Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersimizde çemberin çevresi ile ilgili farklı soru tipleri ile örnekler çözmeye devam edeceğiz. İlk sorumuzla başlayalım.
"Şekildeki ABC üçgeninde BAC açısının ölçüsü 45°, BC uzunluğunu 12 birim olduğuna göre BDC yay uzunluğu kaç birimdir?
" diye bize sorulmuş.
Şimdi hemen burada 45 derecelik bir çevre açı görüyorsunuz.
Dolayısıyla bunun gördüğü karşısındaki BDC yayının ölçüsü 90° dir ve biz bu çemberin takriben merkezini şuralarda bir yerlerde işaretleyip hemen OB ve OC yarıçaplarının birleştirirsek, sevgili gençler, burada BOC elde ettiğimiz merkez açısı gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Dolayısıyla burası nedir?
90 derecedir. OB ve OC'nin yarıçap olduğunu söylemiştim.
r, r olarak yazalım onları yerine ve BOC üçgeninde bir Pisagor bağıntısı yazalım.
r kare + r kare eşittir eşittir 12'nin karesinde hemen her iki tarafın karekökünü alalım.
Ne olur?
Kök 2 r eşittir 12 olur ki zaten bunu siz r - r - r kök2 olmalıydı. biz aynı sonuca vardık zaten.
r buradan 12 bölü kök 2 olur.
Pay ve paydasını ifadenin kök 2 ile genişletirsek 12 kök 2 bölü 2'den yarıçapımız 6 kök 2 birim olacaktır, sevgili arkadaşlar.
Şimdi bulmak istediğimiz, daha doğrusu uzunluğunu bulmak istediğimiz, yayın hemen formülünü yazalım.
Nasıl bulduk normalde biz?
2 çarpı pi çarpı r (r'miz Burada merkez açı 90°, uzunluğunu bulmak istediğimiz yayın merkez açısı, daha doğrusu o dilimin sahip olduğu merkez açı.
alfa/360 hemen yazdım.
Burada gerekli sadeleştirmeleri yapıyorum.
Şurası 4 oldu.
Yukarısı 12 kök2 pi eğer siz bunu dörde bölerseniz, 3 kök 2 pi birim olarak aramış olduğum uzunluğu bulursunuz, sevgili gençler.
Hemen sonraki sorumuza vakit kaybetmeden geçelim.
Diyor ki AB eşittir BC eşittir 10 birim. Bakınız şu 2 kiriş uzunluğu birbirine eşit ve 10 birimmiş.
Burada "AKC yayının ölçüsü 240 derece olduğuna göre O merkezi çemberin çevresi kaç birimdir?
" diye sorulmuş.
Şimdi buradaki tamamı parçayı çıkaralım 120° kaldı geriye.
Bunu da ikiye bölüyorum, neden?
Bakın AB ve BC kirişleri eşit olduğu için bu kirişlerin arkada bıraktıkları yaylanın ölçüleri de birbirine eşittir.
Hemen Dolayısıyla hemen bakın.
Burada mesela OB'yi ve AO'yu birleştirirsem ben şurada gördüğünüz ne?
60 derecelik bir yay, değil mi?
Burada oluşan merkez açı o zaman 60 derece.
Evet arkadaşlar AO ve OB, her ikisi de yarıçap olduğu için birbirine eşit.
"Neden AB'ye eşit olacak şekilde işaretlediğiniz hocam?
" diyeceksiniz.
Normalde tepe açısı 60 derece olan bir ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen olmuş olur.
Hemen sebebini anlatayım diğer açıları bulduk.
Onlar da 60'ar dereceymiş. Dolayısıyla bakın, hem buradaki A hem de B açısı olur.
Hepsi birbirine eşit olmuş oldu.
AB bize 10 olarak verilmişti o halde OB de 10, AO da 10.
Yani yarıçapımız 10 arkadaşlar.
Bulmak istediğimiz şey biliyorsunuz çevreydi.
Çevre nasıl bulunur?
Çevre formülümüz bizim 2 çarpı pi çarpı r.
Yani r'miz değerli arkadaşlar, diyelim ve bir sonraki sorumluluğa hemen devam edelim.
Şekildeki O, çember parçaların ortak merkeziymiş. Burada merkezi olduğunu görüyoruz zaten, değil mi?
