Merhaba arkadaşlar örnek çözümlerimizle devam ediyoruz.
Integral 2x kare a d a artı integral x küp a kare d x integralinin sonucunu bulalım.
Birinci integralimizde değişkenimiz arkadaşlar a integrali.
A'ya göre alacağım, ikincide x'e göre alacağım.
O zaman birincide buradaki x kareyi a'nın bir katsayısı gibi düşünün.
Yani biz şöyle bir integral alıyormuşuz gibi bakın olaya.
6 a d a değişkenim a oradaki 2x kare ne o zaman?
Bu herhangi bir sabit katsayı gibi düşünüyoruz.
Buranın integralini alırken a kare bölü 2 yazdıktan sonra katsayı buraya yazardık di mi sonra artı c ederiz.
Burada da o zaman a kare bölü iki yazdınız katsayısı olan iki x kareyi herhangi bir katsayı bir sayı gibi düşündünüz.
Bunu direkt yazdınız.
Artı c diyelim buna artı diğerinde bu sefer x'e göre integral alıyorsunuz.
O zaman x küpün üzerini bir arttırıp arttırdığınız sayıya bölmeniz gerekir.
A kareyi ne yapacağım?
Onun da önündeki bir sabit gibi dışarıya çıkartıp çarpma olarak yazabilirim.
Artı C2 bu c1 C 2'ler, ikisinde de bir sabit gelecek diye yazıyorum.
O zaman bunları topladığımda şu 2leri sadeleştirdiniz.
X Kare a kare artı burada sadeleşen bir şey yok.
A kare x üzeri 4 bölü 4.
Bu C1 c2 toplamda bir tane C olarak yani orada bir sabit var anlamında yazıyoruz.
Zaten biz o c'yi.
Oraya artı c diye bir sabitimizi ekledik arkadaşlar.
Bakalım diğer örneğimize.
D Kareyi bölü d x kare integral 2x kare, +3 dx ifadesinde sonucunu arıyoruz.
D kare bölü de x kare ne demek arkadaşlar, yanındaki fonksiyonun iki defa türevini alın demek.
Peki d bölüğü d x.
İntegral f x dx olduğunda biz ne yapıyoruz, d'li sembolü yok ediyoruz.
D x ile de bunu ve cevabımız sadece f x veriyorduk.
Artı c eklemiyorum çünkü ana işlemin burada en son yaptığım işlem türev alma işlemi artı c yoktu.
E o zaman burada iki defa yapacağız bu işlemi.
Birinci defa yaptığınızda ne elde ediyormuşuz f.
O zaman burada bir defa türev aldığınızda yani şöyle yaptığımda d bölü dx.
Integral 2x kare artı üç dx yaptığınızda bu ikisini götürdünüz dx'leri götürdünüz.
Cevabımız 2x kare artı 3 oldu.
Tekrar türev almanızı söylüyor sizden o zaman bir daha türev alırsanız, 2x kare artı üçün türevi aldığınızda cevabımız 4x'dir arkadaşlar.
Evet, burada birkaç öncül verdik.
Bunlardan hangileri doğrudur diye soruyoruz.
Birincide integral f türev dx eşittir f x.
Bu zaten integral tanımı idi ama ne eksik artı c olmalıydı.
Artı c yazmamış birinci yanlıştır.
O zaman ikinci öncülde d ile sembol birbirini yok edecekti.
Kalan ne ise cevabımız oydu.
Bakın en f x dx yazdığınız cevabımız budur.
Doğrudur, ikinci öncül, Üçüncü de içeride f x var, x'i bize vermedi.
Bakın yine arada artı falan var değil mi?
O zaman burada çarpımın türevini arayacağız?
Acaba burada bir çarpım türevi var mı diye düşündüğünüzde görüyorsunuz zaten.
Bakın x kare var iki x var.
O zaman birinci türevi bakın burada x kare bu da onun türevi değil mi?
Burada f x var, burada da onun türevi var.
Yani bu aslında x kare çarpı f x'in türevi değil midir?
Bakın birincinin türevi 2 x, ikinci aynen yaz artı ikincinin türevini al.
Sonra birinciyi aynen yaz.
Bakın integral içinde yazan ifade zaten bu.
O zaman burası neymiş?
Şöyle bir şunun türevini aldım ben burada.
O zaman bu x kare çarpı f x'in türevi demektir değil mi?
Bunu integral ile aldığınızda da fonksiyonun kendisini bulursunuz.
X Kare çarpı f x'i integral aldığınız için artı c'yi eklediğiniz üçüncü öncülümüz doğrudur.
O halde dörde bakalım.
Burada f türevin içine g yazılmış.
Sonra g'nin türevi ile bir daha çarpılmış.
Bu da tanıdık geldi mi size bileşke fonksiyonları ne yapıyorduk?
Biz evin türevini alıyorduk içine dokunmuyorduk sonra içinin türevi çarpım olarak yazıyorduk.
Yani f bileşke g'nin türevi neydi?
Bakın f bileşke g x'in türevini alırken bu aslında şu demektir değil mi?
