Fonksiyonlar konusu, hem TYT’de hem AYT’de soru gelen konulardan biri. Ayrıca Türev, Parabol, Denklemler gibi hemen hemen her konuda yer alıyor. O nedenle de mantığını iyi kavraman gereken bir konu. Her zaman karşına çıkabilir! Temel kuralları ve yöntemleri öğrendikten sonra bolca pratik yapman gerekiyor.📝 Soru çözmeye başladıktan sonra bu konunun sana çok kolay geleceğine eminiz! İlk yazımız “Fonksiyon Nedir?”den sonra, Fonksiyon Türleri ile devam ediyoruz. Dilersen öncesinde Fonksiyonların Özellikleri başlıklı ders notlarımızı inceleyerek kısa bir tekrar yapabilirsin. Kunduz ekibinden Gamze, Fonksiyon Türleri hakkında senin için çok faydalı bir yazı hazırladı!
Fonksiyon Türleri
Fonksiyonlarla ilgili bilmen gereken diğer kritik nokta birden fazla fonksiyon tipi olduğu ve sorularda karşına bunların sıklıkla geleceği! Hazırsan fonksiyon türlerini anlatmaya başlayalım.
- Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda tanım kümesindeki elemanların görüntüleri de birbirinden farklıysa buna bire bir fonksiyon deriz. Daha iyi anlamak için görseli inceleyebilirsin:
Gördüğün gibi A kümesindeki her eleman B’deki ayrı bir elemanla eş:
f(s) = g, f(d) = k, f(e) = h ve f(f) = y.
Kural olarak göstermemiz gerekirse: ∀ a,b ∈ A için, f(a) = f(b) iken, a=b oluyorsa f fonksiyonu bire birdir.
- Örten Fonksiyon
Görüntü kümesiyle değer kümesinin aynı olduğu fonksiyonlara örten fonksiyon deniyor, yani B kümemizde eşi olmayan eleman olmaması gerekiyor! Şimdi hem bire bir hem de örten olan bir fonksiyon örneğine birlikte bakalım:
Hem A kümesindeki her elamanın B de özel bir eşi var, hem de B kümesindeki her eleman A kümesinde bir eşe sahip bu yüzden fonksiyonumuz hem bire bir hem de örtendir.
- İçine Fonksiyon
Değer kümesinde, yani B kümesinde, eşi olmayan eleman varsa bunu içine fonksiyon deriz.
- Sabit Fonksiyon
Birim fonksiyonla birlikte hatırlaması en kolay olan fonksiyon sabit fonksiyondur. Basit olmasına rağmen test kitapları bol bol bu türün kullanıldığı sorular sorar! Sabit fonksiyonda A kümesindeki her bir eleman B kümesindeki tek bir elemana eştir. Sabit fonksiyon:
∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B f(x) = c şeklinde tanımlanır. Buradaki “c” değeri sabit değeri ifade eder.
- Birim Fonksiyon
Birim fonksiyon nedir? Tanım kümesindeki her eleman B kümesinde kendisiyle eşlenirse buna birim fonksiyon deriz I ile gösteririz.
f: R → R, f(x)=x şeklinde tanımlanan birim fonksiyonu şu şekilde daha yakından gözlemleyelim:
- Çift ve Tek Fonksiyon
Çift fonksiyonlar f(x)’in f(-x)’e eşit olduğu fonksiyonlardır. Mesela f(2)’nin f(-2)’ye eşit olması gibi. Eğer f(x) -f(x)’e eşitse bu durumda da tek fonksiyon deriz. Mesela f(2)’nin -f(2)’ye eşit olması gibi. Biraz karışık geldiğini biliyoruz, grafiklerle açıkladığımızda daha iyi anlayacaksın.
Öncelikle kartezyen düzleme x ekseninde tanım kümesi elemanları y ekseninde de değer kümesi elemanları olacak şekilde bir fonksiyon çizelim:
- Fonksiyonumuzu f(x) =x2 olarak belirleyelim. Bu kuralı uygulayarak çeşitli x değerine göre fonksiyon hangi değeri alıyor diye bakarsak:
- f(0) =02= 0
- f(1) =12= 1
- f(-1) =(-1)2= 1
- f(2) =22 = 4
- f(-2) =(-2)2= 4
Eğer x ‘e verdiğimiz değerler ile değer kümesi elemanlarını kartezyen düzlemde birleştirisek şöyle bir görsel oluşur:
Görselde de göreceğin gibi f(2) ve f(-2)’nin sonucu birbirine eşit! O zaman f(x) =x2 fonksiyonuna çift fonksiyon diyebiliriz! Çift fonksiyonların grafiklerinin y eksenine simetrik olduğunu unutma !!!
