Merhabalar arkadaşlar, bölme ve bölünebilme kuralları konusuna giriş yapacağız ama daha önce bölme algoritmasını görmemiz lazım.
A, B, C ve K tam sayılar ve B de sıfırdan farklı olmak üzere bizim burada gördüğümüz bu ifadeye biz bölme algoritması deriz ve buradaki gözüken A, B, C ve K'ların isimleri var.
Mesela ilk olarak buradaki A'nın ismini biz bölünen deriz.
Bölünen ismini alacak, bu bölüneni biz bölüyoruz yani B bölen adını alacak.
Daha sonra böldüğümüzde bir sonuç gelecek, bu bölüm olacak ve daha sonra eğer tam bölünmezse de kalan gelecek burada da kalan ismini almış olacak.
Buardaki isim önemli.
İşte buradaki isimlerin sağladığı bir özdeşlik var, bölme özdeşliği dediğimiz.
O da nedir?
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde.
Yani biz burada gördüklerimizden bölüneni biz şu ikisini çarpıp daha sonra alt taraftaki kalanı eklediğimizde elde edebiliyoruz.
Burada bir kuralımız var.
Bu kuralımız da şöyledir: Kalan dediğimiz sayı sıfırdan daha küçük olamaz.
Yani en küçük 0 olabilir ve en büyük de bölenin bir küçüğü olmak zorunda.
Yani bölene eşit olamaz, bölenden daima küçük olmak zorunda burada.
Çünkü böleni geçtiğinde biz bunu hala daha bölmeye devam ederiz yani en son kalana ulaşmış olmayız ve burada da en son üçüncü olarak da .......
ise A sayısı B ile tam bölünür diyor.
Nasıl A sayısı B ile tam bölünür?
Buradaki kalanımız 0 olursa eğer kalanımız sıfır olduğunda biz burada kalansız böldüğünü yani A sayısının B ile tam bölündüğünü söylemiş oluruz.
Şimdi bunun örneklerine geçelim, şimdi ilk örneğimiz A 10'a bölünmüş x eksi 1 bölümü gelmiş ve x kare kalanı gelmiş.
Yandaki bölme işlemine göre A'nın alabileceği en büyük tam sayı değerinin kaç olduğunu soruyor.
Şimdi ilk olarak biz burada direkt olarak bir bölüm özdeşliğini yazalım.
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde olacak ve burada benim bildiğim bir kural kural var.
Buradaki x kare olan kalan buradaki bölenden büyük olamaz yani x kare burada küçüktür 10 olacak.
E peki biz bunların tam sayı olduklarını biliyoruz.
O zaman ne diyeceğiz?
x karenin 10'dan küçük olduğunu söylüyorsak x'in olabildiğince en büyük sayı verelim ki A sayısı da büyüsün.
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri burada 3'tür.
Çünkü 3'ün karesi burada ki buraya x'lerin yerine 3 yazdığımızda biz A'nın en büyük değerini elde etmiş oluruz.
O zaman A eşittir diyorum 10 çarpı x'in yerine 3 yazdığımızda karesinden de burada 9 gelecek.
Yani demek ki 20 artı etmiş oluyoruz.
Peki diğer bir örneğimiz, a, b ve c pozitif tam sayıdır diyor.
Burada a'yı b'ye bölmüş 3 bölümü gelmiş ve 2 kalanı gelmiş.
Burada da b'yi c'ye bölmüş, 4 bölümü ve 1 kalanı gelmiş.
Buradaki bölme işlemlerine göre a'nın c türünden eşiti bizi soruluyor.
Şimdi bakınız a'nın c türünden eşitini bulabilmemiz için a ile c arasında bir bağlantı bulmamız lazım.
a burada, c de burada.
Bunların bağlantılarını bulabilmek için ben ayrı ayrı bunların özdeşliklerini yazmak istiyorum.