F'in içinde g x var.
Şöyle bunun türevini istiyor sizden.
Ilk dışarıdaki fonksiyonun türevini alıyorduk içinde bir şey varsa ona dokunmuyorduk.
Sonra çarpı için türevi yazıyorduk değil arkadaşlar.
Bileşke fonksiyonun türevini alırken bakın burada da öyle yapmamış mı?
Yani bu aslında f bileşke g x fonksiyonunun türevi değil mi şöyle türev x demek ki integralini aldığınızda da fonksiyonun kendisini buldunuz.
Integral aldığım için de C sabitini ekledim.
4'te doğrudur O halde.
Evet, bir örneğimiz daha var.
f x bir polinom fonksiyon olmak üzere, f x çarpı f türev x çarpı integral f x dx polinomunun derecesi 15 ise f x polinom fonksiyonunun derecesi kaçtır?
Evet, bu bir polinom fonksiyonsa derecesine şöyle diyelim derece f x eşittir a olsun arkadaşlar.
f x'in derecesi A ve türevinde ne yapıyorduk biz?
Üstleri aşağıya indirip üstünü bir azaltıyorduk değil mi?
O zaman A derecesi ise f x polinomunun derecesi ise artık bir azalır.
Türevi aldığınızda derecemiz a eksi 1 olur.
Bunlar dereceleri yazıyorum altına.
Integralde ne yapıyoruz?
İçinde yazan polinom fonksiyon üstlerini bir arttırıp arttırdığını sayıya bölüyorsunuz.
Yani derecesi ne ise bir fazlası olmaz mı üstleri bir arttırıyoruz.
Buranın derecesi de a artı birdir arkadaşlar.
Polinomlarda çarpma yaparken yani der p x çarpı q x bu iki polinomu çarptığınızda bunun derecesi n olsun.
Bunun derecesi n olsun.
Çarptığınıza ne diyorduk?
Dereceler toplanıp m artı n yazılıyordu değil mi?
O zaman bu fonksiyonun şu ifadenin derecesini bulurken çarpıyoruz madem bunları o zaman dereceler toplanır.
Ne yapar?
Hepsini topladığınızda a eksi bir a artı bir toplandığında eksi bir artı bir birbirini götürdü.
3 a yaptığı arkadaşlar.
3 A'nın 15 olduğunu verdi soru size.
O zaman a eşittir 5 dir.
Bize sorulan ne?
f x polinom fonksiyonunun derecesi.
Biz ona zaten a demiştik.
Cevabımız 5 olmalıdır arkadaşlar.
Integral 2x kare a d a artı integral x küp a kare d x integralinin sonucunu bulalım.
Birinci integralimizde değişkenimiz arkadaşlar a integrali.
A'ya göre alacağım, ikincide x'e göre alacağım.
O zaman birincide buradaki x kareyi a'nın bir katsayısı gibi düşünün.
Yani biz şöyle bir integral alıyormuşuz gibi bakın olaya.
6 a d a değişkenim a oradaki 2x kare ne o zaman?
Bu herhangi bir sabit katsayı gibi düşünüyoruz.
Buranın integralini alırken a kare bölü 2 yazdıktan sonra katsayı buraya yazardık di mi sonra artı c ederiz.
Burada da o zaman a kare bölü iki yazdınız katsayısı olan iki x kareyi herhangi bir katsayı bir sayı gibi düşündünüz.
Bunu direkt yazdınız.
Artı c diyelim buna artı diğerinde bu sefer x'e göre integral alıyorsunuz.
O zaman x küpün üzerini bir arttırıp arttırdığınız sayıya bölmeniz gerekir.
A kareyi ne yapacağım?
Onun da önündeki bir sabit gibi dışarıya çıkartıp çarpma olarak yazabilirim.
Artı C2 bu c1 C 2'ler, ikisinde de bir sabit gelecek diye yazıyorum.
O zaman bunları topladığımda şu 2leri sadeleştirdiniz.
X Kare a kare artı burada sadeleşen bir şey yok.
A kare x üzeri 4 bölü 4.
Bu C1 c2 toplamda bir tane C olarak yani orada bir sabit var anlamında yazıyoruz.
Zaten biz o c'yi.
Oraya artı c diye bir sabitimizi ekledik arkadaşlar.
Bakalım diğer örneğimize.
D Kareyi bölü d x kare integral 2x kare, +3 dx ifadesinde sonucunu arıyoruz.
D kare bölü de x kare ne demek arkadaşlar, yanındaki fonksiyonun iki defa türevini alın demek.
Peki d bölüğü d x.
İntegral f x dx olduğunda biz ne yapıyoruz, d'li sembolü yok ediyoruz.
D x ile de bunu ve cevabımız sadece f x veriyorduk.
Artı c eklemiyorum çünkü ana işlemin burada en son yaptığım işlem türev alma işlemi artı c yoktu.
E o zaman burada iki defa yapacağız bu işlemi.
Birinci defa yaptığınızda ne elde ediyormuşuz f.
