Merhabalar arkadaşlar, sayı problemlerinde farklı soru tipleri ile devam ediyoruz.
Şimdi, bir sınıftaki her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı, erkek arkadaşlarının sayısının 3 katından erkek arkadaşlarının sayısı kız arkadaşlarının sayısından 2 fazladır.
Buna göre bu sınıfın mevcudu kaçtır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, bu soru aslında ilk başta yapılmaya çalışıldığında zor gelecektir.
Şöyle, şimdi ilk önce tabii bu soruyu kolaylaştırarak göstermeye çalışacağım.
Ben diyorum ki kız öğrencilerin sayısı x tane olsun, erkek öğrencilerin sayısı da y tane olsun.
Şimdi diyorum ki, kolaylaştırdık bir düşünelim.
Bu sınıfta 10 tane kız olsun, 12 tane de erkek olsun.
Şimdi arkadaşlar bu 10 tane kız için bir düşünecek olursak, yani bir tane kız seçtik bunun arasından, bu kızın kız arkadaşlarının sayısını nasıl söylersiniz?
Şimdi bir kız seçtiğiniz için bu kız 10 kişinin içindedir ve o zaman bunun kız arkadaşlarından bahsederseniz arkadaşlar, 9 tane kız arkadaşı olduğunu söylersiniz.
Yani kendisini çıkartırsınız.
Ama bu kızın, seçtiğimiz kızın, erkek arkadaşlarından bahsederseniz direkt olarak 12'yi alırsınız. Çünkü o buraya dahil değildir.
O yüzden erkeklerin tamamı alınacaktır arkadaş olarak.
Aynı şekilde erkeğin erkek arkadaşlarından bahsederken 11 kişi alırsınız, erkeğin kız arkadaşlarından bahsederken de bu sefer direkt olarak hepsini alırsınız, olursak, şimdi her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı, her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı arkadaşlar, x-1'dir, 1 tane çıkartırsınız.
Erkek arkadaşlarının sayısının üç katından 20 eksik, eşittir diyorum, erkek arkadaşlarının sayısı, o kızın, seçtiğimiz kızın, erkek arkadaşlarının sayısı direkt olarak y'dir.
Çünkü o o gruba dahil değildir.
Bunun işte 3 katından 20 eksikmiş. Bakınız bu denklemi elde ettik, ikincisine geçiyorum.
Aynı sınıftaki her bir erkeğin bu sefer erkek arkadaşlarının sayısı, şimdi her bir erkeğin erkek arkadaşlarının sayısından bahsederken bu sefer o erkeği çıkartırız ve y-1 tane arkadaşı olduğunu söyleriz.
İşte bu her bir erkeğin erkek arkadaşının sayısı kız arkadaşların sayısından sayısı direkt olarak o grupta bulunan, o sınıfta bulunan kızlar kadardır.
Yani x kadardır, bundan 2 fazlaymış.
Bakınız bu denklemleri elde ettikten sonra, şimdi ben burada x ve y'leri sol tarafta toplayıp sabit sayıları sağ tarafta toplayacağım.
Üst tarafta 3y'yi sol tarafa, -1'i de sağ tarafa attığınızda x-3y'nin buradan -19 olduğunu görürsünüz.
y'yi de bu tarafa, 2'yi bu tarafa aldığınızda x-y'nin de bu sefer -3 olduğunu söyleriz.
Şimdi ben diyordum ki üst taraftaki ifade -1 ile çarpıp taraf tarafa toplarsam x'ler gidecek.
Burası +3y, burası -y'den bu sefer 2y kalacaktır.
Daha sonra burası +19, -3 yaptığımızda olarak bulunacaktır.
O zaman demek ki kızların 8 tane olduğunu söylersiniz.
