Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar, bu dersimizde çemberde kiriş özellikleriyle ilgili farklı tarzda soru çeşitleri ile ilgili örnekler çözmeye çalışacağız.
İlk sorumuza başlayalım.
Şekildeki O merkezli çemberde AB ve HD uzunlukları birbirine dik.
Diğer taraftan AB eşittir HD eşittir 16 birim olarak verilmiş ve bizden çemberin yarıçapı kaç birimdir diye soruluyor.
Şimdi biliyorsunuz o merkezinden AB girişine indirdiğimiz dikme bu kirişi ortadan ikiye böler.
AB uzunluğu 16 birim olduğuna göre bunlar nedir?
8 8'dir diyebiliriz.
Sonrasında şöyle bir şey daha verilmişti.
Dikkat ediniz HD uzunluğu da 16 birimmiş.
Yani ben aslında şuraya istersem.
HD'nin tamamı 16 olacağı için OD yarıçapımızda 16 eksi x kadar olacak.
Bunun yarıçap olduğunu hemen şurada kullanalım.
Bakın AO'yu birleştirelim.
Bu da yarıçaptır değil mi?
Hemen gidelim ne diyelim buraya?
On altı eksi x diyelim arkadaşlar ve AHO üçgeninde Pisagor bağıntısı yazalım.
Diyelim ki 16 eksi x'in karesi eşittir x'in karesi artı 8'in karesi.
Acaba bu bilindik bir üçgenin kenar uzunluklarını sağlıyor mu?
Önce onu kontrol edelim.
Eğer sağlamazsa Pisagor yapacağım zaten.
İçerisinde 8 olan da var.
8, 15, 17 var ya da 6 8 10 önce 6, 8, 10 deneyeyim x eşittir 6 versem oluyor mu?
Sanki oldu arkadaşlar.
Burası 6, burası 8, öbür taraf 10 sağlıyor mu?
Sağlıyor.
Dolayısıyla x eşittir 6 birimmiş.
Benden istediği şey ne?
Çemberin yarıçapı yani R dediğimiz şey 16 eksi x ise yani 16 eksi 6'dan 10 birim olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar ve ilk sorumuz böylelikle tamamlanmış oldu.
Hemen devam ediyorum, ikinci soru şekildeki o merkezli çemberde oa uzunluğu 4 birim olduğuna göre BC kiriş uzunluğu tam sayı olarak en çok kaç olabilir diye sorulmuş.
Şimdi biliyorsunuz her zaman için çemberin en uzun kirişi nedir?
Merkezden geçen kiriş ve tabii ki çember iki noktasını birleştiren uzunluk.
O halde 4 artı 4'ten çaptır.
Bu değil mi?
Dolayısıyla 2r r'miz 4 iken 2r'miz 8'dir.
İşte en büyük kiriş bu olabilir.
Ama bakın BC'yi görüyorsunuz o merkezinden geçmemiş.
Belki çok çok, çok çok yaklaşmış olabilir ama biz o halde ne diyeceğiz?
BC uzunluğu eğer biz zaten merkezden geçmiş olsaydı direkt olarak kendisi 8 olmuş olacaktı.
Ama merkezden geçemeyeceği için 8'den küçük olabilir.
Tam olarak en çok kaç olur derseniz 8'den küçük tam sayı kim var?
En büyük yedi var arkadaşlar.
Dolayısıyla BC en çok yedi birim olabilir deriz ve bir sonraki sorumuza geçeriz.
Şekildeki o merkezli çemberde ABO açısı 45 derece ve çemberin yarıçapı da 8 birim olarak verilmiş.
Bana AB soruluyor.
Hemen şöyle yapıyorum buraya 8 birim yazayım ve 45 derecelik açıyı biliyorum.
Ya o merkezinden AB'ye hemen bir tane dik indirelim ve buraya tepe noktası diyelim.
Sevgili gençler burada 45 45 90 üçgenini ben elde etmiş oldum.
90'ın karşısı.
Eğer 8 ise 45 lerin karşısı yani 45'in karşısında öyle bir şey varmış ki kök iki katı 8 olmuş.
İsterseniz A diyeyim.
A'nın kök iki katını sekize eşitleyelim.
A ne olur, 8 bölü kök 2.
Pay ve paydasının siz bunun kök hücre ile genişletir iseniz 8 kök 2 2'den a uzunluğu 4 kök 2 olur.
Değerli arkadaşlar ama yalnız benden istediği şey AB.
Ama şunu da biliyoruz değil mi?
Merkezden indirdiğimiz dikme bu kirişi ortadan ikiye böler, buraya da a diyebilirim.
Yani AT eşittir TB eşittir a olur.
Benden istediği AB uzunluğu ise AH 2a'dır.
