Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz küre.
Öncelikle kürenin tanımıyla başlayalım.
Neymiş küre?
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine biz küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlanan cisme ise biz küre diyeceğiz.
Tabii ki küre olarak örnek vermek gerekirse, şimdi küre yüzeyi deyince içi boş bir top düşünün mesela.
İçinde hava var, herhangi bir şey yok. Bu küre yüzeyi.
Bunun içinin dolduğunda mesela demir bir bilye olsun ya da işte içi tam dolu bir karpuz olsun.
Bu da arkadaşlar ne olacak?
Küre olacak.
Örneğin şekilde gördüğünüz O merkezli, r birim yarıçaplı bir küredir.
Sabit bir nokta demiştik, oradaki sabit nokta nedir?
O noktasıdır, kürenin merkezidir O.
Sabit uzaklıkta bulunan yani eşit ve sabit uzaklıkta bulunan noktalar demiştik. Oradaki sabit uzaklık da nedir?
Yarıçaptır. Biz bunu nereden hatırlıyoruz?
Aslında çemberin tanımından hatırlıyoruz, değil mi?
Neydi çember?
İşte, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesiydi.
Bu iki boyuttaydı, düzlemdi.
Şimdi biz uzaya geçtik yani üç boyuta geçtik aslında.
3 boyutta sabit bir nokta alıyoruz.
Bu noktadan eşit uzaklıkta bulunan bütün noktaları aldığımızda işte o yüzeyle sınırlanan bütün noktalarla elde ettiğimiz cisme ise küre demiş olduk.
Şimdi tekrar söyleyelim, sabit noktaya ne dedik?
Kürenin merkezi yani O noktası. Sabit uzaklığa ise kürenin yarıçapı dedik.
Yarıçap uzunluğu yani OB r birimdir.
Ya da işte OA, o da r'dir fark etmez.
Ya da işte siz bir C noktası seçersiniz burada, OC.
O da nedir arkadaşlar?
Yine r birimdir, yarıçaptır.
Neden?
Çünkü kürenin üzerinde bir C noktası seçtik ve bunu ne yaptık?
Merkezle birleştirdik.
Bu yarıçarptır zaten.
Şimdi başka bir önemli şey daha var burada.
AB çaplı çembere biz ne diyeceğiz?
Kürenin en büyük çemberi diyeceğiz.
Gördüğünüz gibi buradaki AO uzunluğu nedir arkadaşlar?
Yarıçap, r'dir o.
Sonrasında OB, o da r'dir.
Baktığımızda AB ise orada çizdiğimiz çemberin gördüğünüz gibi arka tarafı böyle nokta nokta nokta gösterilmiş ya.
İşte o çemberin çapı AB'dir.
Tabii ki burada yanlış anlaşılma olmasın.
Burada sadece en büyük çember, sadece AB çaplı çember değildir.
Neden?
İşte şuradaki nokta D olsun.
Aşağıdaki noktaya E diyelim. Gördüğünüz gibi DE çaplı çember de kürenin en büyük çemberidir.
Dolayısıyla aslında bir çemberin kürenin en büyük çemberi olabilmesi için o çemberin merkezinin ne olması lazım?
O noktası yani kürenin merkezi ile aynı olması lazım.
Yani burada aslında merkezi O noktası olan bütün çemberler nedir?
Kürenin en büyük çemberidir diyebiliriz sevgili arkadaşlar.
Peki, şimdi bir not ile devam ediyoruz.
Bir küre yüzeyi ile bir düzlemin ara kesiti bir çember ve bir küre ile bir düzlemin ara kesitiyse bir daire belirtir.
Neden?
Çünkü küre yüzeyi dediğimizde içi boştur bunun.
Şimdi içi boş bir şeyi kestiğimizde, karşıya baktığımda sadece çember ile sınırlı bölgeyi görürüz.
Yani şuradaki beyaz içi dolu kısmı, yukarıdaki kısmı görmeyiz.
Ne zaman oradaki beyazlıkları görürüz?
