Merhabalar arkadaşlar.
Şimdi 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklemleri inceleyeceğiz.
Bakalım, a ve b birer gerçek sayı ve a da burada sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 genel gösterimiyle ifade edilebilen denklemlere biz birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem diyoruz.
Buradaki bilinmeyenimiz x, a ve b burada sabit sayılardır. Bilinmeyen olan x'tir, yani değişkendir bu. Bunun üstünde bir olduğu için biz birinci dereceden deriz.
Eğer iki olsaydı iki derdik, üç olsaydı üçüncü dereceden derdik.
ax+b=0.
Bu şekildeki denklemlerin çözümleri ile ilgileneceğiz biz.
Burada a ve b'ye denklemin katsayıları denecek.
Bu "katsayı" kelimesiyle çok fazla kez karşılaşacaksınız.
X'e de burada değişken veya bilinmeyen de denilebilir.
Biz değişken yazalım. Peki, denklemi sağlayan x değişkenine denklemin kökü, köklerden oluşan kümeye ise çözüm kümesi diyeceğiz.
Peki biz bunu nasıl göstereceğiz?
Çözüm kümesinin baş harfleriyle yani Ç.K.
ile göstereceğiz ve küme işareti açıp orada hangi x değerlerini bulduysak onu yazacağız.
Şimdi mesela burada tabii bizim bulmaya çalıştığımız şeyi bir inceleyelim.
ax+b=0.
Şimdi buradaki çözüm kümesini bulabilmek için x'i yalnız bırakmamız lazım. O zaman b'yi ilk başta karşı tarafa alıyorum. Yani ax=-b diyorum burada, genel haliyle çözüyorum bunu şu anlık.
Daha sonra her tarafı a'ya bölersem x=-b/a kalır.
Yani biz burada aslında istediğimiz x'in yalnız kalması ve sağ tarafta da ona göre uygun bir sayı bulmak.
O zaman biz bunu bulduktan sonra diyeceğiz ki bu -b/a denklemin köküdür, denklemin sıfırı da denir buna ve çözüm kümesinde şöyle gösterilir: Ç.K.
denilir, bir tane bulduğumuz için liste yöntemiyle göstereceğiz ve -b/a şeklinde biz bunu yazmış olacağız. Peki şimdi örneklerimize bakalım.
Aşağıdakilerden hangileri 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklem belirtir?
İlk önce denklem belirtiyor mu buna bakacağız bakalım.
3x+7=0 bakınız x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir, yani bundan yana bir sıkıntı yok.
Peki ikincisi, 2xkare + x + 1 = 0.
Bakınız şimdi burada 2xkare var, yani bu artık ikinci dereceden bir denklem olduğu için o zaman biz bunu kabul edemeyiz.x+3y-2=0.
Burada x de bir değişken, y de bir değişken bu artık 1.
dereceden iki bilinmeyenli olur, yani bir bilinmeyenli olmaz. O yüzden bunu da kabul edemeyiz.
2x/3 - 4 = 0 .
X'in önündeki katsayı reel sayı olduğu için herhangi bir sıkıntı yok, kesirli yazılabilir. -4 de olur çünkü reel bir sayıdır.
O zaman demek ki burada herhangi bir sıkıntı çıkmadığı için biz bunu denklem olarak kabul edebiliriz, yani birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olarak.
Peki sonuncusu, 2b+5=0.
Bu şimdi dümdüz duruyor, herhangi bir eşitlik yok.
Herhangi bir eşitlik olmadığı için biz bu ifadeye b değişkenine bağlı bir cebirsel ifade deriz. Bu bir denklem belirtmez.
Denklem belirtmesi için burada eşittir sıfır gibi bir şey olması gerekirdi.
O yüzden bunu da kabul edemeyiz. Peki diğer bir örneğimiz, a elemanıdır reel sayılar olmak üzere x değişkenine bağlı 1. dereceden bir bilinmeyenli bir eşitlik var burada, denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Şimdi x değişkenine bağlı 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklem istiyoruz ama incelediğimizde burada x kareli bir ifade var.
Biz bunu istemiyoruz.
Biz bunu istemiyorsak demek ki bunun önündeki katsayının sıfır olması gerekir.
Bunun önündeki katsayı sıfır olursa gider.
O zaman demek ki biz buradan a-5 ' in sıfır olmasını istiyoruz Yani aslında a'nın yerine 5 yazmak istiyoruz biz. Peki 5'i yazdığımızda bakınız bu gitti zaten. Şurada ne oldu?
5 yazdığımızda, 7x eşittir, burada 5 yazdığımızda 14 oldu.
Her tarafı 7'ye bölecek olursak biz ne yapmış oluruz?
x=2'yi bulmuş oluruz yani bu x=2 denklemin köküdür, denklemin sıfırdır.
