parçasının iç kısmında yer alması yani elemanı olması. Burada biz C noktasının koordinatlarını şöyle buluyoruz.
Tabii buradaki AC bölü CB oranının k olması bizim için önemli, buradaki k işimize yarayacak, diyeceğiz ki ilk olarak noktamızın A koordinatını ele alacağım A artı k çarpı B bölü k artı 1 şeklinde C noktasının koordinatları bulacağız.
Tabii burada apsisi mi yoksa ordinatı mı buluyoruz?
Bu bizim için önemli.
Bakın şurada biraz daha detaylı anlatayım.
A(X1,Y1) sol uç, B(X2,Y2) de sağ ucumuz olsun.
Bakın C(X0,Y0) koordinatlarını aradığım nokta bu, C noktası, AB'nin iç bölgesinde yer alıyor yani AB'nin elemanı konumunda şu anda ve buradaki AC'nin BC'ye oranı eşittir k, k oranı bizim için önemli.
Şimdi burada mesela X0'ı arıyorum yani C'nin apsisini arıyorum, ne yapacağım biliyor musunuz?
A noktasının apsisini alacağım, k çarpı B noktasının apsisini ekleyeceğim buna yani X1 artı k çarpı X2 bölü k artı 1, bu bulduğumuz şey C noktasının apsisi olacak.
Diğer taraftan ordinatını bulurken Y1'i alacağım ele bu sefer, Y1 artı K çarpı Y2 yani Y2'nin, daha doğrusu B noktasının ordinatının k katını almış olacağız yine bunu da k+1'e bölerek C noktasının ordinatını da bulmuş olacağım sevgili arkadaşlar.
Şimdi bir not diyelim, orantılı bölme soruları oran orantı kullanılarak da çözülebilir yani doğrusal noktalar arasındaki koordinat değişimleri bu noktalar arasındaki uzaklıkla doğru orantılı olarak ya artar ya da azalır.
Mesela bir örnekle ne demek istediğimi açıklamaya çalışayım.
Sevgili gençler burada B noktasının koordinatlarını arıyorum A ve C, sağ ve sol uç daha doğrusu önce sol sonra sağ, sol ucu A, sağ ucu C olan bir bu sefer AC parçası, B bunları içten bölmüş, bakın hemen ne yapıyorum biliyor musunuz?
-4'ten hocam diyorsunuz, evet.
Peki hangi uzunlukta bu k'da 3 artıyor anlamına gelir.
Ben bunları apsis için konuşuyorum.
Peki mesela -4, A noktası buradan B'ye kadar 3 k'lık bir yolumuz var.
K'da 3 artan bir adam 3 k'da dokuz artar.
Dolayısıyla eksi 4'ü 9 arttırarak x'i bulabilirsiniz siz. X neymiş -4 artı 9'dan 5'miş, sevgili arkadaşlar. Bunun aynısını siz ordinat için de yapabilirsiniz yani oran orantı yapıyorum aslında şu anda değil mi?
Nasıl bulacağım?
Diyeceğim ki -7'den özür dilerim +7'den -3'e kadar artmış mı, azalmış mı?
Azalmış, kaç azalmış?
10 azalmış, -10'la gösterdim benim yolum.
3k'da sevgili gençler 6 azalacak, daha doğrusu 7'ydi ya y'yi bulurken 7 değil 6 azaltacağım ve 1 olarak bulmuş olacam.
Bakın apsisini zaten x eşittir 5 bulmuştum.
Ordinatı da y eşittir 1'miş daha doğrusu B noktasının koordinatları 5'e 1 olarak ifade edilebilirmiş. Bu şekilde bir önceki formülü kullanmadan da oran orantıyla bu sorular çözülebilir, diyelim ve devam edelim.
Bir başka yol daha göstereceğim şimdi bu orantılı bölme sorularında benzerlik de kullanabilirsiniz.
A -4'e 7, C 11'e -3 yine aynı soru fakat bu sefer farklı bir yoldan çözeceğim.
Şimdi 3k'ya 2k'yı görüyorsunuz yine şekli biraz yukarı kaldırdım diğer ucundan ya da A'yı aşağı indirdim gibi düşünün ve şu nokta noktaları çizerek iki tane üçgen oluşturdum orada şimdi yöndeş açıdan şunlar zaten alfaya alfa olur. Aynı şekilde betaya beta oldu, 90'lar da ortak açı zaten.
Aşağıda ve yukarıda iki tane gördüğünüz, içini boyadığımız iki tane dik üçgen var. Bunlar benzer, şimdi hemen mesela apsisteki değişime bakmış olalım.