Yani ilk olarak birincisini yazacak olursak yani şuna birincisi şuna da ikincisi diyecek olursak birincisi için yazdığımız özdeşlik a eşittir b çarpı 3 artı 2 olacak.
Daha sonra ikincisi için yazdığımız özdeşlik de bu sefer b eşittir c çarpı 4 artı 1 olacak.
Bakınız a ile c arasındaki bağlantıyı kurmak istiyorum, o zaman demek ki buradaki b'lerin gitmesini istiyorum ben aslında.
O zaman ne yapalım?
b'nin burada 4c artı 1 olduğunu biliyorsak gelelim buradaki 4c artı şunu elde edelim: a eşittir diyelim b gördük artık 4c artı 1 yazıyoruz parantez içinde yazdım bunu ve yanında 3 çarpanı var burada ve artı 2.
E daha sonra buradaki işlemleri biraz ilerletelim, 3'ü dağıtıyorum burada 12c artı 3 gelecek.
Bir de artı 2 de buradan artı 5 gelmiş oldu.
Bakınız a'nın c türünden eşiti 12c artı 5 olarak bulunmuş olur.
Evet şimdi son örneğimiz, toplamları bölündüğünde bölüm 10 kalan 2 oluyor.
Buna göre küçük sayı kaçtır?
Şimdi ilk olarak ben diyorum ki bir büyük sayı var benim elimde, büyük sayı.
Daha sonra bir de küçük sayı var diyorum.
Çünkü bunların neler olduğunu bilmiyorum.
Neler olduklarını bilmediğim için büyük sayıya x demek istiyorum küçük sayıya da y demek istiyorum.
Burada tek değişken şeklinde de çözülür ama iki değişkenden daha güzel gelecek burada.
Şimdi büyüğe x dedik, küçüğe y dedik.
Bunların toplamlarının x artı y'nin 145 olduğunu not alabiliriz burada.
Şimdi büyüğü küçüğüne böldüğünde bölüm 10 kalan 2 gelmiş, yani aslında şunu söylemeye çalışıyor: x'i y'ye böldüm bölüm 10 geldi, en son da bu işlem yapıldıktan sonra kalan 2 geldi diyor.
Buradan da bir özdeşlik yazabiliyoruz.
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde o zaman demek ki bunu da buradaki denklemin altına yazayım.
Yani şöyle yapayım: x eşittir hale getirmiş olayım.
Şimdi küçük sayıyı istiyoruz yani büyük sayıdan bizim kurtulmamız lazım, nasıl kurtulabiliriz?
Burada x gördüğümüz yere 10y artı 2 eşitliğini yazarak yani şurada yerine yazdığımızda artık tek değişkene bağlı bir denklem gelir ki oradan çözeriz.
Yazıyorum, 10y artı 2'yi yazdım oradaki x'in yerine ve daha sonra bir de zaten y vardı.
Bunun eşiti de 145, peki ne oldu burası?
tarafa aldığımızda 11y'nin 143'e eşit olduğunu ve her tarafı 11'e böldüğümüzde y'nin de burada kaç 13 evet 13 geldiğini söylemiş oluruz.
y zaten küçük sayıydı.
Bize de zaten küçük sayı soruluyor.
O zaman demek ki cevabımız burada 13 olarak olmuş olur.
Eğer büyük sayıyı sormuş olsaydı buradaki denklemde y'nin yerine 13 yazarak işlemi yapardık ve bulurduk.
Hatta yazmış olalım, 13'ü yazdık karşıya attık.
x buradan ne gelir?
132 gelecektir yani büyük sayıyı da bulmuş olduk.
A, B, C ve K tam sayılar ve B de sıfırdan farklı olmak üzere bizim burada gördüğümüz bu ifadeye biz bölme algoritması deriz ve buradaki gözüken A, B, C ve K'ların isimleri var.
Mesela ilk olarak buradaki A'nın ismini biz bölünen deriz.
Bölünen ismini alacak, bu bölüneni biz bölüyoruz yani B bölen adını alacak.