Şu denklemde yerine yazalım x-8 = -3 ise , -8'i karşıya aldığınızda x eşittir bu sefer 8'den 3 çıkartırsak, çünkü +8 olarak geçer, 5 olduğunu söyleriz. Bu sınıfta da 5 tane erkek var, 8 tane kız var. Kız ve erkeklerin toplamını soruyor, yani sınıf mevcudunu soruyor.
Topladığımızda 8'le 5'i, o zaman demek ki buradan 13 cevabına ulaşmış oluruz. Peki geldik şimdi diğer bir örneğimize, 12 kişinin katıldığı bir yemek organizasyonunda bazı kişiler misafir olduğu için hesap ödemiyor. Geriye kalanlar beşer TL fazla ödeyerek 15 TL ödüyorlar kişi başı.
Buna göre bu organizasyonda kaç misafir vardır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, ben diyorum ki misafir sayısı burada x olsun. Peki misafir sayısı x ise diğer geri kalanlar da normal bizim insanlarımızdır öyle değil mi?
Yani o 12 kişiden geriye kalanlardır, yani parayı ödeyenlerdir.
Şimdi normalde bu misafir sayısı x ise geriye kalanlar 12-x tane kişidir deriz biz. Bunlar ne yapıyorlar?
Misafirler ödemediği için beşer lira fazla ödeyerek 15 lira ödüyorlar kişi başı.
12-x kişi varsa o zaman demek ki bu 12-x'i tutarı görmüş oluruz.
Yani o yemeğin ücretini görmüş oluruz.
Peki, şimdi daha sonra ilk başta 12 kişi normalde hiç misafir ayırt etmeksizin hesabı ödeseydi bu sefer 5'er lira daha az ödeyeceklerdi, değil mi, geriye kalanları göre.
Çünkü geriye kalanlar diğerleri ödemediği için beşer lira fazla ödeyerek 15 lira ödüyorlar.
Yani normalde aslında 12 kişi birden ödese her biri 10'ar lira ödeyecekti ve 12 çarpı 10 kadar fiyat ödenmiş olacaktı.
Peki ikisi de yemeğin tutarıdır.
O zaman demek ki ben ne yapıyorum?
Şöyle ilk önce sadeleştirmeleri yapalım, 3 ile sadeleştirirsek, o zaman demek ki burası 5 olur, burası da 4 olur.
Daha sonra şu 5'le de 10'u sadeleştirirsek burası 2 olur.
Sol tarafta sadece 12-x kaldı, sağ tarafta 4x2'den 8 kaldı.
O zaman demek ki -x'i sağ tarafa 8'i de sol tarafa aldığınızda burada 4, burada da x olacaktır.
Bakınız biz misafir sayısına x demiştik, yani misafir sayısını 4 kişi olarak bulmuş oluyoruz. Evet, şimdi diğer bir örneğimiz.
Bir şehirde abonelerin kullandıkları ilk 10 metreküpün, bir ücret, bilmiyoruz, 10 metreküpten sonraki her bir metreküp su için öncekinden farklı yine bir sabit ücret olmaktadır.
Yani 10 metreküpten sonra da her bir metreküp için bu sefer farklı bir para ödüyorsunuz.
Buna göre 20 metreküp su için abone 50 metreküp su kullandığında kaç TL öder?
Şimdi bakınız, ben diyorum ki ilk 10 metreküpün, yani ilk 10 metreküpe kadar her bir metreküp için, her biri için x lira ödesin.
Daha sonra 10 metreküpten sonraki bu sefer her biri için diyorum, yani her bir metreküp için de bu sefer y lira ödesin diyorum.
Şimdi bakınız, zaman demek ki ben burada şunu söylemez miyim?
20 metreküpün 10 metreküpün de her biri için x lira öderse o zaman demek ki 10x kadar para öder.
Artı, sefer her bir metreküpüne y lira ödeyeceği için toplamda.
Peki 38 metreküp için, yine ilk 10 metreküpünde her biri için x ödeyecek.
O zaman demek ki 10x ödemiş olacak.