Bir küre ile bir düzlemi kestiğimiz zaman.
Yani şöyle bir örnek vermek gerekirse aslında bir tam yuvarlak küre şeklinde bir karpuz düşünün.
O karpuzu yeterince büyük bir bıçakla kestiğinizde ve işte yukarıdaki şapkayı kaldırdığınızda ne oluşur aslında?
Hem aşağıda kalan parçada hem de elinizde kalan parçada kırmızı o karpuz olarak gördüğünüz yer var ya, işte o aslında bir dairedir.
İçi boş halidir yani hani o, yani daha doğrusu içi boş derken oradaki kırmızı kısımlar içini doldurmuştur o dışarıdaki çemberin ve bir daire oluşturmuştur.
Yani aslında oradaki küre yüzeyi olmuş olsaydı, karpuzun içi boş olmuş olsaydı sadece bir çember görürdünüz.
Ara kesit olarak adlandırdığımız yer hem elinize aldığınız parçada hem de o aşağıda kaldığınız, aşağıda kalan parçada gördüğünüz yüzeydir.
Yani şuradaki beyaz, bakın şu an kırmızıyla üstünden geçtiğimiz bölüm oradaki ara kesittir.
Küre ile düzlemin ara kesiti dairedir.
Bizim için önemli olan nokta şimdilik burasıdır diyelim ve hemen kürenin yüzey alanına geçelim.
Bir kürenin yüzey alanı kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katıdır.
Az önce söyledik kürenin en büyük dairesinin ne olduğunu. Yarıçapı r birim olan bir küre düşünelim.
En büyük dairesinin de şimdi merkezi yine aynı olacak. Onun da yarıçapı r olacak.
Dolayısıyla o dairenin alanı πr² olmuş olacak arkadaşlar.
Şimdi bunu alanını bulmuş olacağız.
O zaman 4πr² olarak kürenin yüzey alanı hesaplanabilir diyoruz ve hemen vakit kaybetmeden kürenin hacmine geçiyoruz. Yine yarıçapı r birim olsun, bir küre.
Bunun hacmi nasıl bulunur?
4 bölü 3 πr³ formülüyle bulunur. Yine burada şöyle bir ek bilgi verelim.
Bakın buradaki hacim formülünü biz f(r) ile gösterelim ve buradaki f(r)'nin yani f fonksiyonunun ne yapalım?
r'ye göre türevini alalım.
Nedir buradaki türev?
4/3 ve π başındaki sabit sayılardır.
Onları aynen yazdım.
r³'ün türevi, buldum.
Bu da neydi?
Bu da kürenin alan formülü, yüzey alanıydı arkadaşlar.
Öyle değil mi?
O halde aslında gittim hacmin türevini aldım arkadaşlar, yüzey alanını elde ettim.
Neymiş türev?
Bize boyutlar arasında geçiş sağlıyormuş.
Niye?
Hacim üç boyuttadır, alan iki boyuttadır.
Bakın boyutu küçülttü değil mi?
Bir türev aldım.
Hacimden alana, üç boyuttan iki boyuta geçmiş oldum diyelim ve hemen örneklerimize geçelim.
Yarıçap uzunluğu diyor 2 santim olan kürenin alanını ve hacmini bulunuz.
Yani aslında r eşittir 2 santimetre olarak bize verilmiş.
Hemen alan yazıyorum.
Neydi alan formülümüz arkadaşlar?
4πr²'ydi.
Yani 4 çarpı π çarpı, r yerine 2 yazıyorum.
2'nin karesi. Nedir o da?
4.
4 kere 4, 16π santimetrekare olarak bulunur.
Tabii ki alan birimi olarak birimkare, santimetrekare olarak biz hep kullanıyoruz.
Niye?
Çünkü iki boyut var.
Santimetre çarpı santimetre santimetrekare yapar.
Geldik şimdi hacme.
Hacim formülü neydi?
4 bölü 3 πr³.
Bakın r'nin küpünü aldım yani hangi birimde ise onun 3.
kuvvetini almış olduk.