Daha sonra böldüğümüzde bir sonuç gelecek, bu bölüm olacak ve daha sonra eğer tam bölünmezse de kalan gelecek burada da kalan ismini almış olacak.
Buardaki isim önemli.
İşte buradaki isimlerin sağladığı bir özdeşlik var, bölme özdeşliği dediğimiz.
O da nedir?
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde.
Yani biz burada gördüklerimizden bölüneni biz şu ikisini çarpıp daha sonra alt taraftaki kalanı eklediğimizde elde edebiliyoruz.
Burada bir kuralımız var.
Bu kuralımız da şöyledir: Kalan dediğimiz sayı sıfırdan daha küçük olamaz.
Yani en küçük 0 olabilir ve en büyük de bölenin bir küçüğü olmak zorunda.
Yani bölene eşit olamaz, bölenden daima küçük olmak zorunda burada.
Çünkü böleni geçtiğinde biz bunu hala daha bölmeye devam ederiz yani en son kalana ulaşmış olmayız ve burada da en son üçüncü olarak da .......
ise A sayısı B ile tam bölünür diyor.
Nasıl A sayısı B ile tam bölünür?
Buradaki kalanımız 0 olursa eğer kalanımız sıfır olduğunda biz burada kalansız böldüğünü yani A sayısının B ile tam bölündüğünü söylemiş oluruz.
Şimdi bunun örneklerine geçelim, şimdi ilk örneğimiz A 10'a bölünmüş x eksi 1 bölümü gelmiş ve x kare kalanı gelmiş.
Yandaki bölme işlemine göre A'nın alabileceği en büyük tam sayı değerinin kaç olduğunu soruyor.
Şimdi ilk olarak biz burada direkt olarak bir bölüm özdeşliğini yazalım.
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde olacak ve burada benim bildiğim bir kural kural var.
Buradaki x kare olan kalan buradaki bölenden büyük olamaz yani x kare burada küçüktür 10 olacak.
E peki biz bunların tam sayı olduklarını biliyoruz.
O zaman ne diyeceğiz?
x karenin 10'dan küçük olduğunu söylüyorsak x'in olabildiğince en büyük sayı verelim ki A sayısı da büyüsün.
x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri burada 3'tür.
Çünkü 3'ün karesi burada ki buraya x'lerin yerine 3 yazdığımızda biz A'nın en büyük değerini elde etmiş oluruz.
O zaman A eşittir diyorum 10 çarpı x'in yerine 3 yazdığımızda karesinden de burada 9 gelecek.
Yani demek ki 20 artı etmiş oluyoruz.
Peki diğer bir örneğimiz, a, b ve c pozitif tam sayıdır diyor.
Burada a'yı b'ye bölmüş 3 bölümü gelmiş ve 2 kalanı gelmiş.
Burada da b'yi c'ye bölmüş, 4 bölümü ve 1 kalanı gelmiş.
Buradaki bölme işlemlerine göre a'nın c türünden eşiti bizi soruluyor.
Şimdi bakınız a'nın c türünden eşitini bulabilmemiz için a ile c arasında bir bağlantı bulmamız lazım.
a burada, c de burada.
Bunların bağlantılarını bulabilmek için ben ayrı ayrı bunların özdeşliklerini yazmak istiyorum.
Yani ilk olarak birincisini yazacak olursak yani şuna birincisi şuna da ikincisi diyecek olursak birincisi için yazdığımız özdeşlik a eşittir b çarpı 3 artı 2 olacak.
Daha sonra ikincisi için yazdığımız özdeşlik de bu sefer b eşittir c çarpı 4 artı 1 olacak.
Bakınız a ile c arasındaki bağlantıyı kurmak istiyorum, o zaman demek ki buradaki b'lerin gitmesini istiyorum ben aslında.
O zaman ne yapalım?
b'nin burada 4c artı 1 olduğunu biliyorsak gelelim buradaki 4c artı şunu elde edelim: a eşittir diyelim b gördük artık 4c artı 1 yazıyoruz parantez içinde yazdım bunu ve yanında 3 çarpanı var burada ve artı 2.
