Merhaba sevgili arkadaşlar, integral yardımıyla alan hesabına başlıyoruz.
x ekseni ve y eşittir f x eğrisi arasında kalan alanı inceleyeceğiz.
y eşittir f x eğrisi verildi.
Bu eğrinin x ekseninin altında kalan alanı a ve b doğrularıyla sınırladığımızda elde ettiğimiz alanı bulmak için arkadaşlar a ve b'yi sınırlarımıza yazdık, küçüğü alta büyüğü üste.
f x'in kuralını integralin içine yazdığımızda biz bu taralı alanı bulmuş oluyoruz arkadaşlar.
Burada şuna dikkat edin.
Eğer alanı istenilen bölge x eksini altında ise yine aynı şekilde kuralı yazdığınız küçükten büyüğe a ve b sınırlarını yazdınız ama integralin başına eksi koymanız gerekir.
Çünkü bu integralin değeri arkadaşlar negatiftir.
Alan negatif olmaz.
Başına eksi koyduğumuzda alanın değerini bulmuş oluyoruz.
Ve x eksenini kesiyorsa eğer eğrimiz istenilen yer de bu şekilde ise bakın bir kısmı yukarıda x ekseninin üstüne bir kısmı x ekseninin altında ise bu integrali bu alanı iki parça halinde bulmamız gerekir.
a'dan c'ye integral aldınız A1 alanını buldunuz.
c'den b'ye integral aldınız ama başına eksi koymanız gerekir.
Çünkü x ekseninin altında.
Bunların farkı bize taralı alanı a1, a2 alanlarının toplamını verecektir arkadaşlar.
Örneklerimizi inceleyelim.
y eşittir 3x doğrusu x eşittir 2, x eşittir 8 doğruları ve x ekseni arasında kalan alan.
Bakın bunu çizelim.
y ekseni, x eksenimiz.
y eşittir 3x doğrusu nedir?
Orijinden geçen, eğimi üç olan doğru demektir değil mi?
Orijinden geçen eğimi 3 olan doğruyu çizdim ve x eşittir 2 şöyle x eşittir 2, x eşittir 8 doğruları arasında kalan alan bakın şu taralı alandır bize sorulan yer.
Bu da y eşittir 3x doğrusu.
O halde alanımız integral 2'den 8'e 3x dx şeklinde bulunur.
3x'in integrali 3x kare bölü 2'dir.
Sınırlarımız 2 ve 8.
Sekizi yerine yazdığınızda 3 çarpı 64 bölü iki, ikiyi yerine yazdığınızda üç çarpı dört bölü iki.
Bunları şöyle sadeleştirip düzenleyelim.
Burası 32 olduğu burası 2 oldu.
96 eksi 6'dan cevabımız 90 birim karedir arkadaşlar taralı alan.
İkinci örneğimizde x kare artı bir eğrisi verildi.
Çizelim bunu da.
y ekseni x ekseni.
x kare artı 1 eğrisi nedir?
x kare parabolünün bir birim yukarıya ötelenmiş halidir.
Yani şu şekilde çizeceğiz değil mi?
Y eşittir a kare artı 1 eğrisini çizdim ve bizden x eşittir eksi iki, eksi iki burası olsun x eşittir 3 doğruları arasında kalan alan isteniyor.
x eksenini de sınırlayacak ve bu alan şu taradığı bölgedir arkadaşlar, bize taradığı alanı soruyor.
O zaman integral sınırların ne eksi 2'den 3'e kadar integral istendi ve x ekseninin üzerinde olduğu için başına eksi koymama gerek yok.
f x dx.
f x'imiz de burada ne?
x kare artı bir dx ve sınırlarımı eksi ikiye üç.
Alalım integrali, x karenin integrali x küp bölü 3.
Birin integrali x ve sınırlarımı eksi iki ve üçü yerine yazarsanız üçü yerine yazdığınızda yirmi yedi bölü üç artı üç.
Eksi, -2'yi yerine yazdığınızı eksi 8 bölü 3 eksi 2 elde edilir.
Şu kısım arkadaşlar 27'i 3'e böldüğünüz 9 3 doğrudan 12 buradan geldi artı 8 bölü 3 oldu.