- Tek fonksiyonu gözlemleyebilmek için fonksiyonumuzun kuralını f(x) =x3
olarak belirleyelim. Bu kuralı uygulayarak çeşitli x değerine göre fonksiyon hangi değeri alıyor diye bakarsak:- f(0) =03= 0
- f(1) =13= 1
- f(-1) =(-1)3 = – 1
- f(2) =23= 8
- f(-2) =(-2)3 = -8
Sonuçlardan da anlayabileceğin üzere f(2) = – f(2) = 8 çıktığı durumlarda fonksiyona tek fonksiyon denir! Görselde de f(2)’nin 8; f(-2)’nin -8 değerini aldığını görebilirsin, tek fonksiyonların orijine göre simetrik olduğunu da görselden inceleyebilirsin:
- Ters Fonksiyon
Fonksiyonlar konusunun çoğunu bitirdik ve hatta zor denebilecek kısmına geldik: Ters Fonksiyonlar. Ama zor diye kaçmak yok, konuyu bitirmek üzereyiz!
Elimizde yukarıda bahsettiğimiz gibi birebir ve örten bir fonksiyon olması gerekiyor: şayet öyle bir fonksiyonumuz var ve f: A 🡪 B’ye tanımlanmışsa:
Tanım kümesini B, değer kümesini A olarak ters çevirerek ters fonksiyon elde edebiliriz. Böylelikle fonksiyonun tersini alma işlemi uygulanmış olur.
Fonksiyonun tersi f-1: B → A, f-1(y) = x şeklinde gösterilir.
Görselimizdeki kümeleri kullanacak olursak:
- f-1(g) = s
- f-1(h) = e
- f-1(j) = d
- f-1(f) = y olarak bulunur!
Şu küçük 2 formülü sorularda çokça kullanacaksın:
- Bileşke Fonksiyon
İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek tek fonksiyon yapmaya bileşke fonksiyon denir.
Görselde bir A kümesinden B kümesine tanımlı olan f fonksiyonu ile B kümesinden C kümesine tanımlı gof(x) şeklinde bir bileşke fonksiyon oluşturduk. Göreceğin gibi gof(x) fonksiyonunun tanım kümesi A ve değer kümesi C kümesi olmuş oldu!
Kısacası gof(s) = d olarak ve gof(d) = e olarak bulundu !
Bugün bu yazımızda hedeflerine yaklaşman için birlikte büyük bir adım attığımıza kalpten inanıyoruz! Biz burada yazımızı noktalarken seni bol bol fonksiyon sorusu çözmeye uğurlayalım! Unutma ki matematikte başarının temeli fonksiyonlardan geçer!
Örnek Soru Çözümü
Bilgileri, tanımları ve önemli ipuçlarını öğrendikten sonra, soruların içinde nasıl yer aldığını görmen gerekli. Konu anlatımı yazılarımıza göz attıktan sonra, kendi kaynaklarına ek olarak MEB Kaynaklarını da incelemen faydalı olabilir. Kunduz’da şu ana kadar, Fonksiyon Türleri konulu binlerce soru alanında uzman Matematik eğitmenleri tarafından çözüldü. Aşağıdan soruları inceleyebilirsin!
☀️☀️☀️
Her ders için değişmeyen kilit nokta bol bol soru çözümü ile pratik yapmak. Çözemediğin sorulara yanıt bulmak istiyorsan sınava hazırlık sürecinde Kunduz hep yanında! Profesyonel eğitmenler tarafından hazırlanan Soru Çözümü, binlerce soru ve çözümden oluşan Soru Bankası hizmetlerimizden faydalanabilirsin.
Uygulamada senin için hazırlanmış , tüm konuları öğrenebileceğin premium içerik ders videolarını incelemeyi unutma!