B'nin apsisi x, A'nınki -4 yani demek ki şu iki nokta arasındaki uzaklık, aşağıda gösterdiğimiz beyaz uzaklık olmuş olacak.
Beyaz doğrunun uzunluğu, yani x eksi, -4 burası x artı 4 kadar olur. Aynı şekilde ordinatlar farkı da y -7 olacak, şuradaki uzunluğumuz.
Devam ediyorum üstteki üçgendeyim, hemen apsisteki değişime bakacağım nedir o?
Bu sefer 11'den x'i çıkarıyorum 11 eksi x, ordinattaki değişime bakalım, eksi 3'den eksi y'yi çıkaracağız.
-3 -y ve bitti.
Mesela aşağıdaki üçgende 90'ın karşısında ne var ,sevgili gençler. normal benzerlik yapar gibi yapacağım, bir sağına bir soluna yazalım şimdi.
Mesela alfada aşağıda y-7 var.
Yukarıda -3 -y var.
Beta'ya bakalım, x+4 var aşağıda, yukarıda ise betada 11-x var. Şunu zaten şu k'lar kısaldı mesela önce şu ikisine bakalım, içler dışlar çarpımı yapıyorum hemen.
2y -14 eşittir -9 -3y.
Buradan ne oldu?
5y eşittir diğer taraftan hemen şu ikisine bakalım sevgili arkadaşlar.
İçler dışlar çarpımı yapılırsa 33 -3x eşittir 2x+8 buradan yine şu kısım 25 olur. Eşittir 5x dolayısıyla x eşittir 5 olarak bulunmuş olur, yani B noktamızın koordinatları neymiş yine?
Beşe bir olarak bulunmuş olur, sevgili gençler. Evet bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz, Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatlarının Hesaplanması.
Bu belli bir oranda bölme meselesi iki farklı şekilde karşımıza çıkacak. Birincisi içten bölme, ikincisi dıştan bölme.
İlk olarak içten bölmeyi ele alarak başlayalım. Şimdi bir C noktamız var arkadaşlar ve uç noktaları A(X1,Y1) ve B(X2,Y2) olan bir AB doğru parçasını içten bölüp, AC bölü CB oranı eşittir k olacak biçimde bir C(X0,Y0) noktasından bahsediyoruz.
İçten bölme meselesi ne demek, tekrar söyleyeyim C noktasının AB doğru parçasının iç kısmında yer alması yani elemanı olması. Burada biz C noktasının koordinatlarını şöyle buluyoruz.
Tabii buradaki AC bölü CB oranının k olması bizim için önemli, buradaki k işimize yarayacak, diyeceğiz ki ilk olarak noktamızın A koordinatını ele alacağım A artı k çarpı B bölü k artı 1 şeklinde C noktasının koordinatları bulacağız.
Tabii burada apsisi mi yoksa ordinatı mı buluyoruz?
Bu bizim için önemli.
Bakın şurada biraz daha detaylı anlatayım.
A(X1,Y1) sol uç, B(X2,Y2) de sağ ucumuz olsun.
Bakın C(X0,Y0) koordinatlarını aradığım nokta bu, C noktası, AB'nin iç bölgesinde yer alıyor yani AB'nin elemanı konumunda şu anda ve buradaki AC'nin BC'ye oranı eşittir k, k oranı bizim için önemli.
Şimdi burada mesela X0'ı arıyorum yani C'nin apsisini arıyorum, ne yapacağım biliyor musunuz?
A noktasının apsisini alacağım, k çarpı B noktasının apsisini ekleyeceğim buna yani X1 artı k çarpı X2 bölü k artı 1, bu bulduğumuz şey C noktasının apsisi olacak.
Diğer taraftan ordinatını bulurken Y1'i alacağım ele bu sefer, Y1 artı K çarpı Y2 yani Y2'nin, daha doğrusu B noktasının ordinatının k katını almış olacağız yine bunu da k+1'e bölerek C noktasının ordinatını da bulmuş olacağım sevgili arkadaşlar.
Şimdi bir not diyelim, orantılı bölme soruları oran orantı kullanılarak da çözülebilir yani doğrusal noktalar arasındaki koordinat değişimleri bu noktalar arasındaki uzaklıkla doğru orantılı olarak ya artar ya da azalır.
Mesela bir örnekle ne demek istediğimi açıklamaya çalışayım.
Sevgili gençler burada B noktasının koordinatlarını arıyorum A ve C, sağ ve sol uç daha doğrusu önce sol sonra sağ, sol ucu A, sağ ucu C olan bir bu sefer AC parçası, B bunları içten bölmüş, bakın hemen ne yapıyorum biliyor musunuz?
