Fonksiyonlar konusu, hem TYT’de hem AYT’de soru gelen konulardan biri. Ayrıca Türev, Parabol, Denklemler gibi hemen hemen her konuda  yer alıyor. O nedenle de mantığını iyi kavraman gereken bir konu. Her zaman karşına çıkabilir! Temel kuralları ve yöntemleri öğrendikten sonra bolca pratik yapman gerekiyor.📝 Soru çözmeye başladıktan sonra bu konunun sana çok kolay geleceğine eminiz! İlk yazımız “Fonksiyon Nedir?”den sonra, Fonksiyon Türleri ile devam ediyoruz. Kunduz ekibinden Gamze, bu konu hakkında senin için çok faydalı bir yazı hazırladı!

Fonksiyon Türleri

Fonksiyonlarla ilgili bilmen gereken diğer kritik nokta birden fazla fonksiyon tipi olduğu ve sorularda karşına bunların sıklıkla geleceği! Hazırsan fonksiyon türlerini anlatmaya başlayalım.

  • Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda tanım kümesindeki elemanların görüntüleri de birbirinden farklıysa buna bire bir fonksiyon deriz.  Daha iyi anlamak için görseli inceleyebilirsin:

birebir fonksiyon türleri

Gördüğün gibi A kümesindeki her eleman B’deki ayrı bir elemanla eş: 

f(s) = g, f(d) = k, f(e) = h ve f(f) = y.

Kural olarak göstermemiz gerekirse: ∀ a,b ∈ A için, f(a) = f(b) iken, a=b oluyorsa f fonksiyonu bire birdir.

  • Örten Fonksiyon

Görüntü kümesiyle değer kümesinin aynı olduğu fonksiyonlara örten fonksiyon deniyor, yani B kümemizde eşi olmayan eleman olmaması gerekiyor! Şimdi hem bire bir hem de örten olan bir fonksiyon örneğine birlikte bakalım:

örten fonksiyon türleri

Hem A kümesindeki her elamanın B de özel bir eşi var, hem de B kümesindeki her eleman A kümesinde bir eşe sahip bu yüzden fonksiyonumuz hem bire bir hem de örtendir.

  • İçine Fonksiyon

Değer kümesinde, yani B kümesinde, eşi olmayan eleman varsa bunu içine fonksiyon deriz.

içine fonksiyon türleri

  • Sabit Fonksiyon

Birim fonksiyonla birlikte hatırlaması en kolay olan fonksiyon sabit fonksiyondur. Basit olmasına rağmen test kitapları bol bol bu türün kullanıldığı sorular sorar! Sabit fonksiyonda A kümesindeki her bir eleman B kümesindeki tek bir elemana eştir. Sabit fonksiyon:  

∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B f(x) = c şeklinde tanımlanır. Buradaki “c” değeri sabit değeri ifade eder.

sabit fonksiyon türleri kunduz

  • Birim Fonksiyon

Tanım kümesindeki her eleman B kümesinde kendisiyle eşlenirse buna birim fonksiyon deriz I ile gösteririz.

f: R → R, f(x)=x  şeklinde tanımlanan birim fonksiyonu şu şekilde daha yakından gözlemleyelim:

birim fonksiyon türleri kunduz

  • Çift ve Tek Fonksiyon

Çift fonksiyonlar f(x)’in f(-x)’e eşit olduğu fonksiyonlardır. Mesela f(2)’nin f(-2)’ye eşit olması gibi. Eğer f(x) -f(x)’e eşitse bu durumda da tek fonksiyon deriz. Mesela f(2)’nin -f(2)’ye eşit olması gibi. Biraz karışık geldiğini biliyoruz, grafiklerle açıkladığımızda daha iyi anlayacaksın.