OB uzunluğu 8, AC uzunluğu 5, AB yay uzunluğu 4 pi birim olduğuna göre CD uzunluğu kaç birimdir?
x diyelim, isterseniz şöyle. Ne yapıyordum?
AC 5 birim olduğuna göre BD uzunluğunda 5'tir, değil mi?
Neden diyeceksiniz?
Şimdi OB ve OA her ikisi de oradaki alfa merkez açısına sahip ve şöyle AB yayını içerisinde barındıran parçaya bakarsanız eğer yarıçaptır, hem OB hem OA.
Dolayısıyla burası 8.
Şimdi büyüğünki de ( + 5'ten 13 olacak.
Buranın da yine 13 olması lazım şeklinde bir yorum yapıp AC 5 iken BD de 5 dedik.
Dolayısıyla hemen benzerliğini yapıyorum, oradaki küçük çember parçasının yarıçapı 8, büyük çember parçasını yarıçapı 13.
8'in 13'e oranı yazdım eşittir oradaki küçük parçanın yay uzunluğu sadeleştirmeler yaptım.
Şurası iki geldi.
Buradan bulunmuş olur, sevgili gençler, diyelim.
Sıradaki sorumuza geçmiş olalım.
"Bir kenarının uzunluğu 4 birim olan kare şeklindeki kartonun D köşesinden noktasından belirtilen yönde sarıldığında ipin uç noktası toplamda kaç birim yol almış olur?
" diye soruyor.
Bakın sevgili gençler, burada bir kare var.
Karenin bir kenar uzunluğu 4 birim.
Şöyle bir ip bağlanıyor ve bu ip karenin etrafına sarılıyor.
Evet ve diyor ki E noktası toplamda ne kadar yol almış olur.
Bakın ilk yolunu aldıralım isterseniz.
Saatin yönünde dönüyor bu DE ipi, karenin DC kenarına gelinceye kadar.
Oradaki şu 90 derecelik açı tarayıp bir yol alır.
Aldığı yolu şu şekilde ifade edebiliriz: Biz gördüğünüz gibi yarıçapı 9 birimi olan ve 90 derecelik bir merkez açıya sahip yani bir çeyrek çember kadar bir yol almış oldu.
Normalde bu nedir?
2 çarpı pi r ( r'mize dikkat edin lütfen.
Neydi burada?
9) Ama bu dörtte birlik çember isterseniz şarkı 9O/360 da kullanabilirsiniz.
Bunu direkt 4 diyebilirsiniz.
Yani buradan ilk aldığımız yol neymiş?
9pi/2 imiş, sevgili arkadaşlar.
Şimdi iş burada biraz değişecek.
Neden değişecek?
Buraya geldiğinde artık gördüğünüz gibi DC'ye takılacak bir kısmı.
) birimde 4'lük kısmı takıldı, geriye ne kadar kaldı?
5.
Bu sefer şuradan itibaren bu beşli kısım yol almaya devam edecek.
Hemen ona da yol aldıralım bakın nasıl olacak o?
Şimdi yine dörtte birlik bir çeyrek çember bölü şunlar sadeleştirince ne olur 5pi/2 birim olur, sevgili arkadaşlar.
Son olarak bakın burada bir parça daha kaldı.
Tamamı 5'ti, bu seferde 4'lük kısım şuraya takıldı yani ipin sadece Şuradaki 1 birimlik yeri kaldı. En son burası dönecek.
Hemen o döndüğü kısma da bakalım.
Ne dedik oraya?
1.
Dolayısıyla hemen alalım oradan 2 çarpı pi çarpı r yerine 1 yazdım.
Yine 90 derecelik merkezi açıya sahip, dörtte birlik bir çeyrek çember.
Hemen bunu dörde böldüm son olarak.
pi/2 yol almış oldu.
O zaman toplayalım demiştik 9pi/2 aldı, sonrasında 5pi/2 aldı, en sonunda pi/2 aldı.
Toplarsak burayı ne yapar?
15pi/2 birimlik bu yol almış olur, buradaki ipin E noktası diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin sonuna gelelim, arkadaşlar.
