Merhabalar arkadaşlar, şimdi sayı problemlerine devam edelim.
Farklı soru tipleriyle sorularımızı çözelim.
Şimdi, "10 kişilik bir arkadaş grubundaki her kız 7 TL ve her erkek 10 TL vererek toplamda göre, bu gruptaki kız sayısı kaçtır?
" diyor.
Şimdi arkadaşlar, bunu da yine dediğimiz gibi ya iki değişkenle çözersiniz yada tek değişkenle.
Şimdi, ilk önce biz iki değişkenle çözelim.
Diyelim ki kız sayısı ve erkek sayısı.
Ben diyorum ki kız sayısı x tane olsun, onu sorduğu için x dedim buraya. Erkek sayısı y tane olsun.
Şimdi, bunların toplamları 10 kişilik grup oluşturacaktır.
Yani x artı y eşittir buradan 10'u elde edeceğiz.
Peki daha sonra, her kız 7 TL veriyor.
O zaman x tane kız varsa toplamda 7x lira vereceklerdir bunlar, artı diyorum, her erkek de bu sefer 10 lira veriyor.
Yani 10 çarpı y'den bu sefer 10y lira verecektir erkekler ve toplamda bunlar 88 liraya buradan bir voleybol topu alıyorlar.
Şimdi 1. dereceden iki bilinmeyenli iki denklem oldu, yani denklem sistemi oldu.
Bu saatten sonra yok etme metodu kullanarak bu soruyu çözebiliriz. Ben diyorum ki buradan x'leri götürelim, y'leri de götürebiliriz ama hangisini götüreceğimiz aslında bize kalmış.
Burada ilk önce x'leri götürmek benim gözüme daha kolay gözüktü.
Bu sefer her tarafı 7 ile çarpıyorum, her tarafı 7 ile çarpıp taraf tarafa toplarsan bakınız burası da 88.
Topladığınızda 18 elde ediyorsunuz. Her tarafı da 3'e böldüğünüzde y'yi buradan 6 buluyorsunuz.
Şimdi, y'ye baktığınızda y burada erkeklerin sayısını veriyor, toplamda burada 10 kişi varsa o zaman demek ki bu grupta geri kalan tek değişkenle nasıl çözerdiniz?
Şöyle yapardık, kız sayısına biz burada x dediğimizde erkek sayısı o zaman demek ki geri kalanlar olurdu.
Geri kalanlar nedir?
10 eksi x'tir.
Yani, 10 kişilik gruptan x tane kızı çıkartmaktır.
Daha sonra, bu saatten sonra ne yaparsınız?
Kızların sayısı x taneyse ve 7 lira veriyorsa her biri, 7x lira verecekler.
Tabii bu denklemi çözmeyeceğim ben.
Daha sonra artı, erkekler de 10 lira veriyorlarsa 10 çarpı, bu sefer 10 eksi x kadar para toplanacaktır.
Daha sonra bu da tek denklemle bu işlemi getirebiliyorsunuz. Peki diğer bir örneğimiz, şimdi, 100 soruluk bir sınavda 4 yanlış 1 doğruyu götürmektedir.
Bu sınavdaki bütün soruları cevaplayan bir öğrencinin cevaplamıştır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, net nasıl hesaplanır?
Net şöyle hesaplanır, sizin bir doğru sayınız vardır, bir de yanlış sayınız vardır.
Yanlış sayınızın her 4 tanesi 1 doğruyu götürüyorsa o zaman demek ki yanlış sayınızı 4'e bölerseniz o sizin götürdüğü doğruları bulursunuz.
Daha sonra oluşturduğunuz doğrulardan giden doğruları çıkarttığınızda netinizi bulursunuz.
Şimdi o zaman diyorum ki ben, doğru sayısı ve yanlış sayısı.
Ne yapalım, bunu da 2 değişkenle çözelim.
Buradaki doğru sayısı x tane olsun, yanlış sayısı da y tane olsun.
O zaman demek ki şunu söyleriz, buradaki bütün hepsini çözdüğü için bu kişi x ile y'nin toplamlarından nasıl hesaplarız?
Doğruların sayısından burada yanlışlarının götürdüğü doğruları sileriz.