-4'ten hocam diyorsunuz, evet.
Peki hangi uzunlukta bu k'da 3 artıyor anlamına gelir.
Ben bunları apsis için konuşuyorum.
Peki mesela -4, A noktası buradan B'ye kadar 3 k'lık bir yolumuz var.
K'da 3 artan bir adam 3 k'da dokuz artar.
Dolayısıyla eksi 4'ü 9 arttırarak x'i bulabilirsiniz siz. X neymiş -4 artı 9'dan 5'miş, sevgili arkadaşlar. Bunun aynısını siz ordinat için de yapabilirsiniz yani oran orantı yapıyorum aslında şu anda değil mi?
Nasıl bulacağım?
Diyeceğim ki -7'den özür dilerim +7'den -3'e kadar artmış mı, azalmış mı?
Azalmış, kaç azalmış?
10 azalmış, -10'la gösterdim benim yolum.
3k'da sevgili gençler 6 azalacak, daha doğrusu 7'ydi ya y'yi bulurken 7 değil 6 azaltacağım ve 1 olarak bulmuş olacam.
Bakın apsisini zaten x eşittir 5 bulmuştum.
Ordinatı da y eşittir 1'miş daha doğrusu B noktasının koordinatları 5'e 1 olarak ifade edilebilirmiş. Bu şekilde bir önceki formülü kullanmadan da oran orantıyla bu sorular çözülebilir, diyelim ve devam edelim.
Bir başka yol daha göstereceğim şimdi bu orantılı bölme sorularında benzerlik de kullanabilirsiniz.
A -4'e 7, C 11'e -3 yine aynı soru fakat bu sefer farklı bir yoldan çözeceğim.
Şimdi 3k'ya 2k'yı görüyorsunuz yine şekli biraz yukarı kaldırdım diğer ucundan ya da A'yı aşağı indirdim gibi düşünün ve şu nokta noktaları çizerek iki tane üçgen oluşturdum orada şimdi yöndeş açıdan şunlar zaten alfaya alfa olur. Aynı şekilde betaya beta oldu, 90'lar da ortak açı zaten.
Aşağıda ve yukarıda iki tane gördüğünüz, içini boyadığımız iki tane dik üçgen var. Bunlar benzer, şimdi hemen mesela apsisteki değişime bakmış olalım.
B'nin apsisi x, A'nınki -4 yani demek ki şu iki nokta arasındaki uzaklık, aşağıda gösterdiğimiz beyaz uzaklık olmuş olacak.
Beyaz doğrunun uzunluğu, yani x eksi, -4 burası x artı 4 kadar olur. Aynı şekilde ordinatlar farkı da y -7 olacak, şuradaki uzunluğumuz.
Devam ediyorum üstteki üçgendeyim, hemen apsisteki değişime bakacağım nedir o?
Bu sefer 11'den x'i çıkarıyorum 11 eksi x, ordinattaki değişime bakalım, eksi 3'den eksi y'yi çıkaracağız.
-3 -y ve bitti.
Mesela aşağıdaki üçgende 90'ın karşısında ne var ,sevgili gençler. normal benzerlik yapar gibi yapacağım, bir sağına bir soluna yazalım şimdi.
Mesela alfada aşağıda y-7 var.
Yukarıda -3 -y var.
Beta'ya bakalım, x+4 var aşağıda, yukarıda ise betada 11-x var. Şunu zaten şu k'lar kısaldı mesela önce şu ikisine bakalım, içler dışlar çarpımı yapıyorum hemen.
2y -14 eşittir -9 -3y.
Buradan ne oldu?
5y eşittir diğer taraftan hemen şu ikisine bakalım sevgili arkadaşlar.
İçler dışlar çarpımı yapılırsa 33 -3x eşittir 2x+8 buradan yine şu kısım 25 olur. Eşittir 5x dolayısıyla x eşittir 5 olarak bulunmuş olur, yani B noktamızın koordinatları neymiş yine?
Beşe bir olarak bulunmuş olur, sevgili gençler. Evet bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir doğru parçasını içten bölen noktanın koordinatları nasıl bulunur?
Bir C(x0, y0)$ noktası A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarının oluşturduğu [AB] doğru parçasını 
olacak şekilde içten bölüyorsa, yani C noktası AB doğru parçasının bir elemanı ise,
şeklinde hesaplanır.
oluyorsa C noktasının koordinatları formülleri =
olur.
Not: Doğru parçasını içten bölen nokta hesaplama soruları oran - orantı kullanılarak da çözülebilir. Doğrusal noktalar arasındaki koordinat değişimleri bu noktalar arasındaki uzaklıkla doğru orantılı artar veya azalır.
