Daire Dilimlerinin Arasında Kalan Alan

Sevgili gençler, herkese merhabalar.
Bu dersteki  konumuz daire dilimlerinin arasında kalan alan.   Şekilde gördüğünüz O merkezli bu iki tane  daire dilimi var.
Her ikisinin merkezleri   çakışık ve merkez açıları aynı.
Birisi oradaki  CD yayına diğeri de AB yayına sahip.
O aralarında   kalan taralı bölgenin alanı nasıl bulunur, bu  dersimizde bunu öğreneceğiz.
Sevgili arkadaşlar,   aslında yapmamız gereken şey şu gördüğünüz gibi  büyük olan daire diliminin alanından küçük olan   daire diliminin alanı çıkardığınızda, siz  taralı bölgenin alanı bulmuş olursunuz.   Bunun bir diğer pratik ve kısayolunu anlatacağım  ben size.
Şöyle yapıyorsunuz hemen: diyorsunuz   ki buradaki aslında yamuktaki alan formülüne  benziyor, üstteki yayın uzunluğunu buluyorsunuz,   bu en yayın uzunluğuyla alttaki yayın  uzunluğunu CD ve AB uzunlukları topluyorsunuz,   ikisinin yarıçapları farklı ile çarpıyorsunuz.  Yani AC ya da BD uzunluğuyla çarpıyorsunuz,   sonrasında bunu ikiye böldüğümüzde taralı  bölgenin alanı bulmuş oluyorsunuz.
Şimdi burada   yamukla benzerliği ne?
Yamukta da şöyle buluyorduk  hatırlayın: alanı alt taban artı üst taban çarpı   yükseklik bölü iki.
Yani baktığınızda aslında  şekil olarak benziyor.
Üstteki yayla alttakini   topluyorsun.
Bu sefer yükseklik dediğimiz şey ne?
  Yamukta yükseklik dediğimiz şey burada yarıçaplar   farkı.
Bunlar çarpıp sonrasında ikiye bölerek  aradığınız taralı bölgenin alanını bulabilirsiniz.   Dediğim gibi ya da büyükten küçüğe çıkaracağız,  soru da bize hangisi daha kolay uygulanabilecek   bir düzeyde ise o formülü tercih edeceğim,  diyelim.
Bir başka formülle devam edeceğiz.   Şimdi burada bir daire dilimi var aslında,  gördüğünüz gibi O merkezli oradaki daireden   bir AB yayına sahip bir dilim çıkarılıp alınmış  ama onun tamamının alanı istemiyor, oradaki   bakın beyaz bölge ayırıp, şuradaki OAB üçgenini  ayırıp sadece taralı bölgenin alanı nasıl bulunur,   diye soruyor bize.
Ne yapacağız?
Şöyle yapacağız  arkadaşlar: pi rkare çarpı alfa/360.
Zaten şu ilk   verdiğimiz kısım oradaki daire diliminin alanı.
Bu  daire diliminin alanından kimi çıkaracağım?
Beyaz   bölge yani ABO üçgenin alanını çıkarırsam benden  istediği taralı bölgenin alanı bulmuş olurum,   sevgili gençler.
Evet şimdi hemen bu  bilgilerin ışığında sorularımıza bakalım.   Şekildeki dairelerin ortak merkezi O noktasıymış,  AB yayının uzunluğu var, CD yayının uzunluğu var,   çemberlerin yarıçapları farkı da elimizde var ve  tarla alan soruyor bize.
Çok çok basit bir soru,   değil mi, formülü bildikten sonra gerçekten.  Üstteki yay 12, alttaki yay 16 santimmiş,   sevgili arkadaşlar.
Ne diyeceğim bu sefer?
Çarpı  yükseklikleri diyorduk yamukta, burada yüksekliğe   benzettiğim şey neydi?
Yarıçaplar farkı onu da 2  santim vermiş zaten.
Bir de nesi vardı?
Bölü 2'si   vardı.
2'ler kısaldı, arkadaşlar.
Dolayısıyla  şu ikisini topladığımızda 28 santimetrekare   olarak aradığımız o taralı bölgenin alanı,  yani 2 daire diliminin arasında kalan yeri,   bulmuş oluruz diyelim.
Sıradaki sorumuza geçelim.  Şekildeki O merkezli dairenin yarıçapı 5 birimmiş   bakın hemen buralara beşer birim yazdım.
r, r  dedik ve hipotenüs de r kök 2 yani 5 kök 2 olacak,   AB uzunluğu.
Yayı da bulalım bakalım lazım olacak  mı, zannetmiyorum, dursun.
Taralı bölgenin alanını   istiyor.
Ne yapacağım?
Hemen daire diliminin  alanını bulalım pi çarpı r'in karesi yani 5'in   karesi çarpı alfa/360 kullanabilirsiniz ya  da hocam ben onun gördüm 1/4 olduğunu hemen   dörde bölelim, çeyrek çember, çünkü merkez arası  sadeleştirin de bakın 4 gelecek.
Yalnız bir  eksisi var bunun ne eksisi var?
Oradaki OAB   üçgenin alanı fazlalık, arkadaşlar, onu çıkarmamız  lazım.
Ne yapacağız?
Dik üçgenin alanı bulurken   (bölü 2) şeklinde de hesaplamış olacağız.   Ne yapalım?
Hemen isterseniz burada bir payda  eşitleyelim.
Sağ tarafın pay ve paydasını ikiyle   genişleteceğim.
Ortak paydalı oldular.
Yukarıda  orayı.
Bakın ilk kısımdan pi gelecek eksi burada  için 2 gelecek.
25 parantezinde (pi eksi 2)/4  birim kare olarak aradığımız o taralı bölgenin   alanı hesaplanmış olur, sevgili arkadaşlarım.  Gelelim sıradaki sorumuza.
Şekilde O merkezli   çeyrek daire içine bakın yine dörtte birlik  bir daire var, OCDE dikdörtgenin çizilmiştir.   OE 6, OC 8 birim olduğuna göre taralı alan kaç  birim karedir diye, bize sorulmuş.
Evet şimdi   ne yapacağız burada?
Hemen yarıçapı bulmamız  lazım.
Yarıçap bunu neresidir?
gördüğünüz gibi   şöyle OD'yi birleştirirsem bu bir yarıçaptır ve  OE uzunluğu 6'ysa DC uzunluğu 6 birim dikdörtgen   olduğu için.
Ne var burada?
Şuraya r dersem r'nin  karesi eşittir 6'nın karesi artı 8'in karesi,   görenler hızlıca söylediler bile zaten.
"6 - 8 -  artı 36 topladım kök içine aldım karekök 100 o da  arkadaşlar.
Şimdi taralı alanı söylerken orada  dörtte birlik bir daire var herkes bunu kabul   ediyor zaten.
Pi çarpı r üzeri 2 bölü (çeyrek  olduğu için) 4'e böleriz bunu böyle.
Tamam   güzel ama istemediğimiz ne var?
Beyaz bölge.
O  beyaz bölge ne?
Dikdörtgen.
Dikdörtgenin alanı   nasıl bulunur?
Kısa kenarıyla uzun kenarı  çarpılarak bulunur, elbette ki arkadaşlar.   Evet burada ne olur?
Hemen 10'un karesi 100  dörde böldüm 25 yapar.
Pi ile çarptım 25pi - (6   kere 8) 48 olarak yazalım şöyle.
Parantez  içine alalım birim karemizi de ekleyelim,   arkadaşlar.
25pi - 48 birim kare olarak taralı  bölgenin alanı hesaplanmış oldu diyelim.
Bu   soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir  sonraki derste görüşmek üzere, hoşçakalın.