Bir sonraki derste görüşmek üzere Kendinize çok iyi bakın
Bu dersimizde çemberin çevresi ile ilgili farklı soru tipleri ile örnekler çözmeye devam edeceğiz. İlk sorumuzla başlayalım.
"Şekildeki ABC üçgeninde BAC açısının ölçüsü 45°, BC uzunluğunu 12 birim olduğuna göre BDC yay uzunluğu kaç birimdir?
" diye bize sorulmuş.
Şimdi hemen burada 45 derecelik bir çevre açı görüyorsunuz.
Dolayısıyla bunun gördüğü karşısındaki BDC yayının ölçüsü 90° dir ve biz bu çemberin takriben merkezini şuralarda bir yerlerde işaretleyip hemen OB ve OC yarıçaplarının birleştirirsek, sevgili gençler, burada BOC elde ettiğimiz merkez açısı gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Dolayısıyla burası nedir?
90 derecedir. OB ve OC'nin yarıçap olduğunu söylemiştim.
r, r olarak yazalım onları yerine ve BOC üçgeninde bir Pisagor bağıntısı yazalım.
r kare + r kare eşittir eşittir 12'nin karesinde hemen her iki tarafın karekökünü alalım.
Ne olur?
Kök 2 r eşittir 12 olur ki zaten bunu siz r - r - r kök2 olmalıydı. biz aynı sonuca vardık zaten.
r buradan 12 bölü kök 2 olur.
Pay ve paydasını ifadenin kök 2 ile genişletirsek 12 kök 2 bölü 2'den yarıçapımız 6 kök 2 birim olacaktır, sevgili arkadaşlar.
Şimdi bulmak istediğimiz, daha doğrusu uzunluğunu bulmak istediğimiz, yayın hemen formülünü yazalım.
Nasıl bulduk normalde biz?
2 çarpı pi çarpı r (r'miz Burada merkez açı 90°, uzunluğunu bulmak istediğimiz yayın merkez açısı, daha doğrusu o dilimin sahip olduğu merkez açı.
alfa/360 hemen yazdım.
Burada gerekli sadeleştirmeleri yapıyorum.
Şurası 4 oldu.
Yukarısı 12 kök2 pi eğer siz bunu dörde bölerseniz, 3 kök 2 pi birim olarak aramış olduğum uzunluğu bulursunuz, sevgili gençler.
Hemen sonraki sorumuza vakit kaybetmeden geçelim.
Diyor ki AB eşittir BC eşittir 10 birim. Bakınız şu 2 kiriş uzunluğu birbirine eşit ve 10 birimmiş.
Burada "AKC yayının ölçüsü 240 derece olduğuna göre O merkezi çemberin çevresi kaç birimdir?
" diye sorulmuş.
Şimdi buradaki tamamı parçayı çıkaralım 120° kaldı geriye.
Bunu da ikiye bölüyorum, neden?
Bakın AB ve BC kirişleri eşit olduğu için bu kirişlerin arkada bıraktıkları yaylanın ölçüleri de birbirine eşittir.
Hemen Dolayısıyla hemen bakın.
Burada mesela OB'yi ve AO'yu birleştirirsem ben şurada gördüğünüz ne?
60 derecelik bir yay, değil mi?
Burada oluşan merkez açı o zaman 60 derece.
Evet arkadaşlar AO ve OB, her ikisi de yarıçap olduğu için birbirine eşit.
"Neden AB'ye eşit olacak şekilde işaretlediğiniz hocam?
" diyeceksiniz.
Normalde tepe açısı 60 derece olan bir ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen olmuş olur.
Hemen sebebini anlatayım diğer açıları bulduk.
Onlar da 60'ar dereceymiş. Dolayısıyla bakın, hem buradaki A hem de B açısı olur.
Hepsi birbirine eşit olmuş oldu.
AB bize 10 olarak verilmişti o halde OB de 10, AO da 10.
Yani yarıçapımız 10 arkadaşlar.
Bulmak istediğimiz şey biliyorsunuz çevreydi.
Çevre nasıl bulunur?
Çevre formülümüz bizim 2 çarpı pi çarpı r.
Yani r'miz değerli arkadaşlar, diyelim ve bir sonraki sorumluluğa hemen devam edelim.
Şekildeki O, çember parçaların ortak merkeziymiş. Burada merkezi olduğunu görüyoruz zaten, değil mi?