Artı, buradan sonra, ödüyoruz, 10 metreküpten sonra 28 metreküp kaldı ve toplamda 94 lira yapmış olur.
Şimdi bakınız buradan x ve y'yi çekeceğiz.
Şimdi üst taraftakini -1 ile çarpıp ben burada taraf tarafa topluyorum. Bakınız 10x'ler gitti, burada -10y, 28y, buradan toplandığında, yani 94'ten 40 çıktığında 54 kalır. Her tarafı 18'e böldüğünüzde bakınız y'yi 3 lira olarak buluyorsunuz.
Yani 10 metreküpten sonraki her bir metreküp için 3 lira ödüyorsunuz demektir. O zaman demek ki ben herhangi bir denklemde y'nin yerine 3 koyayım.
Şuraya bakınız 3 koyduğunuzda söylersiniz.
Yani aslında şöyle, ilk 10 metreküpe kadar her bir metreküp için 1 lira ödüyorsunuz ve ondan sonraki her biri için de 3 lira ödüyorsunuz. "53 metreküp su kullandığında kaç TL öder?
"diyor. O zaman demek ki bu ne olacak?
10 çarpı 1 olacak. kalan 43 metreküp, bunun da bu sefer her biri için de bu sefer 3 lira ödeyecek.
Yani toplamda bu kadar fatura ödeyecek.
10 artı, 43'le de 3'ü çarpacak olursak 129, o zaman demek ki 129'la da lira ödediğini söyleriz.
Peki son örneğimiz, şimdi burada bir kafede oturan kişilerin iki ayrı masada içtikleri çay ve kahve sayıları verilmiştir, bakınız burada.
Masa 1'de oturan kişiler 30 TL, masa 2'de oturan kişiler 38 TL hesap ödemişlerdir. Her bir çizgi, şundan bahsediyoruz, bir kişiyi gösterdiğine göre bir adet çay ve bir adet kahvenin toplam fiyatı kaç liradır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, çayların fiyatını ve kahvelerin fiyatlarını bilmiyoruz.
Şimdi, çayların fiyatına ben burada x demiş olacağım, çay x lira olsun her biri ve kahvenin de her biri y lira olmuş olsun çünkü onu da bilmiyoruz.
Şimdi masa 1, masa 1'de bakınız, her bir çizgi bir kişiyi gösteriyorsa burada 2, 4, 6 kişi vardır.
6 tane çay içtikleri için 6x deriz biz ödeyecekleri paraya.
Artı, yetmemiş, bir de 3 tane kahve içmişler.
Yani bakınız 30 lira tutmuş bu ve daha sonra masa 2'ye de aynı işlemi yapıyorum.
4 tane çay 4x, ve 5 tane de kahve yani 5y lira ödenecek ve 38 lira olacak. Şimdi bakınız, buradan hangisini götürmek daha kolay gibi gözüküyor?
Buradan x'i götürmek daha kolay.
O zaman demek ki şurayı -2 ile çarpayım, şurayı +3 ile çarpayım ki burası ne olsun?
12x ve -12x gitsin.
Taraf tarafa toplayalım.
Şimdi burası burada 9y kalmış oldu, eşittir, burası 3 ile 38'i çarpacak olursanız kaç yapıyor?
İlk önce bunları yazalım.
Şurası -2 ile 30 çarpıldığında -60, 3 ile -60 çıkarttığınızda buradan 54 lira elde etmiş oluyorsunuz.
Her tarafı da 9'a böldüğünüzde y'yi buradan 6 lira olarak bulmuş olursunuz.
Bakınız kahvenin fiyatı 6 lira.
O zaman demek ki üst taraftaki denklemlerini yazıyorum.
6 çarpı x artı zaman 6x eşittir 12'den x eşittir burada 2 lira olarak bulunur.
Bakınız çayın fiyatı da 2 lira. aslında x+y soruluyor.
6 ile 2'yi topladığımız takdirde burada 8 lirayı elde etmiş oluruz.