Yani yanlışları y taneyse, o zaman demek ki bunları biz 4'e böldüğümüzde bu kadar doğru gidecek demektir ve bunu çıkarttığımızda da biz buradan 60 neti elde edeceğiz demektir. Daha sonra buradaki iki denklemden biz burada x'i veya y'i bularak soruyu bitirmiş oluruz.
O zaman şöyle yapmak istiyorum ben, şöyle birazcık daha sol tarafa alayım.
Burada alt taraftaki denkleme her tarafı 4'le çarptığınızda şunu elde ediyorsunuz, üst taraftaki denklem kalsın, x artı y eşittir 100, alt taraftaki denkleme her tarafı 4'le çarptığınızda 4x eksi y eşittir 240 elde ediyorsunuz.
Bakınız alt alta toplarsanız bunu şöyle olur, y'ler gider, x'lerden de 5x gelecektir.
240'la da 100'ü topladığınızda burada 340'ı elde edeceksiniz.
Artık her tarafı x eşittir o zaman ne olacaktır?
68 tane doğrunuz olacaktır.
Peki, bunu tek değişkene bağlı nasıl çözerdiniz?
Bu sefer doğrularının sayısı x iken yanlışlarının sayısına 100 eksi x derdiniz ve bu şekilde yine tek değişkene bağlı çözerdiniz. Yani sadece şurayı kullanarak çözebiliyorsunuz. Peki şimdi diğer bir örneğimiz, bir sınıftaki öğrenciler ikişer ikişer otururlarsa 9 öğrenci ayakta kalmakta, üçer üçer otururlarsa bir sıra boş kalmaktadır.
Buna göre sınıftaki sıra sayısını bulunuz.
Sınıftaki öğrenci sayısını bulunuz.
Şimdi bakınız zaten biz bu soruyu çözdüğümüzde ikisini birden bulmuş olacağız. Ben diyorum ki bu sınıfta x tane sıra olsun, bu bize sıra sayısını versin.
Şimdi bu öğrenciler ikişer ikişer otururlarsa ve x tane sıra varsa o zaman demek ki 2 çarpı x tane öğrenci oturmuş olur ve 9 öğrenci ayakta kalıyorsa artı 9 eklediğimizde biz aslında sınıfın mevcudunu bulmuş oluruz. Eşittir diyorum, aynı sınıfın mevcudu nasıl bulunur?
Bu sefer "üçer üçer otururlarsa 1 sıra boş kalmaktadır" diyor, bakınız sıra sayısına x dedim, 1 sıra boş kalıyorsa o zaman demek ki x eksi 1 tane sıra doluyor demektir. Peki kaçar kaçar dolduruyorsunuz?
Bu sefer 3'er yine sınıfın mevcudunu elde edersiniz.
Yani hem sol taraftaki hem sağ taraftaki sınıfın mevcudu olduğu için eşitlenir bunlar.
Daha sonra bu işlemi çözüyorum.
2x artı 9 eşittir diyorum, sıra sayısının 12 tane olduğunu buluruz.
Yani öğrenci sayısı nasıldır?
Ya burada x'in yerine 12 koyarsınız ya da burada x'in yerine 12 koyarsınız, aynı şeyi verecektir.
Sol tarafta koyalım, yani şurada koymak istiyorum.
2 kere 12, oluruz.
Evet şimdi geldik diğer bir örneğimize, Nesrin bir bilet kuyruğunda baştan 8.
ve Sıla aynı bilet kuyruğunda sondan 6.
sıradadır. Nesrin ile Sıla arasında 3 kişi olduğuna göre bu bilet kuyruğundaki kişi sayısının alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?
Şimdi bakınız burada farklı değerlerden kastı şudur, yani bunu iki durumda incelemeliyiz.
Şöyle iki durumda inceleyeceğiz.
Şimdi kuyrukları çizelim, şöyle kuyruklar var.
Şimdi bir bilet kuyruğu şimdi baştan ve sondan bahsediyoruz, o zaman demek ki şurası başı göstermek üzere B yazalım.
Burası sonu göstermek üzere S yazalım.
Alt tarafta da aynısı olsun, baş ve son.
Şimdi bakınız, Nesrin bir bilet kuyruğunda baştan 8.
ise o zaman 1.
ihtimalde Sıla'nın önünde olur.