Hemen yazıyorum.
4/3 çarpı π çarpı, r yerine 2 yazıyorum.
2'nin küpü.
2'nin küpü nedir?
8.
4 kere 8 de 32.
32π/3.
Bu sefer nedir birimimiz?
Santimetreküptür sevgili gençler, az önce de bahsettiğimiz gibi.
Evet, hem alanını hem hacmini bulmuş olduk.
Dolayısıyla örneğimizi tamamladık.
Sıradaki örneğimize geçebiliriz.
Diyor ki alanı 64π santimetrekare olan kürenin hacmini bulunuz.
Şimdi, alan formülümüz biliyorsunuz 4πr²'ydi.
Siz bunu gidip 64π'ye eğer eşitlerseniz burada π'ler kısalır.
4r² 64 ise eğer r² eşittir 16.
r eşittir 4 santimetre olarak bulunur.
Sonra gelelim hacim, hacim formülümüzü tekrar yazıyorum.
4 bölü 3 πr³ olarak söylemiştik onu. Bölü 3π santimetreküp olarak sevgili arkadaşlarım hacim de bulunmuş oldu ve bu soruyla birlikte dersimizi bitirebiliriz.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz küre.
Öncelikle kürenin tanımıyla başlayalım.
Neymiş küre?
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine biz küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlanan cisme ise biz küre diyeceğiz.
Tabii ki küre olarak örnek vermek gerekirse, şimdi küre yüzeyi deyince içi boş bir top düşünün mesela.
İçinde hava var, herhangi bir şey yok. Bu küre yüzeyi.
Bunun içinin dolduğunda mesela demir bir bilye olsun ya da işte içi tam dolu bir karpuz olsun.
Bu da arkadaşlar ne olacak?
Küre olacak.
Örneğin şekilde gördüğünüz O merkezli, r birim yarıçaplı bir küredir.
Sabit bir nokta demiştik, oradaki sabit nokta nedir?
O noktasıdır, kürenin merkezidir O.
Sabit uzaklıkta bulunan yani eşit ve sabit uzaklıkta bulunan noktalar demiştik. Oradaki sabit uzaklık da nedir?
Yarıçaptır. Biz bunu nereden hatırlıyoruz?
Aslında çemberin tanımından hatırlıyoruz, değil mi?
Neydi çember?
İşte, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesiydi.
Bu iki boyuttaydı, düzlemdi.
Şimdi biz uzaya geçtik yani üç boyuta geçtik aslında.
3 boyutta sabit bir nokta alıyoruz.
Bu noktadan eşit uzaklıkta bulunan bütün noktaları aldığımızda işte o yüzeyle sınırlanan bütün noktalarla elde ettiğimiz cisme ise küre demiş olduk.
Şimdi tekrar söyleyelim, sabit noktaya ne dedik?
Kürenin merkezi yani O noktası. Sabit uzaklığa ise kürenin yarıçapı dedik.
Yarıçap uzunluğu yani OB r birimdir.
Ya da işte OA, o da r'dir fark etmez.
Ya da işte siz bir C noktası seçersiniz burada, OC.
O da nedir arkadaşlar?
Yine r birimdir, yarıçaptır.
Neden?
Çünkü kürenin üzerinde bir C noktası seçtik ve bunu ne yaptık?
Merkezle birleştirdik.
Bu yarıçarptır zaten.
Şimdi başka bir önemli şey daha var burada.
AB çaplı çembere biz ne diyeceğiz?
Kürenin en büyük çemberi diyeceğiz.
Gördüğünüz gibi buradaki AO uzunluğu nedir arkadaşlar?
Yarıçap, r'dir o.
Sonrasında OB, o da r'dir.
Baktığımızda AB ise orada çizdiğimiz çemberin gördüğünüz gibi arka tarafı böyle nokta nokta nokta gösterilmiş ya.
İşte o çemberin çapı AB'dir.
Tabii ki burada yanlış anlaşılma olmasın.