Şimdi, bir sınıftaki her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı, erkek arkadaşlarının sayısının 3 katından erkek arkadaşlarının sayısı kız arkadaşlarının sayısından 2 fazladır.
Buna göre bu sınıfın mevcudu kaçtır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, bu soru aslında ilk başta yapılmaya çalışıldığında zor gelecektir.
Şöyle, şimdi ilk önce tabii bu soruyu kolaylaştırarak göstermeye çalışacağım.
Ben diyorum ki kız öğrencilerin sayısı x tane olsun, erkek öğrencilerin sayısı da y tane olsun.
Şimdi diyorum ki, kolaylaştırdık bir düşünelim.
Bu sınıfta 10 tane kız olsun, 12 tane de erkek olsun.
Şimdi arkadaşlar bu 10 tane kız için bir düşünecek olursak, yani bir tane kız seçtik bunun arasından, bu kızın kız arkadaşlarının sayısını nasıl söylersiniz?
Şimdi bir kız seçtiğiniz için bu kız 10 kişinin içindedir ve o zaman bunun kız arkadaşlarından bahsederseniz arkadaşlar, 9 tane kız arkadaşı olduğunu söylersiniz.
Yani kendisini çıkartırsınız.
Ama bu kızın, seçtiğimiz kızın, erkek arkadaşlarından bahsederseniz direkt olarak 12'yi alırsınız. Çünkü o buraya dahil değildir.
O yüzden erkeklerin tamamı alınacaktır arkadaş olarak.
Aynı şekilde erkeğin erkek arkadaşlarından bahsederken 11 kişi alırsınız, erkeğin kız arkadaşlarından bahsederken de bu sefer direkt olarak hepsini alırsınız, olursak, şimdi her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı, her bir kızın kız arkadaşlarının sayısı arkadaşlar, x-1'dir, 1 tane çıkartırsınız.
Erkek arkadaşlarının sayısının üç katından 20 eksik, eşittir diyorum, erkek arkadaşlarının sayısı, o kızın, seçtiğimiz kızın, erkek arkadaşlarının sayısı direkt olarak y'dir.
Çünkü o o gruba dahil değildir.
Bunun işte 3 katından 20 eksikmiş. Bakınız bu denklemi elde ettik, ikincisine geçiyorum.
Aynı sınıftaki her bir erkeğin bu sefer erkek arkadaşlarının sayısı, şimdi her bir erkeğin erkek arkadaşlarının sayısından bahsederken bu sefer o erkeği çıkartırız ve y-1 tane arkadaşı olduğunu söyleriz.
İşte bu her bir erkeğin erkek arkadaşının sayısı kız arkadaşların sayısından sayısı direkt olarak o grupta bulunan, o sınıfta bulunan kızlar kadardır.
Yani x kadardır, bundan 2 fazlaymış.
Bakınız bu denklemleri elde ettikten sonra, şimdi ben burada x ve y'leri sol tarafta toplayıp sabit sayıları sağ tarafta toplayacağım.
Üst tarafta 3y'yi sol tarafa, -1'i de sağ tarafa attığınızda x-3y'nin buradan -19 olduğunu görürsünüz.
y'yi de bu tarafa, 2'yi bu tarafa aldığınızda x-y'nin de bu sefer -3 olduğunu söyleriz.
Şimdi ben diyordum ki üst taraftaki ifade -1 ile çarpıp taraf tarafa toplarsam x'ler gidecek.
Burası +3y, burası -y'den bu sefer 2y kalacaktır.
Daha sonra burası +19, -3 yaptığımızda olarak bulunacaktır.
O zaman demek ki kızların 8 tane olduğunu söylersiniz.
Şu denklemde yerine yazalım x-8 = -3 ise , -8'i karşıya aldığınızda x eşittir bu sefer 8'den 3 çıkartırsak, çünkü +8 olarak geçer, 5 olduğunu söyleriz. Bu sınıfta da 5 tane erkek var, 8 tane kız var. Kız ve erkeklerin toplamını soruyor, yani sınıf mevcudunu soruyor.