2.
ihtimalde de Sıla'nın arkasında olur.
Ben 1.
ihtimalde Sıla'nın önünde olmasını istiyorum.
Yani Nesrin'i geliyorum buraya koyuyorum.
Bakınız burada 1 kişi var şu anda, Nesrin.
Nesrin baştan 8.
ise o zaman demek ki Nesrin'in önündeki kişi sayısı 7'dir.
7 kişi olsun ki Nesrin 8.
olsun.
Daha sonra bu sefer aralarında da 3 kişi varmış, Nesrin'den sonra 3 kişi olacak.
Daha sonra kim gelecek?
Sıla gelecek. Peki, Sıla da burada bir kişiyi temsil ediyor ve Sıla aynı bilet kuyruğunda sondan bu sefer 6. Sondan 6.
demek aslında arkasında 5 tane kişi vardır demektir.
Peki o zaman biz buradaki bilet kuyruğundaki insan sayısını nasıl buluruz?
Alt tarafa yazdığım sayıları toplayarak.
Bakınız bulmuş oluyoruz.
İkinci durum nasıldır peki?
Bu sefer Sıla, Nesrin'in önündedir.
Şimdi Sıla'yı ben şuraya koymak istiyorum, bir kişi, ve Nesrin'i de ben buraya koymak istiyorum, o da bir kişi.
Şimdi aralarında 3 kişi var, onu ilk önce yerleştirmek istiyorum.
Şurada 3 kişi var aralarında.
Daha sonra, bakalım, Nesrin baştan 8.'ydi.
O zaman demek ki biz önceki soruda gösterdiğimiz üzere, Nesrin'in önünde 7 kişi olması lazım.
Peki, bu Nesrin'in önündeki 7 kişiden 4'ü zaten burada değil mi?
Bakınız, 3 artı 1'den 4.
O zaman demek ki burada 3 kişi var demektir arkadaşlar.
3, 4 , 7 , sağladı.
O zaman demek ki aynı bilet kuyruğunda da bu sefer Sıla sondan 6.'ydı.
Sıla burada arkasında 5 kişi olduğunu söyledik, 3'ü burada, ne olacak?
Burada aslında uzun çizmişiz 1 kişi olacakmış.
1, 2, 5 yaptı.
Peki bakınız, bunu topladığınızda alttaki sayıları, 3 artı 1'den de 9.
O zaman demek ki burada da 9 kişi olduğunu söyleyebiliriz.
Peki şimdi bir tahta 4 eş parçaya ayrılıyor.
Eğer 6 eşit parçaya ayrılsaydı her bir parçanın uzunluğu 8 santimetre daha kısa olacaktı. Buna göre tahtanın uzunluğu kaç santimetredir?
Şimdi bakınız, biz 4 eş parçaya ayırdığımızda şöyle bir tahta elde ediyoruz.
Daha sonra 6 eş parçaya ayırdığımızda da bu sefer bundan daha kısa bir parça elde ediyormuşuz.
Yani şöyle bir şey, ben diyorum ki 6 eş parçaya ayırdığımızda buradaki tahta parçanın uzunluğu x olsun. o zaman demek ki bunun sayısı x artı 8 olacaktır. Bakınız aynı tahtayı parçalıyoruz, o zaman demek ki sol taraftaki 4'e parçaladığımızda x+8'le 4'ü çarparsanız eğer, tahtanın uzunluğunu bulursunuz. sefer tahtanın her bir parçanın uzunluğu x, 6 tane var.
O zaman demek ki 6 ile de x'i çarptığınızda yine tahtanın uzunluğunu bulursunuz, devam ediyorum, burada 4x artı 32 eşittir 6x'ten, o zaman demek ki 4x'i böyle aldığınızda 2x, 32 eşittir 2x'ten her tarafı 2'ye böldüğünüzde x eşittir buradan 16 gelecektir.
O zaman demek ki, "tahtanın uzunluğu kaç santimetredir?
" diyor.
Ne yapacağız burada?
Ya burada yerine koyacağız ya da burada yerine koyacağız.
O zaman demek ki sağ tarafta koyacak olursak, yani burada 6 kere 6 = 36, elde var 3, 6 kere 1 = 6.