OB uzunluğu 8, AC uzunluğu 5, AB yay uzunluğu 4 pi birim olduğuna göre CD uzunluğu kaç birimdir?
x diyelim, isterseniz şöyle. Ne yapıyordum?
AC 5 birim olduğuna göre BD uzunluğunda 5'tir, değil mi?
Neden diyeceksiniz?
Şimdi OB ve OA her ikisi de oradaki alfa merkez açısına sahip ve şöyle AB yayını içerisinde barındıran parçaya bakarsanız eğer yarıçaptır, hem OB hem OA.
Dolayısıyla burası 8.
Şimdi büyüğünki de ( + 5'ten 13 olacak.
Buranın da yine 13 olması lazım şeklinde bir yorum yapıp AC 5 iken BD de 5 dedik.
Dolayısıyla hemen benzerliğini yapıyorum, oradaki küçük çember parçasının yarıçapı 8, büyük çember parçasını yarıçapı 13.
8'in 13'e oranı yazdım eşittir oradaki küçük parçanın yay uzunluğu sadeleştirmeler yaptım.
Şurası iki geldi.
Buradan bulunmuş olur, sevgili gençler, diyelim.
Sıradaki sorumuza geçmiş olalım.
"Bir kenarının uzunluğu 4 birim olan kare şeklindeki kartonun D köşesinden noktasından belirtilen yönde sarıldığında ipin uç noktası toplamda kaç birim yol almış olur?
" diye soruyor.
Bakın sevgili gençler, burada bir kare var.
Karenin bir kenar uzunluğu 4 birim.
Şöyle bir ip bağlanıyor ve bu ip karenin etrafına sarılıyor.
Evet ve diyor ki E noktası toplamda ne kadar yol almış olur.
Bakın ilk yolunu aldıralım isterseniz.
Saatin yönünde dönüyor bu DE ipi, karenin DC kenarına gelinceye kadar.
Oradaki şu 90 derecelik açı tarayıp bir yol alır.
Aldığı yolu şu şekilde ifade edebiliriz: Biz gördüğünüz gibi yarıçapı 9 birimi olan ve 90 derecelik bir merkez açıya sahip yani bir çeyrek çember kadar bir yol almış oldu.
Normalde bu nedir?
2 çarpı pi r ( r'mize dikkat edin lütfen.
Neydi burada?
9) Ama bu dörtte birlik çember isterseniz şarkı 9O/360 da kullanabilirsiniz.
Bunu direkt 4 diyebilirsiniz.
Yani buradan ilk aldığımız yol neymiş?
9pi/2 imiş, sevgili arkadaşlar.
Şimdi iş burada biraz değişecek.
Neden değişecek?
Buraya geldiğinde artık gördüğünüz gibi DC'ye takılacak bir kısmı.
) birimde 4'lük kısmı takıldı, geriye ne kadar kaldı?
5.
Bu sefer şuradan itibaren bu beşli kısım yol almaya devam edecek.
Hemen ona da yol aldıralım bakın nasıl olacak o?
Şimdi yine dörtte birlik bir çeyrek çember bölü şunlar sadeleştirince ne olur 5pi/2 birim olur, sevgili arkadaşlar.
Son olarak bakın burada bir parça daha kaldı.
Tamamı 5'ti, bu seferde 4'lük kısım şuraya takıldı yani ipin sadece Şuradaki 1 birimlik yeri kaldı. En son burası dönecek.
Hemen o döndüğü kısma da bakalım.
Ne dedik oraya?
1.
Dolayısıyla hemen alalım oradan 2 çarpı pi çarpı r yerine 1 yazdım.
Yine 90 derecelik merkezi açıya sahip, dörtte birlik bir çeyrek çember.
Hemen bunu dörde böldüm son olarak.
pi/2 yol almış oldu.
O zaman toplayalım demiştik 9pi/2 aldı, sonrasında 5pi/2 aldı, en sonunda pi/2 aldı.
Toplarsak burayı ne yapar?
15pi/2 birimlik bu yol almış olur, buradaki ipin E noktası diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin sonuna gelelim, arkadaşlar.
Bir sonraki derste görüşmek üzere Kendinize çok iyi bakın