Topladığımızda 8'le 5'i, o zaman demek ki buradan 13 cevabına ulaşmış oluruz. Peki geldik şimdi diğer bir örneğimize, 12 kişinin katıldığı bir yemek organizasyonunda bazı kişiler misafir olduğu için hesap ödemiyor. Geriye kalanlar beşer TL fazla ödeyerek 15 TL ödüyorlar kişi başı.
Buna göre bu organizasyonda kaç misafir vardır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, ben diyorum ki misafir sayısı burada x olsun. Peki misafir sayısı x ise diğer geri kalanlar da normal bizim insanlarımızdır öyle değil mi?
Yani o 12 kişiden geriye kalanlardır, yani parayı ödeyenlerdir.
Şimdi normalde bu misafir sayısı x ise geriye kalanlar 12-x tane kişidir deriz biz. Bunlar ne yapıyorlar?
Misafirler ödemediği için beşer lira fazla ödeyerek 15 lira ödüyorlar kişi başı.
12-x kişi varsa o zaman demek ki bu 12-x'i tutarı görmüş oluruz.
Yani o yemeğin ücretini görmüş oluruz.
Peki, şimdi daha sonra ilk başta 12 kişi normalde hiç misafir ayırt etmeksizin hesabı ödeseydi bu sefer 5'er lira daha az ödeyeceklerdi, değil mi, geriye kalanları göre.
Çünkü geriye kalanlar diğerleri ödemediği için beşer lira fazla ödeyerek 15 lira ödüyorlar.
Yani normalde aslında 12 kişi birden ödese her biri 10'ar lira ödeyecekti ve 12 çarpı 10 kadar fiyat ödenmiş olacaktı.
Peki ikisi de yemeğin tutarıdır.
O zaman demek ki ben ne yapıyorum?
Şöyle ilk önce sadeleştirmeleri yapalım, 3 ile sadeleştirirsek, o zaman demek ki burası 5 olur, burası da 4 olur.
Daha sonra şu 5'le de 10'u sadeleştirirsek burası 2 olur.
Sol tarafta sadece 12-x kaldı, sağ tarafta 4x2'den 8 kaldı.
O zaman demek ki -x'i sağ tarafa 8'i de sol tarafa aldığınızda burada 4, burada da x olacaktır.
Bakınız biz misafir sayısına x demiştik, yani misafir sayısını 4 kişi olarak bulmuş oluyoruz. Evet, şimdi diğer bir örneğimiz.
Bir şehirde abonelerin kullandıkları ilk 10 metreküpün, bir ücret, bilmiyoruz, 10 metreküpten sonraki her bir metreküp su için öncekinden farklı yine bir sabit ücret olmaktadır.
Yani 10 metreküpten sonra da her bir metreküp için bu sefer farklı bir para ödüyorsunuz.
Buna göre 20 metreküp su için abone 50 metreküp su kullandığında kaç TL öder?
Şimdi bakınız, ben diyorum ki ilk 10 metreküpün, yani ilk 10 metreküpe kadar her bir metreküp için, her biri için x lira ödesin.
Daha sonra 10 metreküpten sonraki bu sefer her biri için diyorum, yani her bir metreküp için de bu sefer y lira ödesin diyorum.
Şimdi bakınız, zaman demek ki ben burada şunu söylemez miyim?
20 metreküpün 10 metreküpün de her biri için x lira öderse o zaman demek ki 10x kadar para öder.
Artı, sefer her bir metreküpüne y lira ödeyeceği için toplamda.
Peki 38 metreküp için, yine ilk 10 metreküpünde her biri için x ödeyecek.
O zaman demek ki 10x ödemiş olacak.
Artı, buradan sonra, ödüyoruz, 10 metreküpten sonra 28 metreküp kaldı ve toplamda 94 lira yapmış olur.