Farklı soru tipleriyle sorularımızı çözelim.
Şimdi, "10 kişilik bir arkadaş grubundaki her kız 7 TL ve her erkek 10 TL vererek toplamda göre, bu gruptaki kız sayısı kaçtır?
" diyor.
Şimdi arkadaşlar, bunu da yine dediğimiz gibi ya iki değişkenle çözersiniz yada tek değişkenle.
Şimdi, ilk önce biz iki değişkenle çözelim.
Diyelim ki kız sayısı ve erkek sayısı.
Ben diyorum ki kız sayısı x tane olsun, onu sorduğu için x dedim buraya. Erkek sayısı y tane olsun.
Şimdi, bunların toplamları 10 kişilik grup oluşturacaktır.
Yani x artı y eşittir buradan 10'u elde edeceğiz.
Peki daha sonra, her kız 7 TL veriyor.
O zaman x tane kız varsa toplamda 7x lira vereceklerdir bunlar, artı diyorum, her erkek de bu sefer 10 lira veriyor.
Yani 10 çarpı y'den bu sefer 10y lira verecektir erkekler ve toplamda bunlar 88 liraya buradan bir voleybol topu alıyorlar.
Şimdi 1. dereceden iki bilinmeyenli iki denklem oldu, yani denklem sistemi oldu.
Bu saatten sonra yok etme metodu kullanarak bu soruyu çözebiliriz. Ben diyorum ki buradan x'leri götürelim, y'leri de götürebiliriz ama hangisini götüreceğimiz aslında bize kalmış.
Burada ilk önce x'leri götürmek benim gözüme daha kolay gözüktü.
Bu sefer her tarafı 7 ile çarpıyorum, her tarafı 7 ile çarpıp taraf tarafa toplarsan bakınız burası da 88.
Topladığınızda 18 elde ediyorsunuz. Her tarafı da 3'e böldüğünüzde y'yi buradan 6 buluyorsunuz.
Şimdi, y'ye baktığınızda y burada erkeklerin sayısını veriyor, toplamda burada 10 kişi varsa o zaman demek ki bu grupta geri kalan tek değişkenle nasıl çözerdiniz?
Şöyle yapardık, kız sayısına biz burada x dediğimizde erkek sayısı o zaman demek ki geri kalanlar olurdu.
Geri kalanlar nedir?
10 eksi x'tir.
Yani, 10 kişilik gruptan x tane kızı çıkartmaktır.
Daha sonra, bu saatten sonra ne yaparsınız?
Kızların sayısı x taneyse ve 7 lira veriyorsa her biri, 7x lira verecekler.
Tabii bu denklemi çözmeyeceğim ben.
Daha sonra artı, erkekler de 10 lira veriyorlarsa 10 çarpı, bu sefer 10 eksi x kadar para toplanacaktır.
Daha sonra bu da tek denklemle bu işlemi getirebiliyorsunuz. Peki diğer bir örneğimiz, şimdi, 100 soruluk bir sınavda 4 yanlış 1 doğruyu götürmektedir.
Bu sınavdaki bütün soruları cevaplayan bir öğrencinin cevaplamıştır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, net nasıl hesaplanır?
Net şöyle hesaplanır, sizin bir doğru sayınız vardır, bir de yanlış sayınız vardır.
Yanlış sayınızın her 4 tanesi 1 doğruyu götürüyorsa o zaman demek ki yanlış sayınızı 4'e bölerseniz o sizin götürdüğü doğruları bulursunuz.
Daha sonra oluşturduğunuz doğrulardan giden doğruları çıkarttığınızda netinizi bulursunuz.
Şimdi o zaman diyorum ki ben, doğru sayısı ve yanlış sayısı.
Ne yapalım, bunu da 2 değişkenle çözelim.
Buradaki doğru sayısı x tane olsun, yanlış sayısı da y tane olsun.
O zaman demek ki şunu söyleriz, buradaki bütün hepsini çözdüğü için bu kişi x ile y'nin toplamlarından nasıl hesaplarız?
Doğruların sayısından burada yanlışlarının götürdüğü doğruları sileriz.