Şöyle yazalım artı 8 bölü 3 artı 2 yani on dört artı 8 bölü 3 oldu.
Payda eşitlediğinizde ne elde ederiz?
Şurasını 3 ile payda eşitledim.
42 artı 8'den elli bölü Ü5 sorunuzun cevabıdır arkadaşlar.
Son örneğimizle devam edelim.
y eşittir x küp eğrisi, bakın y eşittir x küp nasıl çizildi?
y ekseni, x ekseni ve y eşittir x küp eğrimiz böyle gelip şuradan inmesi gerekiyordu.
y eşittir x küp eğrisi de çizdik.
Şimdi x eşittir eksi bir şöyle şurası eksi bir, x eşittir eksi üç.
Bu da burada.
Bizden istenen alan o halde burası değil mi?
x ekseninin altında kaldık.
Küçüğü aşağıya yazdım, büyüğü yukarıya yazdım.
f x'im de x küptü dx dediniz ama başına eksi koymayı unutmadınız arkadaşlar.
Taralı alanımız bu integrali sonucudur.
Bu da x üzeri 4 bölü 4 sınırlarımı da, şu eksiyi de yazalım, sınırlarımda eksi üçe eksi bir.
Evet eksi biri yerine yazarsam eksi bir bölü dört elle ederim.
Eksi eksi üçü yerine yazdığımda da eksi seksen bir bölü dört elde ederim.
Buradan da eksi bir bölü dört artı seksen bir bölü dörtten cevabımız seksen bölü dört, yani yirmi birim karedir taralı alanımız arkadaşlar.
x ekseni ve y eşittir f x eğrisi arasında kalan alanı inceleyeceğiz.
y eşittir f x eğrisi verildi.
Bu eğrinin x ekseninin altında kalan alanı a ve b doğrularıyla sınırladığımızda elde ettiğimiz alanı bulmak için arkadaşlar a ve b'yi sınırlarımıza yazdık, küçüğü alta büyüğü üste.
f x'in kuralını integralin içine yazdığımızda biz bu taralı alanı bulmuş oluyoruz arkadaşlar.
Burada şuna dikkat edin.
Eğer alanı istenilen bölge x eksini altında ise yine aynı şekilde kuralı yazdığınız küçükten büyüğe a ve b sınırlarını yazdınız ama integralin başına eksi koymanız gerekir.
Çünkü bu integralin değeri arkadaşlar negatiftir.
Alan negatif olmaz.
Başına eksi koyduğumuzda alanın değerini bulmuş oluyoruz.
Ve x eksenini kesiyorsa eğer eğrimiz istenilen yer de bu şekilde ise bakın bir kısmı yukarıda x ekseninin üstüne bir kısmı x ekseninin altında ise bu integrali bu alanı iki parça halinde bulmamız gerekir.
a'dan c'ye integral aldınız A1 alanını buldunuz.
c'den b'ye integral aldınız ama başına eksi koymanız gerekir.
Çünkü x ekseninin altında.
Bunların farkı bize taralı alanı a1, a2 alanlarının toplamını verecektir arkadaşlar.
Örneklerimizi inceleyelim.
y eşittir 3x doğrusu x eşittir 2, x eşittir 8 doğruları ve x ekseni arasında kalan alan.
Bakın bunu çizelim.
y ekseni, x eksenimiz.
y eşittir 3x doğrusu nedir?
Orijinden geçen, eğimi üç olan doğru demektir değil mi?
Orijinden geçen eğimi 3 olan doğruyu çizdim ve x eşittir 2 şöyle x eşittir 2, x eşittir 8 doğruları arasında kalan alan bakın şu taralı alandır bize sorulan yer.
Bu da y eşittir 3x doğrusu.
O halde alanımız integral 2'den 8'e 3x dx şeklinde bulunur.
3x'in integrali 3x kare bölü 2'dir.
Sınırlarımız 2 ve 8.
Sekizi yerine yazdığınızda 3 çarpı 64 bölü iki, ikiyi yerine yazdığınızda üç çarpı dört bölü iki.
Bunları şöyle sadeleştirip düzenleyelim.
Burası 32 olduğu burası 2 oldu.
