Çemberlerin Birbirlerine Göre Durumları

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz çemberlerin birbirlerine   göre durumları.
İlk olarak içten  teğet çemberlerle başlayalım.   Şekilde gördüğünüz O1 ve O2 merkezli çemberlerin  yarıçapları sırasıyla r1 ve r2 olsun.
Bu küçük   olan çember büyük çemberin içerisinde ve  bu çemberler birbirlerine teğet olsunlar.   Gördüğünüz teğet ne demek?
Yalnızca bir tane  ortak noktaya sahip.
İsterseniz T diyelim   o noktaya.
Tek bir tane ortak noktaları var  ve bunlar birbirlerinin içine geçmiş şekilde   duruyorlar.
O halde küçüğün yarıçapı r1  büyüğünki r2 ya, iki merkez arasındaki   uzaklık O1 ve O2 mutlaka içerisinde gibi mutlak  sembolüne benzeyen bir sembolle gösterilir,   nasıl bulunur?
r2'den r1 çıkartılarak hesaplanır,  sevgili gençler.
Peki bir de dıştan teğet   çemberlerimiz var bizim.
Bunların yine ortak bir  tanecik noktaları var.
T diyebiliriz onlara.
O1 ve   O2 merkezli çemberlerin yine yarıçapları r1, r2  olsun sırasıyla.
Bu durumda O1 ve O2 arasındaki   uzaklık bu sefer iki tane yarıçapın,  r1 ve r2'nin toplanmasıyla hesaplanır.   Burada önemli bir notumuz var.
AB, C noktasında  birbirine teğet olan çemberlere yani bakın burada   C noktasında iki tane birbirine teğet olan çember  varmış, AB de bu C noktasında birbirine teğet olan   çemberlere sırasıyla A ve B şu iki noktada teğet  olmuş arkadaşlar.
Bakın bu durumda şu aradaki   noktaya K diyelim, yani şöyle düşünün büyük olan  çembere K noktasından KA ve KC teğetleri çizilmiş.   Bu iki teğet birbirine eşittir biliyorsunuz.  Çembere dışındaki bir noktadan 2 teğet çizilir   ve çizilen bu 2 teğet uzunluğu birbirine eşittir.  Yine bu sefer ters taraftan küçük çembere doğru   bakın.
KB ve KC de küçük çemberi dışındaki  noktadan çizilen iki tane teğettir.
Bunlar   da birbirine eşittir.
Yani önemli bir sonuç elde  ettik, arkadaşlar.
AK eşittir KB eşittir KC oldu   ve siz burada AC ve BC birleştirirseniz yani  ABC üçgeninin oluşturursanız muhteşem üçlü   gereğince KC, AK, KB birbirine eşit olduğu için C  köşesindeki ACB açısı 90° olur, sevgili gençler.   Şimdi kesişen çemberlerle devam edelim.
Çemberler  biliyorsunuz iki noktada kesişiyorlar.
Burada eğer   kesiştikleri nokta mesela şuradaki üstteki noktaya  A, alttaki noktaya B diyelim.
AO1O2 üçgenine   bakınız lütfen.
Burada üçgen eşitsizliği gereğince  O1O2 kenarının alabileceği değerler nedir?
Diğer   iki kenarın toplamlarından küçük farklarının  mutlak değerinden büyük olacaktı.
O halde   alabileceği değerler nasıl yapıyoruz?
Sağ tarafı  r1 artı r2 sol tarafa ise r1 eksi r2'nin mutlağını   yazıyoruz ve işte size iki çemberin merkezleri  arasındaki uzaklığın alabileceği değerler, sevgili   gençler.
Bir de bizim dik kesişen çemberlerimiz  var.
Aslında kesişiyorlar ama nedir?
AO1 ve AO2   birleştirdiğimizde eğer aradaki açığı 90° oluyorsa  ne diyeceğiz direkt Pisagor Teoremi'nden O1O2   merkezler arasındaki uzaklığın karesi eşittir  r1'in karesi artı r2'nin karesi şeklinde.   Burada gördüğünüz formüldeki gibi iki çemberin  merkezi arasındaki uzaklık hesaplamış olacağız,   değerli arkadaşlar.