Yani yanlışları y taneyse, o zaman demek ki bunları biz 4'e böldüğümüzde bu kadar doğru gidecek demektir ve bunu çıkarttığımızda da biz buradan 60 neti elde edeceğiz demektir. Daha sonra buradaki iki denklemden biz burada x'i veya y'i bularak soruyu bitirmiş oluruz.
O zaman şöyle yapmak istiyorum ben, şöyle birazcık daha sol tarafa alayım.
Burada alt taraftaki denkleme her tarafı 4'le çarptığınızda şunu elde ediyorsunuz, üst taraftaki denklem kalsın, x artı y eşittir 100, alt taraftaki denkleme her tarafı 4'le çarptığınızda 4x eksi y eşittir 240 elde ediyorsunuz.
Bakınız alt alta toplarsanız bunu şöyle olur, y'ler gider, x'lerden de 5x gelecektir.
240'la da 100'ü topladığınızda burada 340'ı elde edeceksiniz.
Artık her tarafı x eşittir o zaman ne olacaktır?
68 tane doğrunuz olacaktır.
Peki, bunu tek değişkene bağlı nasıl çözerdiniz?
Bu sefer doğrularının sayısı x iken yanlışlarının sayısına 100 eksi x derdiniz ve bu şekilde yine tek değişkene bağlı çözerdiniz. Yani sadece şurayı kullanarak çözebiliyorsunuz. Peki şimdi diğer bir örneğimiz, bir sınıftaki öğrenciler ikişer ikişer otururlarsa 9 öğrenci ayakta kalmakta, üçer üçer otururlarsa bir sıra boş kalmaktadır.
Buna göre sınıftaki sıra sayısını bulunuz.
Sınıftaki öğrenci sayısını bulunuz.
Şimdi bakınız zaten biz bu soruyu çözdüğümüzde ikisini birden bulmuş olacağız. Ben diyorum ki bu sınıfta x tane sıra olsun, bu bize sıra sayısını versin.
Şimdi bu öğrenciler ikişer ikişer otururlarsa ve x tane sıra varsa o zaman demek ki 2 çarpı x tane öğrenci oturmuş olur ve 9 öğrenci ayakta kalıyorsa artı 9 eklediğimizde biz aslında sınıfın mevcudunu bulmuş oluruz. Eşittir diyorum, aynı sınıfın mevcudu nasıl bulunur?
Bu sefer "üçer üçer otururlarsa 1 sıra boş kalmaktadır" diyor, bakınız sıra sayısına x dedim, 1 sıra boş kalıyorsa o zaman demek ki x eksi 1 tane sıra doluyor demektir. Peki kaçar kaçar dolduruyorsunuz?
Bu sefer 3'er yine sınıfın mevcudunu elde edersiniz.
Yani hem sol taraftaki hem sağ taraftaki sınıfın mevcudu olduğu için eşitlenir bunlar.
Daha sonra bu işlemi çözüyorum.
2x artı 9 eşittir diyorum, sıra sayısının 12 tane olduğunu buluruz.
Yani öğrenci sayısı nasıldır?
Ya burada x'in yerine 12 koyarsınız ya da burada x'in yerine 12 koyarsınız, aynı şeyi verecektir.
Sol tarafta koyalım, yani şurada koymak istiyorum.
2 kere 12, oluruz.
Evet şimdi geldik diğer bir örneğimize, Nesrin bir bilet kuyruğunda baştan 8.
ve Sıla aynı bilet kuyruğunda sondan 6.
sıradadır. Nesrin ile Sıla arasında 3 kişi olduğuna göre bu bilet kuyruğundaki kişi sayısının alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?
Şimdi bakınız burada farklı değerlerden kastı şudur, yani bunu iki durumda incelemeliyiz.
Şöyle iki durumda inceleyeceğiz.
Şimdi kuyrukları çizelim, şöyle kuyruklar var.
Şimdi bir bilet kuyruğu şimdi baştan ve sondan bahsediyoruz, o zaman demek ki şurası başı göstermek üzere B yazalım.
Burası sonu göstermek üzere S yazalım.
Alt tarafta da aynısı olsun, baş ve son.
Şimdi bakınız, Nesrin bir bilet kuyruğunda baştan 8.
ise o zaman 1.
ihtimalde Sıla'nın önünde olur.