Öncelikle kartezyen düzleme x ekseninde tanım kümesi elemanları y ekseninde de değer kümesi elemanları olacak şekilde bir fonksiyon çizelim: 

  • Fonksiyonumuzu f(x) =x2 olarak belirleyelim. Bu kuralı uygulayarak çeşitli x değerine göre fonksiyon hangi değeri alıyor diye bakarsak:
    • f(0) =02= 0
    • f(1) =12= 1
    • f(-1) =(-1)2= 1
    • f(2) =22 = 4
    • f(-2) =(-2)2= 4
Eğer x ‘e verdiğimiz değerler ile değer kümesi elemanlarını kartezyen düzlemde birleştirisek şöyle bir görsel oluşur:

çift ve tek fonksiyonlar kunduz

Görselde de göreceğin gibi f(2) ve f(-2)’nin sonucu birbirine eşit! O zaman f(x) =x2 fonksiyonuna çift fonksiyon diyebiliriz! Çift fonksiyonların grafiklerinin y eksenine simetrik olduğunu unutma !!!
  • Tek fonksiyonu gözlemleyebilmek için fonksiyonumuzun kuralını f(x) =x3  olarak belirleyelim. Bu kuralı uygulayarak çeşitli x değerine göre fonksiyon hangi değeri alıyor diye bakarsak:
    • f(0) =03= 0
    • f(1) =13= 1
    • f(-1) =(-1)3 = – 1
    • f(2) =23= 8
    • f(-2) =(-2)3 = -8
Sonuçlardan da anlayabileceğin üzere f(2) = – f(2) = 8 çıktığı durumlarda fonksiyona tek fonksiyon denir! Görselde de f(2)’nin 8; f(-2)’nin -8 değerini aldığını görebilirsin, tek fonksiyonların orijine göre simetrik olduğunu da görselden inceleyebilirsin:

tek fonksiyon

  • Ters Fonksiyon

Fonksiyonlar konusunun çoğunu bitirdik ve hatta zor denebilecek kısmına geldik: Ters Fonksiyonlar. Ama zor diye kaçmak yok, konuyu bitirmek üzereyiz! 

Elimizde yukarıda bahsettiğimiz gibi birebir ve örten bir fonksiyon olması gerekiyor: şayet öyle bir fonksiyonumuz var ve f: A 🡪 B’ye tanımlanmışsa:

Tanım kümesini B, değer kümesini A olarak ters çevirerek ters fonksiyon elde edebiliriz.

Fonksiyonun tersi f-1: B → A, f-1(y) = x şeklinde gösterilir. 

ters fonksiyonlar

Görselimizdeki kümeleri kullanacak olursak: 
    • f-1(g) =  s
    • f-1(h) =  e
    • f-1(j) =  d
    • f-1(f) =  y olarak bulunur!
Şu küçük 2 formülü sorularda çokça kullanacaksın:

ters fonksiyon formülleri

  • Bileşke Fonksiyon

İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek tek fonksiyon yapmaya bileşke fonksiyon denir.

bileşke fonksiyon türleri

Görselde bir A kümesinden B kümesine tanımlı olan f fonksiyonu ile B kümesinden C kümesine tanımlı gof(x) şeklinde bir bileşke fonksiyon oluşturduk. Göreceğin gibi gof(x) fonksiyonunun tanım kümesi A ve değer kümesi C kümesi olmuş oldu! 

Kısacası gof(s) = d olarak ve gof(d) = e olarak bulundu !

Bugün bu yazımızda hedeflerine yaklaşman için birlikte büyük bir adım attığımıza kalpten inanıyoruz! Biz burada yazımızı noktalarken seni bol bol fonksiyon sorusu çözmeye uğurlayalım! Unutma ki matematikte başarının temeli fonksiyonlardan geçer! 

Örnek Soru Çözümü

Konuyu tam olarak anlamak için bol bol soru çözümü yapmak da çok önemli. Daha iyi bir pratik için MEB Kazanım Testlerini inceleyebilirsin! Kunduz’a şu ana kadar sorulmuş binlerce Fonksiyon Türleri konulu sorudan birkaçı senin için burada!🌈