E daha sonra buradaki işlemleri biraz ilerletelim, 3'ü dağıtıyorum burada 12c artı 3 gelecek.
Bir de artı 2 de buradan artı 5 gelmiş oldu.
Bakınız a'nın c türünden eşiti 12c artı 5 olarak bulunmuş olur.
Evet şimdi son örneğimiz, toplamları bölündüğünde bölüm 10 kalan 2 oluyor.
Buna göre küçük sayı kaçtır?
Şimdi ilk olarak ben diyorum ki bir büyük sayı var benim elimde, büyük sayı.
Daha sonra bir de küçük sayı var diyorum.
Çünkü bunların neler olduğunu bilmiyorum.
Neler olduklarını bilmediğim için büyük sayıya x demek istiyorum küçük sayıya da y demek istiyorum.
Burada tek değişken şeklinde de çözülür ama iki değişkenden daha güzel gelecek burada.
Şimdi büyüğe x dedik, küçüğe y dedik.
Bunların toplamlarının x artı y'nin 145 olduğunu not alabiliriz burada.
Şimdi büyüğü küçüğüne böldüğünde bölüm 10 kalan 2 gelmiş, yani aslında şunu söylemeye çalışıyor: x'i y'ye böldüm bölüm 10 geldi, en son da bu işlem yapıldıktan sonra kalan 2 geldi diyor.
Buradan da bir özdeşlik yazabiliyoruz.
Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan şeklinde o zaman demek ki bunu da buradaki denklemin altına yazayım.
Yani şöyle yapayım: x eşittir hale getirmiş olayım.
Şimdi küçük sayıyı istiyoruz yani büyük sayıdan bizim kurtulmamız lazım, nasıl kurtulabiliriz?
Burada x gördüğümüz yere 10y artı 2 eşitliğini yazarak yani şurada yerine yazdığımızda artık tek değişkene bağlı bir denklem gelir ki oradan çözeriz.
Yazıyorum, 10y artı 2'yi yazdım oradaki x'in yerine ve daha sonra bir de zaten y vardı.
Bunun eşiti de 145, peki ne oldu burası?
tarafa aldığımızda 11y'nin 143'e eşit olduğunu ve her tarafı 11'e böldüğümüzde y'nin de burada kaç 13 evet 13 geldiğini söylemiş oluruz.
y zaten küçük sayıydı.
Bize de zaten küçük sayı soruluyor.
O zaman demek ki cevabımız burada 13 olarak olmuş olur.
Eğer büyük sayıyı sormuş olsaydı buradaki denklemde y'nin yerine 13 yazarak işlemi yapardık ve bulurduk.
Hatta yazmış olalım, 13'ü yazdık karşıya attık.
x buradan ne gelir?
132 gelecektir yani büyük sayıyı da bulmuş olduk.
Sıkça Sorulan Sorular
Bölme algoritması nedir?
Bölme algoritması bir bölme işleminde bölen, bölüm, kalan ve bölüm arasındaki ilişkiyi açıklayan algoritmadır.
Bölünen, bölen, bölüm kavramlarını karıştırabiliriz, çünkü birbiriyle çok benzeyen cümlelerdir. Bu durumda kavramları somutlaştıralım ve hikayeleştirelim:
Bölüneni kavun, böleni bıçak, bölümü ise kavun dilimi olarak hayal edebilirsiniz. Kavun dilimi, elde etmek istediğimiz sonucu verir çünkü artık yenmeye hazırdır. Bölünen ise (bütün bir kavun), elimizde ilk olan ve sonuca ulaşmak için işlem yapmak istediğimiz kavramdır.
Matematiksel olarak göstermek gerekirse;
A, B, C, K tam sayılar ve B ≠ 0 olmak üzere
A = B.C + K bölme özdeşliğidir.
0 ≤ K ≤ B