96 eksi 6'dan cevabımız 90 birim karedir arkadaşlar taralı alan.
İkinci örneğimizde x kare artı bir eğrisi verildi.
Çizelim bunu da.
y ekseni x ekseni.
x kare artı 1 eğrisi nedir?
x kare parabolünün bir birim yukarıya ötelenmiş halidir.
Yani şu şekilde çizeceğiz değil mi?
Y eşittir a kare artı 1 eğrisini çizdim ve bizden x eşittir eksi iki, eksi iki burası olsun x eşittir 3 doğruları arasında kalan alan isteniyor.
x eksenini de sınırlayacak ve bu alan şu taradığı bölgedir arkadaşlar, bize taradığı alanı soruyor.
O zaman integral sınırların ne eksi 2'den 3'e kadar integral istendi ve x ekseninin üzerinde olduğu için başına eksi koymama gerek yok.
f x dx.
f x'imiz de burada ne?
x kare artı bir dx ve sınırlarımı eksi ikiye üç.
Alalım integrali, x karenin integrali x küp bölü 3.
Birin integrali x ve sınırlarımı eksi iki ve üçü yerine yazarsanız üçü yerine yazdığınızda yirmi yedi bölü üç artı üç.
Eksi, -2'yi yerine yazdığınızı eksi 8 bölü 3 eksi 2 elde edilir.
Şu kısım arkadaşlar 27'i 3'e böldüğünüz 9 3 doğrudan 12 buradan geldi artı 8 bölü 3 oldu.
Şöyle yazalım artı 8 bölü 3 artı 2 yani on dört artı 8 bölü 3 oldu.
Payda eşitlediğinizde ne elde ederiz?
Şurasını 3 ile payda eşitledim.
42 artı 8'den elli bölü Ü5 sorunuzun cevabıdır arkadaşlar.
Son örneğimizle devam edelim.
y eşittir x küp eğrisi, bakın y eşittir x küp nasıl çizildi?
y ekseni, x ekseni ve y eşittir x küp eğrimiz böyle gelip şuradan inmesi gerekiyordu.
y eşittir x küp eğrisi de çizdik.
Şimdi x eşittir eksi bir şöyle şurası eksi bir, x eşittir eksi üç.
Bu da burada.
Bizden istenen alan o halde burası değil mi?
x ekseninin altında kaldık.
Küçüğü aşağıya yazdım, büyüğü yukarıya yazdım.
f x'im de x küptü dx dediniz ama başına eksi koymayı unutmadınız arkadaşlar.
Taralı alanımız bu integrali sonucudur.
Bu da x üzeri 4 bölü 4 sınırlarımı da, şu eksiyi de yazalım, sınırlarımda eksi üçe eksi bir.
Evet eksi biri yerine yazarsam eksi bir bölü dört elle ederim.
Eksi eksi üçü yerine yazdığımda da eksi seksen bir bölü dört elde ederim.
Buradan da eksi bir bölü dört artı seksen bir bölü dörtten cevabımız seksen bölü dört, yani yirmi birim karedir taralı alanımız arkadaşlar.
Sıkça Sorulan Sorular
İntegral alan hesabı nasıl yapılır?
Düzgün geometrik şekillerin alanını nasıl kolaylıkla hesaplayacağımızı Geometri derslerinde öğrenmiştik. Düzgün olmayan, eğri çizgilerden oluşan şekillerin alanını ve bir eğrinin altında kalan alanı bulmak için Geometri formülleri yeterli olmaz, Matematik’te gördüğümüz İntegral bilgilerimizi kullanmak gerekir.
İki nokta arasındaki bir fonksiyon aralığının altındaki alan, iki nokta arasında belirli integral oluşturularak bulunabilir. x = a ve x = b arasındaki y = f(x) fonksiyonunun altındaki alanı bulmak için, a ve b sınırları arasında y = f(x) fonksiyonunun belirli integrali alınmalıdır.
Not: Alan hesaplaması yaparken, hesaplayacağımız integralin pozitif bir değer olmasına dikkat etmeliyiz. Bize sorulan aralığı doğru parçalara bölüp x ekseninin altında kalan bölgelerle x ekseninin üstünde kalan bölgeleri ayırmalıyız.
