İkinci Dereceden Denklemler Yeni Nesil Sorular Bölüm 2

Merhaba arkadaşlar konumuza yeni soru çeşitleriyle devam edelim.
Örnek a, b, c, reel sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax^2+bx+c=0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir.
Kökler ve denklem ve ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
x1+x2=-4.
1/x1+1/x2=1.
Buna göre x1^2+x2^2 toplamı kaçtır?
Şimdi kökler toplamını vermiş bir de 1/x1+1/x2=1 vermiş.
Burada paydaları eşitleyecek olursak x2 ve x1 diye x1+x2/x1*x2=1.
x1+x2 yi soru bana vermiş eksi dört diye.
O halde bu durumda x1*x2 buradan -4 gelmiş olur.
Peki bana ne sormuş?
x1^2+x2^2 sormuş.
Peki bunu nasıl elde ederiz?
x1+x2=-4 olduğunu biliyoruz.
Burada her iki tarafın karesini alacak olursak x1^2+2x1x2+x2^2=16.
Buradan x1*x2=-4 bulmuştuk.
O halde x1^2+x2^2=24 gelmiş oluyor cevabımız.
Örnek, -x^2+10x-24=0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir.
Aşağıdaki dikdörtgen şeklindeki masanın tabanının kenar uzunlukları metre cinsinden verilmiştir.
Buna göre bu masanın tabanının çevresi kaç metredir?
Şimdi öncelikle bana soru çevreyi sormuş.
Çevreyi nasıl buluyoruz?
İki tane kısa kenar ve iki tane uzun kenarı toplayarak uzun kenar nedir?
x1*x2^2.
Artı kısa kenar nedir?
x1^2*x^2.
Bunları topla ikiyle çarp.
Bu bana neyi verir?
Çevreyi verir.
Soru bana bunu sormuş.
O halde başlayalım.
Çevre eşittir iki çarpı parantez içerisinde ortak ne var?
x1*x2 var.
x1*x2 parantezine olacak olursak buradan x2, buradan x1 gelmiş oldu.
Yani parantez içerisinde kökler çarpımı ve kökler toplamı var.
O halde başlayalım.
Kökler çarpımı neydi?
c/a yani 24 gelmiş oluyor.
O halde şuraya yirmi dört yazdık.
Çarpı kökler toplamı neydi?
-b/a yani eksi on bolü eksi 1, buradan da artı 10 gelmiş oldu.
Peki çarpı ne var?
Buradan iki var.
Çevre neye eşitmiş bu durumda?
2*24*10 doğru cevabımız bizim 480 gelmiş oluyor.
Örnek, m>-2 ve x2<x1 olmak üzere x^2-(m+1)x-2m-4=0 denkleminin kökleri x1 ve x2'dir.
Mutlak içerisinde x1-x2 eşittir iki kök iki olduğuna göre m+(x1-x2)^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Şimdi öncelikle bir hatırlatma yapalım.
Mutlak içerisinde x1-x2 neydi kural kökü delta bölü mutlak a.
O halde bu ifade kök delta bölü mutlak a ise bu iki kök 2 eşittir mutlak a dediğim x karenin katsayısı.
O da 1'e eşit.
Kök delta bölü 1 neye eşitmiş iki kök iki.
O halde kökten kurtarmak için şöyle her tarafın karesini alacak olursak.
Yani delta neye eşit olmuş oldu?
İki kök ikinin karesi, yani sekize eşit olmuş oldu.
Peki delta neydi?
Delta b^2-4ac eşitmiş.
8.
O halde b kare dediğim eksi m artı birin karesi eksi m artı birin karesi, eksi dört çarpı a dediğim bir c de diyeyim eksi iki m, eksi dört.
Bu ifade sekize eşitmiş.
O halde düzenleyecek olursak m^2+2m+1.
Burada eksi içeri dağıtalım.
Eksi eksi artı yaptı.
Artı 8.
Artı 16.
Eşittir 8.
Peki düzenleyecek olursak m kare 8m 2m daha 10m bir artı, on altı, on yedi sekizi çıkardım.
Artı 9 eşittir sıfır.
Burada çarpanlara ayıracak olursak  şöyle her ikisine artı koyalım.
O halde buradan m eşittir eksi dokuz, m eşittir eksi 1 olmuş oluyor.
Fakat burada m<-2 demiş.
O halde m eksi dokuz olamaz  m=-1 bulmuş olduk.
Şimdi ise banax1-x2'nin karesini sormuş.
Mutlak içerisinde eksi 1 eksi 2 vermiş zaten.
O halde bunun her iki tarafını yine karesini alacak olursak eksi bir, eksi eksi ne gelmiş oldu iki kök ikinin karesi yani 8.
Peki ne bulmuştuk?
Eksi 1, eksi 1 artı 8'den.
O halde cevabımız 7 gelmiş oluyor.