Burada sadece en büyük çember, sadece AB çaplı çember değildir.
Neden?
İşte şuradaki nokta D olsun.
Aşağıdaki noktaya E diyelim. Gördüğünüz gibi DE çaplı çember de kürenin en büyük çemberidir.
Dolayısıyla aslında bir çemberin kürenin en büyük çemberi olabilmesi için o çemberin merkezinin ne olması lazım?
O noktası yani kürenin merkezi ile aynı olması lazım.
Yani burada aslında merkezi O noktası olan bütün çemberler nedir?
Kürenin en büyük çemberidir diyebiliriz sevgili arkadaşlar.
Peki, şimdi bir not ile devam ediyoruz.
Bir küre yüzeyi ile bir düzlemin ara kesiti bir çember ve bir küre ile bir düzlemin ara kesitiyse bir daire belirtir.
Neden?
Çünkü küre yüzeyi dediğimizde içi boştur bunun.
Şimdi içi boş bir şeyi kestiğimizde, karşıya baktığımda sadece çember ile sınırlı bölgeyi görürüz.
Yani şuradaki beyaz içi dolu kısmı, yukarıdaki kısmı görmeyiz.
Ne zaman oradaki beyazlıkları görürüz?
Bir küre ile bir düzlemi kestiğimiz zaman.
Yani şöyle bir örnek vermek gerekirse aslında bir tam yuvarlak küre şeklinde bir karpuz düşünün.
O karpuzu yeterince büyük bir bıçakla kestiğinizde ve işte yukarıdaki şapkayı kaldırdığınızda ne oluşur aslında?
Hem aşağıda kalan parçada hem de elinizde kalan parçada kırmızı o karpuz olarak gördüğünüz yer var ya, işte o aslında bir dairedir.
İçi boş halidir yani hani o, yani daha doğrusu içi boş derken oradaki kırmızı kısımlar içini doldurmuştur o dışarıdaki çemberin ve bir daire oluşturmuştur.
Yani aslında oradaki küre yüzeyi olmuş olsaydı, karpuzun içi boş olmuş olsaydı sadece bir çember görürdünüz.
Ara kesit olarak adlandırdığımız yer hem elinize aldığınız parçada hem de o aşağıda kaldığınız, aşağıda kalan parçada gördüğünüz yüzeydir.
Yani şuradaki beyaz, bakın şu an kırmızıyla üstünden geçtiğimiz bölüm oradaki ara kesittir.
Küre ile düzlemin ara kesiti dairedir.
Bizim için önemli olan nokta şimdilik burasıdır diyelim ve hemen kürenin yüzey alanına geçelim.
Bir kürenin yüzey alanı kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katıdır.
Az önce söyledik kürenin en büyük dairesinin ne olduğunu. Yarıçapı r birim olan bir küre düşünelim.
En büyük dairesinin de şimdi merkezi yine aynı olacak. Onun da yarıçapı r olacak.
Dolayısıyla o dairenin alanı πr² olmuş olacak arkadaşlar.
Şimdi bunu alanını bulmuş olacağız.
O zaman 4πr² olarak kürenin yüzey alanı hesaplanabilir diyoruz ve hemen vakit kaybetmeden kürenin hacmine geçiyoruz. Yine yarıçapı r birim olsun, bir küre.
Bunun hacmi nasıl bulunur?
4 bölü 3 πr³ formülüyle bulunur. Yine burada şöyle bir ek bilgi verelim.
Bakın buradaki hacim formülünü biz f(r) ile gösterelim ve buradaki f(r)'nin yani f fonksiyonunun ne yapalım?
r'ye göre türevini alalım.
Nedir buradaki türev?
4/3 ve π başındaki sabit sayılardır.
Onları aynen yazdım.
r³'ün türevi, buldum.
Bu da neydi?
Bu da kürenin alan formülü, yüzey alanıydı arkadaşlar.
Öyle değil mi?
O halde aslında gittim hacmin türevini aldım arkadaşlar, yüzey alanını elde ettim.