Şimdi bakınız buradan x ve y'yi çekeceğiz.
Şimdi üst taraftakini -1 ile çarpıp ben burada taraf tarafa topluyorum. Bakınız 10x'ler gitti, burada -10y, 28y, buradan toplandığında, yani 94'ten 40 çıktığında 54 kalır. Her tarafı 18'e böldüğünüzde bakınız y'yi 3 lira olarak buluyorsunuz.
Yani 10 metreküpten sonraki her bir metreküp için 3 lira ödüyorsunuz demektir. O zaman demek ki ben herhangi bir denklemde y'nin yerine 3 koyayım.
Şuraya bakınız 3 koyduğunuzda söylersiniz.
Yani aslında şöyle, ilk 10 metreküpe kadar her bir metreküp için 1 lira ödüyorsunuz ve ondan sonraki her biri için de 3 lira ödüyorsunuz. "53 metreküp su kullandığında kaç TL öder?
"diyor. O zaman demek ki bu ne olacak?
10 çarpı 1 olacak. kalan 43 metreküp, bunun da bu sefer her biri için de bu sefer 3 lira ödeyecek.
Yani toplamda bu kadar fatura ödeyecek.
10 artı, 43'le de 3'ü çarpacak olursak 129, o zaman demek ki 129'la da lira ödediğini söyleriz.
Peki son örneğimiz, şimdi burada bir kafede oturan kişilerin iki ayrı masada içtikleri çay ve kahve sayıları verilmiştir, bakınız burada.
Masa 1'de oturan kişiler 30 TL, masa 2'de oturan kişiler 38 TL hesap ödemişlerdir. Her bir çizgi, şundan bahsediyoruz, bir kişiyi gösterdiğine göre bir adet çay ve bir adet kahvenin toplam fiyatı kaç liradır?
Şimdi bakınız arkadaşlar, çayların fiyatını ve kahvelerin fiyatlarını bilmiyoruz.
Şimdi, çayların fiyatına ben burada x demiş olacağım, çay x lira olsun her biri ve kahvenin de her biri y lira olmuş olsun çünkü onu da bilmiyoruz.
Şimdi masa 1, masa 1'de bakınız, her bir çizgi bir kişiyi gösteriyorsa burada 2, 4, 6 kişi vardır.
6 tane çay içtikleri için 6x deriz biz ödeyecekleri paraya.
Artı, yetmemiş, bir de 3 tane kahve içmişler.
Yani bakınız 30 lira tutmuş bu ve daha sonra masa 2'ye de aynı işlemi yapıyorum.
4 tane çay 4x, ve 5 tane de kahve yani 5y lira ödenecek ve 38 lira olacak. Şimdi bakınız, buradan hangisini götürmek daha kolay gibi gözüküyor?
Buradan x'i götürmek daha kolay.
O zaman demek ki şurayı -2 ile çarpayım, şurayı +3 ile çarpayım ki burası ne olsun?
12x ve -12x gitsin.
Taraf tarafa toplayalım.
Şimdi burası burada 9y kalmış oldu, eşittir, burası 3 ile 38'i çarpacak olursanız kaç yapıyor?
İlk önce bunları yazalım.
Şurası -2 ile 30 çarpıldığında -60, 3 ile -60 çıkarttığınızda buradan 54 lira elde etmiş oluyorsunuz.
Her tarafı da 9'a böldüğünüzde y'yi buradan 6 lira olarak bulmuş olursunuz.
Bakınız kahvenin fiyatı 6 lira.
O zaman demek ki üst taraftaki denklemlerini yazıyorum.
6 çarpı x artı zaman 6x eşittir 12'den x eşittir burada 2 lira olarak bulunur.
Bakınız çayın fiyatı da 2 lira. aslında x+y soruluyor.
6 ile 2'yi topladığımız takdirde burada 8 lirayı elde etmiş oluruz.