Hemen vakit kaybetmeden  ilk örneğimize başlayalım.
AB çemberlere A ve   B noktalarında teğet, ABC açısı 40° olduğuna göre  BAC açısı alfa kaç derecedir, diye sorulmuş.
Evet,   az önce de ifade ettiğimiz gibi eğer siz bu  C noktasından şöyle bir uzantı çekip buraya   T noktası derseniz, ne demiştik?
AT eşittir CT  eşittir TB olur ki bu durumda muhteşem üçlüden C   köşesindeki açı 90° olur.
ABC üçgenin iç açıları  toplamı yani alfa artı 40° artı 90°'yi 180°'ye   eşitlerseniz şurası 130° yapacak 180 - 130'dan  aradığımız alfa açısı 50° olarak bulunmuş olur,   sevgili arkadaşlarım.
Geldik bir sonraki  örneğimize yarıçapları oranı 1/3 olan iki çember   yani biri r edersem diğerine 3r diyeceğim.
Farklı  iki noktada kesişiyorlarmış.
Merkezler arasındaki   uzaklık 10 birim.
10 birimlik merkezler arasındaki  uzaklık hangi aralıkta değer alıyordu, arkadaşlar?
   İkisinin toplamı, hani üçgen eşitsizliğinden  demiştik ya, 3r artı r yani 4r ve ikisinin   farkı mutlak değerce demiştik ama büyükten küçüğe  çıkardığınızda 2r olarak direkt yazabilirsiniz,   mutlak değeri bu durumda gerek olmaz.
Evet, ne  diyor?
Küçük çemberin yarıçapını alabileceği   en küçük değer?
Aslında r'yi soruyor ama en  küçük değeri sorduğu için eşitsizliğin şöyle   sağ tarafına bakıyorum.
Yani 10 küçüktür 4r, her  tarafı 4'e böldüğümüzde 10/4 olmuş olacak orası.   Yani şöyle yazayım isterseniz 10/4 eşittir 5/2  küçüktür r.
r dediğimiz aslında 5/2 (2 buçuktan)   daha büyük bir değermiş.
Bize ne diyor?
En küçük  tam sayı değeri kaçtır?
2 buçuktan daha büyük olan   en küçük tam sayı 3tür.
Dolayısıyla küçük çemberin  yarıçapını alabileceği en küçük tam sayı değeri   sorumuz.
Şekildeki O1 merkezli yarıçapı r1 eşittir   bize diyor ki KL arasındaki mesafe ne kadar?
  Sevgili arkadaşlarım hemen şöyle yapacağım   isterseniz bakın şu noktaya biz A noktası diyelim.  Kesiştikleri noktalardan biri hemen A noktasıyla   O2 noktasını birleştiriyorum.
Yarıçap olduğu için  buraya 5 birim yazıyorum.
A noktasıyla O1'i de   birleştiriyorum yine yarıçap olduğu için buraya  aralarındaki açıya ve hemen şöyle diyeceğim  çemberin merkezler arasındaki uzaklığın karesi.  O1O2 arasındaki uzaklık 13 birimmiş.
Diyeceksiniz  ki ne işimize yarayacak hocam?
Çok işimize yarar   sevgili arkadaşlarım.
13 birimi buraya yazdım  ve biliyorsunuz ki O1'den L'ye kadar 12 birim,   neden?
Büyük çemberin yarıçapı orası.
Demek ki  L'den O2'ye kadar olan uzaklık neymiş?
13 - 12   değil mi?
Ne bu?
L ile O2 arasındaki uzaklık  O2'yle K'da küçük olan çemberin yarıçapı o da 5  olacak.
Yani aslında şöyle diyebilirsiniz siz,   şuradan devam edeyim.
5 eşittir 1 artı neresi  KL, değil mi?
Yani şu KL ile 1'i topladığımız   da 5 etmiş olacak.
Oraya KL diyelim o halde  aradığımız KL arasındaki uzaklık 5 eksi 1'den   arkadaşlar.
Evet bu örneğimizde birlikte   dersimizin daha sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki  derste görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.