Yani o da 8 kök iki 4 kökün iki katı 8 kök iki birim olarak bulunmuş olur.
Kıymetli arkadaşlar ve geldik bir sonraki soruya.
Şekildeki o merkezli çemberde AB eşittir BC kirişleri verilmiştir.
Yani iki tane birbirine eşit kiriş varmış orada.
AD eşittir 4 x eksi 7, EC eşittir 3x artı 1 olduğuna göre çemberin yarıçapı bana soruluyor.
Biliyorsunuz merkezden AB kirişine dik indirdiğimizde AD ve BD birbirine eş.
Durağan şekilde yine merkezden BC kirişini indirdiğimiz dikte BE'yi EC'ye eşitler.
Ve bunlar da s kadar olur.
Yani bunlar da dördü birbirine eşittir aslında.
Bundan bahsetmiştik.
Hatırlayın.
x x dersem 2x diğeri de 2x olacak ki dolayısıyla dik indiğimizde BC'ye eşit olup toplamların 2x olması için bunların da 2x olması lazım.
Tabii ki soruda verilen x ile hiçbir alakası yok bunun.
Hani bir değer olarak söyledi bunu tamamen.
Yani AD eşittir BS da eşittir BE o da eşittir EC diyebiliriz.
O halde ne olmuş oldu?
4 x eksi yedi.
Sevgili arkadaşlar, 3x artı 1'e eşit oldu.
Buradan x eşittir 8 olarak bulunur.
Şimdi x'in yerine 8 yazarsam AD neydi?
4 kere 8 32 eksi 7 istersen şuraya yazayım.
32 eksi 7.
Dolayısıyla AD uzunluğumuz bizim buradan 25 oldu.
Şimdi bakınız burası 25 geldim burada 25 diğer tarafa bakalım.
Bunlar da 25 25 olmalı.
Dolayısıyla burada aslında BEOD bir kare oldu.
Açıları 90 olduğu için dikdörtgendi.
Şu yandaki kenarları eşit olduğu için karşılıklar da eşit olacak hepsi.
25 25.
Bizden yarıçap istenmişti.
OB'yi birleştiriyorum 25 25 hemen şuraya r dersem eğer ben bu durumda r eşittir 25 kök 2 birim olarak yarıçapımız da hesaplanmış olur diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Şekildeki o merkezli Çemberde ABCD dörtgeni çizilmiş.
Bakın orada CAO açısı 80 derece, DBA açısı ya da DBO açısı şeklinde de okunur farketmez 55 derece imiş.
Olduğuna göre CD AB oranı kaçtır diye sorulmuş.
Hemen bakın yapmamız gereken şey burada OC uzunluğunu birleştirip bir yarıçap aynı şekilde OD ile birleştirip diğer bir yarıçap elde etmek.
Eğer bunu yaparsanız AO yarı çaptır.
OC yarıçapıdır.
Eşit olur birbirine aynı şekilde OD ve OB yarıçapı oldukları için bunlar da eşittir.
Yani AOC üçgeninde ikizkenar BOD üçgenin ikiZkenar olmuş oldu.
Hemen açıları vakit kaybetmeden yerleştirelim.
A açısı 80 ise c açısı 80 olur, 80 80 160 oldu.
Bakın toplamları üçgenin iç açılar toplamı 180 olması için 160'ı çıkarıyorum.
O bölümünde kalan A açısına ne kaldı?
Arkadaşlar 20 derecelik bir açı kaldı buraya.
Hemen aynı şey.
Yan taraftaki ikizkenar BOD üçgeninde de yapacağım.
B açısı 55 55'te diğer 55 55 55 topladım.
110 değil mi?
Yine 180 dereceden hemen 110 dereceyi ben çıkarıyorum.
70 derece olarak şuradaki o köşesindeki açıyı da bulmuş oldum.
Bakınız burası 75.
Şimdi buradaki 20 ile 70 topluyorum 90 oluyor.
Tamam bütünler olacak.
180'e tamamlaması için bu bölüm şu kısım.
COD açısı da 90 derece oldu ki tamamı 180 olsun.
O halde buyurun hemen şunlara r Diyelim r ve bakınız 90 45, 45 üçgeni.
Bu neden hocam?
Diyeceksiniz ki bunlar r r birbirine eşit arkadaşlar, 180'den 90'ı çıkartıp ikiye böldüğünüzde buraları 45 derece zaten bulursunuz siz.
Dolayısıyla a kök 2 yani r r r kök 2 olarak CD uzunluğunu bulmuş olduk.
Hadi şimdi son olarak gelin oranı bulalım.
CD uzunluğunu ne yaptık?
Kök 2 dedik.
AB r artı r'den 2 r nedir?