Burada sadece x değerini sormuş ama biz çözüm kümesi şeklinde de yazalım. Çözüm kümesinde biz buradaki 2'yi bu şekilde yazmış oluruz.
Peki son örneğimiz, b elemanıdır reel sayılar olmak üzere y değişkenine bağlı 1. dereceden bir bilinmeyenli bir eşitlik var burada. "Bu denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi nedir?
" diyor.
Şimdi bakınız burada y değişkenine bağlı istiyoruz.
Şimdi y burada, ama x de var.
O zaman demek ki x'i istemiyoruz çünkü x de olursa burada eğer, bu birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olur.
Onlar sonra incelenecek.
O yüzden biz burada x'in gitmesini istiyoruz.
X'in gitmesi için de onun önündeki katsayının sıfır olması gerekir.
Yani buradaki b-3'ün sıfır olması gerekir ve eksi üçü de karşıya aldığımızda b'nin yerine 3 yazacağız demektir bu.
Yazdık, gitti ve burada b'nin yerine 3 yazdık.9+2 = 11. isteniyor.
O zaman ne yapacağız?
Ç.K.
diyeceğiz, burada 2'yi bulduğumuz için buraya 2'yi yazdığımızda soruyu bitirmiş olacağız.
Şimdi 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklemleri inceleyeceğiz.
Bakalım, a ve b birer gerçek sayı ve a da burada sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 genel gösterimiyle ifade edilebilen denklemlere biz birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem diyoruz.
Buradaki bilinmeyenimiz x, a ve b burada sabit sayılardır. Bilinmeyen olan x'tir, yani değişkendir bu. Bunun üstünde bir olduğu için biz birinci dereceden deriz.
Eğer iki olsaydı iki derdik, üç olsaydı üçüncü dereceden derdik.
ax+b=0.
Bu şekildeki denklemlerin çözümleri ile ilgileneceğiz biz.
Burada a ve b'ye denklemin katsayıları denecek.
Bu "katsayı" kelimesiyle çok fazla kez karşılaşacaksınız.
X'e de burada değişken veya bilinmeyen de denilebilir.
Biz değişken yazalım. Peki, denklemi sağlayan x değişkenine denklemin kökü, köklerden oluşan kümeye ise çözüm kümesi diyeceğiz.
Peki biz bunu nasıl göstereceğiz?
Çözüm kümesinin baş harfleriyle yani Ç.K.
ile göstereceğiz ve küme işareti açıp orada hangi x değerlerini bulduysak onu yazacağız.
Şimdi mesela burada tabii bizim bulmaya çalıştığımız şeyi bir inceleyelim.
ax+b=0.
Şimdi buradaki çözüm kümesini bulabilmek için x'i yalnız bırakmamız lazım. O zaman b'yi ilk başta karşı tarafa alıyorum. Yani ax=-b diyorum burada, genel haliyle çözüyorum bunu şu anlık.
Daha sonra her tarafı a'ya bölersem x=-b/a kalır.
Yani biz burada aslında istediğimiz x'in yalnız kalması ve sağ tarafta da ona göre uygun bir sayı bulmak.
O zaman biz bunu bulduktan sonra diyeceğiz ki bu -b/a denklemin köküdür, denklemin sıfırı da denir buna ve çözüm kümesinde şöyle gösterilir: Ç.K.
denilir, bir tane bulduğumuz için liste yöntemiyle göstereceğiz ve -b/a şeklinde biz bunu yazmış olacağız. Peki şimdi örneklerimize bakalım.
Aşağıdakilerden hangileri 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklem belirtir?
İlk önce denklem belirtiyor mu buna bakacağız bakalım.
3x+7=0 bakınız x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir, yani bundan yana bir sıkıntı yok.
Peki ikincisi, 2xkare + x + 1 = 0.
Bakınız şimdi burada 2xkare var, yani bu artık ikinci dereceden bir denklem olduğu için o zaman biz bunu kabul edemeyiz.x+3y-2=0.
Burada x de bir değişken, y de bir değişken bu artık 1.
dereceden iki bilinmeyenli olur, yani bir bilinmeyenli olmaz. O yüzden bunu da kabul edemeyiz.
2x/3 - 4 = 0 .
X'in önündeki katsayı reel sayı olduğu için herhangi bir sıkıntı yok, kesirli yazılabilir. -4 de olur çünkü reel bir sayıdır.
O zaman demek ki burada herhangi bir sıkıntı çıkmadığı için biz bunu denklem olarak kabul edebiliriz, yani birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olarak.
Peki sonuncusu, 2b+5=0.
Bu şimdi dümdüz duruyor, herhangi bir eşitlik yok.
Herhangi bir eşitlik olmadığı için biz bu ifadeye b değişkenine bağlı bir cebirsel ifade deriz. Bu bir denklem belirtmez.