2.
ihtimalde de Sıla'nın arkasında olur.
Ben 1.
ihtimalde Sıla'nın önünde olmasını istiyorum.
Yani Nesrin'i geliyorum buraya koyuyorum.
Bakınız burada 1 kişi var şu anda, Nesrin.
Nesrin baştan 8.
ise o zaman demek ki Nesrin'in önündeki kişi sayısı 7'dir.
7 kişi olsun ki Nesrin 8.
olsun.
Daha sonra bu sefer aralarında da 3 kişi varmış, Nesrin'den sonra 3 kişi olacak.
Daha sonra kim gelecek?
Sıla gelecek. Peki, Sıla da burada bir kişiyi temsil ediyor ve Sıla aynı bilet kuyruğunda sondan bu sefer 6. Sondan 6.
demek aslında arkasında 5 tane kişi vardır demektir.
Peki o zaman biz buradaki bilet kuyruğundaki insan sayısını nasıl buluruz?
Alt tarafa yazdığım sayıları toplayarak.
Bakınız bulmuş oluyoruz.
İkinci durum nasıldır peki?
Bu sefer Sıla, Nesrin'in önündedir.
Şimdi Sıla'yı ben şuraya koymak istiyorum, bir kişi, ve Nesrin'i de ben buraya koymak istiyorum, o da bir kişi.
Şimdi aralarında 3 kişi var, onu ilk önce yerleştirmek istiyorum.
Şurada 3 kişi var aralarında.
Daha sonra, bakalım, Nesrin baştan 8.'ydi.
O zaman demek ki biz önceki soruda gösterdiğimiz üzere, Nesrin'in önünde 7 kişi olması lazım.
Peki, bu Nesrin'in önündeki 7 kişiden 4'ü zaten burada değil mi?
Bakınız, 3 artı 1'den 4.
O zaman demek ki burada 3 kişi var demektir arkadaşlar.
3, 4 , 7 , sağladı.
O zaman demek ki aynı bilet kuyruğunda da bu sefer Sıla sondan 6.'ydı.
Sıla burada arkasında 5 kişi olduğunu söyledik, 3'ü burada, ne olacak?
Burada aslında uzun çizmişiz 1 kişi olacakmış.
1, 2, 5 yaptı.
Peki bakınız, bunu topladığınızda alttaki sayıları, 3 artı 1'den de 9.
O zaman demek ki burada da 9 kişi olduğunu söyleyebiliriz.
Peki şimdi bir tahta 4 eş parçaya ayrılıyor.
Eğer 6 eşit parçaya ayrılsaydı her bir parçanın uzunluğu 8 santimetre daha kısa olacaktı. Buna göre tahtanın uzunluğu kaç santimetredir?
Şimdi bakınız, biz 4 eş parçaya ayırdığımızda şöyle bir tahta elde ediyoruz.
Daha sonra 6 eş parçaya ayırdığımızda da bu sefer bundan daha kısa bir parça elde ediyormuşuz.
Yani şöyle bir şey, ben diyorum ki 6 eş parçaya ayırdığımızda buradaki tahta parçanın uzunluğu x olsun. o zaman demek ki bunun sayısı x artı 8 olacaktır. Bakınız aynı tahtayı parçalıyoruz, o zaman demek ki sol taraftaki 4'e parçaladığımızda x+8'le 4'ü çarparsanız eğer, tahtanın uzunluğunu bulursunuz. sefer tahtanın her bir parçanın uzunluğu x, 6 tane var.
O zaman demek ki 6 ile de x'i çarptığınızda yine tahtanın uzunluğunu bulursunuz, devam ediyorum, burada 4x artı 32 eşittir 6x'ten, o zaman demek ki 4x'i böyle aldığınızda 2x, 32 eşittir 2x'ten her tarafı 2'ye böldüğünüzde x eşittir buradan 16 gelecektir.
O zaman demek ki, "tahtanın uzunluğu kaç santimetredir?
" diyor.
Ne yapacağız burada?
Ya burada yerine koyacağız ya da burada yerine koyacağız.
O zaman demek ki sağ tarafta koyacak olursak, yani burada 6 kere 6 = 36, elde var 3, 6 kere 1 = 6.