Burada r'ler sadeleşirse benden istenilen oran kök 2 bölü iki olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar diyelim ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
İlk sorumuza başlayalım.
Şekildeki O merkezli çemberde AB ve HD uzunlukları birbirine dik.
Diğer taraftan AB eşittir HD eşittir 16 birim olarak verilmiş ve bizden çemberin yarıçapı kaç birimdir diye soruluyor.
Şimdi biliyorsunuz o merkezinden AB girişine indirdiğimiz dikme bu kirişi ortadan ikiye böler.
AB uzunluğu 16 birim olduğuna göre bunlar nedir?
8 8'dir diyebiliriz.
Sonrasında şöyle bir şey daha verilmişti.
Dikkat ediniz HD uzunluğu da 16 birimmiş.
Yani ben aslında şuraya istersem.
HD'nin tamamı 16 olacağı için OD yarıçapımızda 16 eksi x kadar olacak.
Bunun yarıçap olduğunu hemen şurada kullanalım.
Bakın AO'yu birleştirelim.
Bu da yarıçaptır değil mi?
Hemen gidelim ne diyelim buraya?
On altı eksi x diyelim arkadaşlar ve AHO üçgeninde Pisagor bağıntısı yazalım.
Diyelim ki 16 eksi x'in karesi eşittir x'in karesi artı 8'in karesi.
Acaba bu bilindik bir üçgenin kenar uzunluklarını sağlıyor mu?
Önce onu kontrol edelim.
Eğer sağlamazsa Pisagor yapacağım zaten.
İçerisinde 8 olan da var.
8, 15, 17 var ya da 6 8 10 önce 6, 8, 10 deneyeyim x eşittir 6 versem oluyor mu?
Sanki oldu arkadaşlar.
Burası 6, burası 8, öbür taraf 10 sağlıyor mu?
Sağlıyor.
Dolayısıyla x eşittir 6 birimmiş.
Benden istediği şey ne?
Çemberin yarıçapı yani R dediğimiz şey 16 eksi x ise yani 16 eksi 6'dan 10 birim olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar ve ilk sorumuz böylelikle tamamlanmış oldu.
Hemen devam ediyorum, ikinci soru şekildeki o merkezli çemberde oa uzunluğu 4 birim olduğuna göre BC kiriş uzunluğu tam sayı olarak en çok kaç olabilir diye sorulmuş.
Şimdi biliyorsunuz her zaman için çemberin en uzun kirişi nedir?
Merkezden geçen kiriş ve tabii ki çember iki noktasını birleştiren uzunluk.
O halde 4 artı 4'ten çaptır.
Bu değil mi?
Dolayısıyla 2r r'miz 4 iken 2r'miz 8'dir.
İşte en büyük kiriş bu olabilir.
Ama bakın BC'yi görüyorsunuz o merkezinden geçmemiş.
Belki çok çok, çok çok yaklaşmış olabilir ama biz o halde ne diyeceğiz?
BC uzunluğu eğer biz zaten merkezden geçmiş olsaydı direkt olarak kendisi 8 olmuş olacaktı.
Ama merkezden geçemeyeceği için 8'den küçük olabilir.
Tam olarak en çok kaç olur derseniz 8'den küçük tam sayı kim var?
En büyük yedi var arkadaşlar.
Dolayısıyla BC en çok yedi birim olabilir deriz ve bir sonraki sorumuza geçeriz.
Şekildeki o merkezli çemberde ABO açısı 45 derece ve çemberin yarıçapı da 8 birim olarak verilmiş.
Bana AB soruluyor.
Hemen şöyle yapıyorum buraya 8 birim yazayım ve 45 derecelik açıyı biliyorum.
Ya o merkezinden AB'ye hemen bir tane dik indirelim ve buraya tepe noktası diyelim.
Sevgili gençler burada 45 45 90 üçgenini ben elde etmiş oldum.
90'ın karşısı.
Eğer 8 ise 45 lerin karşısı yani 45'in karşısında öyle bir şey varmış ki kök iki katı 8 olmuş.
İsterseniz A diyeyim.
A'nın kök iki katını sekize eşitleyelim.
A ne olur, 8 bölü kök 2.
Pay ve paydasının siz bunun kök hücre ile genişletir iseniz 8 kök 2 2'den a uzunluğu 4 kök 2 olur.
Değerli arkadaşlar ama yalnız benden istediği şey AB.
Ama şunu da biliyoruz değil mi?
Merkezden indirdiğimiz dikme bu kirişi ortadan ikiye böler, buraya da a diyebilirim.
Yani AT eşittir TB eşittir a olur.
Benden istediği AB uzunluğu ise AH 2a'dır.
Yani o da 8 kök iki 4 kökün iki katı 8 kök iki birim olarak bulunmuş olur.