O zaman burada bir defa türev aldığınızda yani şöyle yaptığımda d bölü dx.
Integral 2x kare artı üç dx yaptığınızda bu ikisini götürdünüz dx'leri götürdünüz.
Cevabımız 2x kare artı 3 oldu.
Tekrar türev almanızı söylüyor sizden o zaman bir daha türev alırsanız, 2x kare artı üçün türevi aldığınızda cevabımız 4x'dir arkadaşlar.
Evet, burada birkaç öncül verdik.
Bunlardan hangileri doğrudur diye soruyoruz.
Birincide integral f türev dx eşittir f x.
Bu zaten integral tanımı idi ama ne eksik artı c olmalıydı.
Artı c yazmamış birinci yanlıştır.
O zaman ikinci öncülde d ile sembol birbirini yok edecekti.
Kalan ne ise cevabımız oydu.
Bakın en f x dx yazdığınız cevabımız budur.
Doğrudur, ikinci öncül, Üçüncü de içeride f x var, x'i bize vermedi.
Bakın yine arada artı falan var değil mi?
O zaman burada çarpımın türevini arayacağız?
Acaba burada bir çarpım türevi var mı diye düşündüğünüzde görüyorsunuz zaten.
Bakın x kare var iki x var.
O zaman birinci türevi bakın burada x kare bu da onun türevi değil mi?
Burada f x var, burada da onun türevi var.
Yani bu aslında x kare çarpı f x'in türevi değil midir?
Bakın birincinin türevi 2 x, ikinci aynen yaz artı ikincinin türevini al.
Sonra birinciyi aynen yaz.
Bakın integral içinde yazan ifade zaten bu.
O zaman burası neymiş?
Şöyle bir şunun türevini aldım ben burada.
O zaman bu x kare çarpı f x'in türevi demektir değil mi?
Bunu integral ile aldığınızda da fonksiyonun kendisini bulursunuz.
X Kare çarpı f x'i integral aldığınız için artı c'yi eklediğiniz üçüncü öncülümüz doğrudur.
O halde dörde bakalım.
Burada f türevin içine g yazılmış.
Sonra g'nin türevi ile bir daha çarpılmış.
Bu da tanıdık geldi mi size bileşke fonksiyonları ne yapıyorduk?
Biz evin türevini alıyorduk içine dokunmuyorduk sonra içinin türevi çarpım olarak yazıyorduk.
Yani f bileşke g'nin türevi neydi?
Bakın f bileşke g x'in türevini alırken bu aslında şu demektir değil mi?
F'in içinde g x var.
Şöyle bunun türevini istiyor sizden.
Ilk dışarıdaki fonksiyonun türevini alıyorduk içinde bir şey varsa ona dokunmuyorduk.
Sonra çarpı için türevi yazıyorduk değil arkadaşlar.
Bileşke fonksiyonun türevini alırken bakın burada da öyle yapmamış mı?
Yani bu aslında f bileşke g x fonksiyonunun türevi değil mi şöyle türev x demek ki integralini aldığınızda da fonksiyonun kendisini buldunuz.
Integral aldığım için de C sabitini ekledim.
4'te doğrudur O halde.
Evet, bir örneğimiz daha var.
f x bir polinom fonksiyon olmak üzere, f x çarpı f türev x çarpı integral f x dx polinomunun derecesi 15 ise f x polinom fonksiyonunun derecesi kaçtır?
Evet, bu bir polinom fonksiyonsa derecesine şöyle diyelim derece f x eşittir a olsun arkadaşlar.
f x'in derecesi A ve türevinde ne yapıyorduk biz?
Üstleri aşağıya indirip üstünü bir azaltıyorduk değil mi?
O zaman A derecesi ise f x polinomunun derecesi ise artık bir azalır.
Türevi aldığınızda derecemiz a eksi 1 olur.
Bunlar dereceleri yazıyorum altına.
Integralde ne yapıyoruz?
İçinde yazan polinom fonksiyon üstlerini bir arttırıp arttırdığını sayıya bölüyorsunuz.
Yani derecesi ne ise bir fazlası olmaz mı üstleri bir arttırıyoruz.
Buranın derecesi de a artı birdir arkadaşlar.
Polinomlarda çarpma yaparken yani der p x çarpı q x bu iki polinomu çarptığınızda bunun derecesi n olsun.
Bunun derecesi n olsun.
Çarptığınıza ne diyorduk?
Dereceler toplanıp m artı n yazılıyordu değil mi?
O zaman bu fonksiyonun şu ifadenin derecesini bulurken çarpıyoruz madem bunları o zaman dereceler toplanır.
Ne yapar?
Hepsini topladığınızda a eksi bir a artı bir toplandığında eksi bir artı bir birbirini götürdü.
3 a yaptığı arkadaşlar.
3 A'nın 15 olduğunu verdi soru size.
O zaman a eşittir 5 dir.
Bize sorulan ne?
f x polinom fonksiyonunun derecesi.
Biz ona zaten a demiştik.
Cevabımız 5 olmalıdır arkadaşlar.