Denklem belirtmesi için burada eşittir sıfır gibi bir şey olması gerekirdi.
O yüzden bunu da kabul edemeyiz. Peki diğer bir örneğimiz, a elemanıdır reel sayılar olmak üzere x değişkenine bağlı 1. dereceden bir bilinmeyenli bir eşitlik var burada, denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Şimdi x değişkenine bağlı 1.
dereceden bir bilinmeyenli denklem istiyoruz ama incelediğimizde burada x kareli bir ifade var.
Biz bunu istemiyoruz.
Biz bunu istemiyorsak demek ki bunun önündeki katsayının sıfır olması gerekir.
Bunun önündeki katsayı sıfır olursa gider.
O zaman demek ki biz buradan a-5 ' in sıfır olmasını istiyoruz Yani aslında a'nın yerine 5 yazmak istiyoruz biz. Peki 5'i yazdığımızda bakınız bu gitti zaten. Şurada ne oldu?
5 yazdığımızda, 7x eşittir, burada 5 yazdığımızda 14 oldu.
Her tarafı 7'ye bölecek olursak biz ne yapmış oluruz?
x=2'yi bulmuş oluruz yani bu x=2 denklemin köküdür, denklemin sıfırdır.
Burada sadece x değerini sormuş ama biz çözüm kümesi şeklinde de yazalım. Çözüm kümesinde biz buradaki 2'yi bu şekilde yazmış oluruz.
Peki son örneğimiz, b elemanıdır reel sayılar olmak üzere y değişkenine bağlı 1. dereceden bir bilinmeyenli bir eşitlik var burada. "Bu denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi nedir?
" diyor.
Şimdi bakınız burada y değişkenine bağlı istiyoruz.
Şimdi y burada, ama x de var.
O zaman demek ki x'i istemiyoruz çünkü x de olursa burada eğer, bu birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olur.
Onlar sonra incelenecek.
O yüzden biz burada x'in gitmesini istiyoruz.
X'in gitmesi için de onun önündeki katsayının sıfır olması gerekir.
Yani buradaki b-3'ün sıfır olması gerekir ve eksi üçü de karşıya aldığımızda b'nin yerine 3 yazacağız demektir bu.
Yazdık, gitti ve burada b'nin yerine 3 yazdık.9+2 = 11. isteniyor.
O zaman ne yapacağız?
Ç.K.
diyeceğiz, burada 2'yi bulduğumuz için buraya 2'yi yazdığımızda soruyu bitirmiş olacağız.
Sıkça Sorulan Sorular
Birinci dereceden denklemler nelerdir?
a ve b birer gerçek sayı ve a ≠ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 genel gösterimi ile ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
a ve b denklemin katsayılarıdır.
x denklemin değişkenidir.
Denklem çözme adımları nelerdir?
Denklem çözerken aşağıda yazılan noktalara dikkat etmelisiniz:
- Örneğin, 4x = 1 basit denklemi x = 1 – 4 şeklinde düşünülebiliyor, fakat bu yanlış bir yaklaşım. Çünkü x bilinmeyeni 4 ile çarpılmış durumdadır. Eşitliğin diğer tarafına 4’ü yalnız başına geçiremeyiz! Bu denklemde x bilinmeyenimiz her iki tarafı 4’e bölersek x = ¼ olacaktır.
- 2x – 6 = 4 basit denklem örneği gibi bir bilinmeyenli denklemleri çözerken de Eşitliğin Korunumu İlkesi size yardımcı olacaktır. Eğer bilinmeyenleri tek başına bırakırsak kolayca x’in ne olduğunu bulabiliriz. O halde şöyle yapabiliriz: 2x - 6 + 6 = 4 + 6 ifadesi yine denklemimize eşit olacaktır. Bu durumda 2x = 10 ifadesi karşımıza çıkar ve x bilinmeyeni x = 5 olmuş olur.
Çözüm kümesi nedir?
Denklemi sağlayan x değişkenine denklemin kökü denir. Köklerden oluşan kümeye ise denklemin çözüm kümesi denir.
Çözüm kümesi bulma örnekleri ile konumuza devam edelim.
ax + b = 0 ise ax = -b yazabiliriz.
ax + b = 0 denkleminin çözüm kümesi dir.
a ≠ 0 ve ax + b = 0 ise ax + b = 0 denkleminin bir kökü vardır.
a = 0 ve b = 0 ise denklemin sonsuz kökü vardır.
a = 0 ve b ≠ 0 ise denklem 0.x + b'den b = 0 olur fakat b ≠ 0 olduğunu biliyoruz. Bu yüzden denklemin çözüm kümesi boş diyebiliriz. Çözüm kümesi boş küme ise Ç = Ø şeklinde gösterilir.