Kıymetli arkadaşlar ve geldik bir sonraki soruya.
Şekildeki o merkezli çemberde AB eşittir BC kirişleri verilmiştir.
Yani iki tane birbirine eşit kiriş varmış orada.
AD eşittir 4 x eksi 7, EC eşittir 3x artı 1 olduğuna göre çemberin yarıçapı bana soruluyor.
Biliyorsunuz merkezden AB kirişine dik indirdiğimizde AD ve BD birbirine eş.
Durağan şekilde yine merkezden BC kirişini indirdiğimiz dikte BE'yi EC'ye eşitler.
Ve bunlar da s kadar olur.
Yani bunlar da dördü birbirine eşittir aslında.
Bundan bahsetmiştik.
Hatırlayın.
x x dersem 2x diğeri de 2x olacak ki dolayısıyla dik indiğimizde BC'ye eşit olup toplamların 2x olması için bunların da 2x olması lazım.
Tabii ki soruda verilen x ile hiçbir alakası yok bunun.
Hani bir değer olarak söyledi bunu tamamen.
Yani AD eşittir BS da eşittir BE o da eşittir EC diyebiliriz.
O halde ne olmuş oldu?
4 x eksi yedi.
Sevgili arkadaşlar, 3x artı 1'e eşit oldu.
Buradan x eşittir 8 olarak bulunur.
Şimdi x'in yerine 8 yazarsam AD neydi?
4 kere 8 32 eksi 7 istersen şuraya yazayım.
32 eksi 7.
Dolayısıyla AD uzunluğumuz bizim buradan 25 oldu.
Şimdi bakınız burası 25 geldim burada 25 diğer tarafa bakalım.
Bunlar da 25 25 olmalı.
Dolayısıyla burada aslında BEOD bir kare oldu.
Açıları 90 olduğu için dikdörtgendi.
Şu yandaki kenarları eşit olduğu için karşılıklar da eşit olacak hepsi.
25 25.
Bizden yarıçap istenmişti.
OB'yi birleştiriyorum 25 25 hemen şuraya r dersem eğer ben bu durumda r eşittir 25 kök 2 birim olarak yarıçapımız da hesaplanmış olur diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Şekildeki o merkezli Çemberde ABCD dörtgeni çizilmiş.
Bakın orada CAO açısı 80 derece, DBA açısı ya da DBO açısı şeklinde de okunur farketmez 55 derece imiş.
Olduğuna göre CD AB oranı kaçtır diye sorulmuş.
Hemen bakın yapmamız gereken şey burada OC uzunluğunu birleştirip bir yarıçap aynı şekilde OD ile birleştirip diğer bir yarıçap elde etmek.
Eğer bunu yaparsanız AO yarı çaptır.
OC yarıçapıdır.
Eşit olur birbirine aynı şekilde OD ve OB yarıçapı oldukları için bunlar da eşittir.
Yani AOC üçgeninde ikizkenar BOD üçgenin ikiZkenar olmuş oldu.
Hemen açıları vakit kaybetmeden yerleştirelim.
A açısı 80 ise c açısı 80 olur, 80 80 160 oldu.
Bakın toplamları üçgenin iç açılar toplamı 180 olması için 160'ı çıkarıyorum.
O bölümünde kalan A açısına ne kaldı?
Arkadaşlar 20 derecelik bir açı kaldı buraya.
Hemen aynı şey.
Yan taraftaki ikizkenar BOD üçgeninde de yapacağım.
B açısı 55 55'te diğer 55 55 55 topladım.
110 değil mi?
Yine 180 dereceden hemen 110 dereceyi ben çıkarıyorum.
70 derece olarak şuradaki o köşesindeki açıyı da bulmuş oldum.
Bakınız burası 75.
Şimdi buradaki 20 ile 70 topluyorum 90 oluyor.
Tamam bütünler olacak.
180'e tamamlaması için bu bölüm şu kısım.
COD açısı da 90 derece oldu ki tamamı 180 olsun.
O halde buyurun hemen şunlara r Diyelim r ve bakınız 90 45, 45 üçgeni.
Bu neden hocam?
Diyeceksiniz ki bunlar r r birbirine eşit arkadaşlar, 180'den 90'ı çıkartıp ikiye böldüğünüzde buraları 45 derece zaten bulursunuz siz.
Dolayısıyla a kök 2 yani r r r kök 2 olarak CD uzunluğunu bulmuş olduk.
Hadi şimdi son olarak gelin oranı bulalım.
CD uzunluğunu ne yaptık?
Kök 2 dedik.
AB r artı r'den 2 r nedir?
Burada r'ler sadeleşirse benden istenilen oran kök 2 bölü iki olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar diyelim ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