Neymiş türev?
Bize boyutlar arasında geçiş sağlıyormuş.
Niye?
Hacim üç boyuttadır, alan iki boyuttadır.
Bakın boyutu küçülttü değil mi?
Bir türev aldım.
Hacimden alana, üç boyuttan iki boyuta geçmiş oldum diyelim ve hemen örneklerimize geçelim.
Yarıçap uzunluğu diyor 2 santim olan kürenin alanını ve hacmini bulunuz.
Yani aslında r eşittir 2 santimetre olarak bize verilmiş.
Hemen alan yazıyorum.
Neydi alan formülümüz arkadaşlar?
4πr²'ydi.
Yani 4 çarpı π çarpı, r yerine 2 yazıyorum.
2'nin karesi. Nedir o da?
4.
4 kere 4, 16π santimetrekare olarak bulunur.
Tabii ki alan birimi olarak birimkare, santimetrekare olarak biz hep kullanıyoruz.
Niye?
Çünkü iki boyut var.
Santimetre çarpı santimetre santimetrekare yapar.
Geldik şimdi hacme.
Hacim formülü neydi?
4 bölü 3 πr³.
Bakın r'nin küpünü aldım yani hangi birimde ise onun 3.
kuvvetini almış olduk.
Hemen yazıyorum.
4/3 çarpı π çarpı, r yerine 2 yazıyorum.
2'nin küpü.
2'nin küpü nedir?
8.
4 kere 8 de 32.
32π/3.
Bu sefer nedir birimimiz?
Santimetreküptür sevgili gençler, az önce de bahsettiğimiz gibi.
Evet, hem alanını hem hacmini bulmuş olduk.
Dolayısıyla örneğimizi tamamladık.
Sıradaki örneğimize geçebiliriz.
Diyor ki alanı 64π santimetrekare olan kürenin hacmini bulunuz.
Şimdi, alan formülümüz biliyorsunuz 4πr²'ydi.
Siz bunu gidip 64π'ye eğer eşitlerseniz burada π'ler kısalır.
4r² 64 ise eğer r² eşittir 16.
r eşittir 4 santimetre olarak bulunur.
Sonra gelelim hacim, hacim formülümüzü tekrar yazıyorum.
4 bölü 3 πr³ olarak söylemiştik onu. Bölü 3π santimetreküp olarak sevgili arkadaşlarım hacim de bulunmuş oldu ve bu soruyla birlikte dersimizi bitirebiliriz.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Küre nedir? Küre özellikleri nelerdir?
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine “küre yüzeyi” denir. Küre yüzeyi ile sınırlandırılan cisme de küre denir.
Sabit noktaya kürenin merkezi, sabit uzaklığa ise kürenin yarıçap uzunluğu denir.
Verilen şekilde O kürenin merkezi iken, [OB] doğru parçası kürenin yarıçapını verir.
Kürenin yüzey alanı nasıl hesaplanır?
Bir kürenin yüzey alanı, kürenin en büyük dairesinin alanının 4 katıdır. Kürenin en büyük dairesi merkezden geçer ve yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir.
Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin yüzey alanı 4.π.r2 dir.
Kürenin kaç yüzü vardır?
Kürenin bir yüzü vardır. Ayrıt ve köşe sayısı ise sıfırdır.
Kürenin açılımı var mıdır?
Kürenin açılımı yoktur.
Dünyanın şekli küre midir?
Dünya küresel bir şekle sahiptir fakat dünyanın şekli tam olarak küre değildir. Dünyanın şekli ekvatordan şişik, kutuplardan ise basıktır. Bu nedenle dünyanın şekline küre diyemeyiz. Dünyanın kutuplardan basık, ekvatordan şişik bu şekline günümüzde geoit denilmektedir.
Kürenin hacmi nasıl hesaplanır?
Küre hacmi hesaplayabilmek için kürenin yarıçapı bilgisi yeterlidir.
Yarıçapı r olan bir kürenin hacim formülü;
dir.
