Sevgili arkadaşlar, tekrardan herkese merhaba. Bu dersteki konumuz açı ölçü birimlerinin diğer bir birimi olan radyan.
Radyanın tanımıyla başlayalım.
Bir çemberde yarıçap uzunluğuna eşit uzunlukta yayı gören merkez açının ölçüsüne biz 1 radyan diyeceğiz ve 1 üzerinde R harfi ile göstereceğiz.
Şu şekilde gördüğünüz gibi.
Şimdi ne diyorum?
Bakın O merkezli bir çemberimiz var. Burada, şuradaki AB yayının uzunluğunun r birim olduğunu biliyorum.
İşte bu uzunlukta yayı gören, şuradaki merkez açının ölçüsü bizim için 1 radyan olacak ve 1 üzeri R gördüğünüz gibi ifadesiyle de gösterilecek.
Şimdi, burada şöyle bir oran orantı kurmaya çalışacağım.
r birimlik bir yay uzunluğu 1 radyana karşılık geliyormuş. Bu tanımda açıkça ifade edilmiş.
Bu durumda 2πr yani çevresi, çemberin tamamını göz önüne alsak acaba, bu yayı gören çevre açı yani tamamı x radyandır desek.
Buradan bir çemberin tamamının kaç radyan olduğunu ifade edebilir miyiz acaba?
Dersek, bakın buradaki r'ler kısalır ve içler dışlar çarpımı yaptığımızda x buradan 2π'ye eşit olur.
Yani bu ne demek biliyor musunuz?
Bir çemberin tamamı çevresiyle beraber oluşan o merkez açı, 2π radyanmış arkadaşlar.
Peki diyeceksiniz ki bu bizim ne işimize yarayacak?
Şimdi bu çok işimize yarar bizim.
Buradan bir çember yayının ölçüsü 2π radyan oldu ya.
Biz önceki dersimizde görmüştük, 360 dereceye de eşitti aynı zamanda. O halde 2π dediğimiz şey 360 dereceye eşitmiş. O halde arkadaşlar, π nedir?
İkiye böldüğümüzde her tarafı, 180 derecedir.
Yani şimdi burada, tabi bir kafa karışıklığı olabilir.
Hemen onu gidereyim ben.
Bizim matematikte kullandığımız iki tane π var arkadaşlar.
Sembol olarak iki tane π var.
Bir de çarpım sembolündeki π'ye benzeyen bir sayı var.
Onu ayrı tutuyorum.
O iki tane π'yi açıklayayım.
Bunlardan biri uzunluk olan, işte çemberin çevresini falan bulurken kullandığımız yaklaşık değeri 3,14 virgülden sonraki küsuratı devam ediyor.
Epey uzun ve irrasyonel bir sayı. Şimdi bu uzunlukta kullandığımız, bir de açı ölçü biriminde radyan olarak kullandığımız π var ki o da 180 dereceye eşit olan π.
Şu anda biz onun üzerinden işlem yapıyoruz.
Şimdi, bu da bize derece ve radyanın birbirine dönüştürülmesi konusunda kolaylık sağlayacak.
Diyeceğiz ki o halde bir açının derece cinsinden ölçüsü D olsun. Radyan cinsinden ölçüsü de R olsun.
360 derece eğer 2π ise derece kaç R'dir?
Burada oran orantı yapıp dediğim gibi ikiye bölüp sadeleştirme yaptığımızda, bakın şöyle bir önemli formül yakalamış oluyoruz.
Derece bölü 180 eşittir radyan bölü π.
Bize derece verilmişse eğer D yerine, açı radyan cinsinden verilmişse R yerine yazıp diğer verilmeyen bileşeni kolaylıkla bulabiliyoruz.
Şimdi hemen örneklere geçelim. Aşağıda radyan cinsinden verilen açıları derece cinsinden yazınız.
Bu tarz soruları çözerken kolay yolumuz neydi?
Az önce ifade ettik.
π 180 dereceye eşitti arkadaşlar.
Direkt π yerine 180 yazıyorum. olacak sevgili arkadaşlar.
Burada 180'i 4'e bölüp d seçeneğinde 180'i 3'e bölüp 60 derece buluyorum. Hemen e seçeneğine geçtim.
180'i 6'ya böldüm, arkadaşlar.
Son olarak f şıkkı, 2π demiş.
Zaten de konuşmuştuk ve geçelim bir sonraki sorumuza. Bu sefer bize derece cinsinden verilen açıları radyan türünden ifade etmemizi istemiş.
Hemen ifade etmeye çalışalım.
Şimdi biz ne biliyoruz?
π dediğimiz şey 180'di.
Bunu 30 yapabilmek için sormuş bakın, bu da zaten π'ydi.
45 derece neydi?
Az önce bunun hakkında da konuşmuştuk. Bu da π/4'tü.
Şimdi hocam biz bunları böyle kolay kolay yazdık.
Şimdi geldi 300 derece, bakalım bunu nasıl yapacaksınız?
Burada da şöyle bir formül vardı, hatırlayacaksınız arkadaşlar.
Derece bölü π.
Burada R'yi bulsak bizim için yeterli.
Bakın şurada sıfırları sadeleştiriyorum ve her tarafı neymiş arkadaşlar bizim R'miz?
5π/3'müş.
Zaten aradığımız şey buydu.
Kontrol etmek adına π yerine olurum.
Evet, burada da yine hızlı bir şekilde çözmeye çalışalım.
270'i nasıl buluruz?
Şimdi biliyorsunuz π 180'di.
Bunu biz eğer 2'ye bölersek burası 90 olur.
270 olması için 3'le çarpmamız yeterli demek ki gerçekten 3π bölü olarak, seçeneğini de 135 derece, bunu nasıl yapacağım?
Burada da π bölü 4 yaptığımda biliyorsunuz 45 derece olacak.
135 olması için bir de bunu 3'le çarpıyorum ve 3π/4 radyan olarak 135 derecenin de eşitini bulmuş oluyorum.
Bu örnekle beraber bu dersimizin sonuna gelmiş olduk.
Sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Radyanın tanımıyla başlayalım.
Bir çemberde yarıçap uzunluğuna eşit uzunlukta yayı gören merkez açının ölçüsüne biz 1 radyan diyeceğiz ve 1 üzerinde R harfi ile göstereceğiz.
Şu şekilde gördüğünüz gibi.
Şimdi ne diyorum?
Bakın O merkezli bir çemberimiz var. Burada, şuradaki AB yayının uzunluğunun r birim olduğunu biliyorum.
İşte bu uzunlukta yayı gören, şuradaki merkez açının ölçüsü bizim için 1 radyan olacak ve 1 üzeri R gördüğünüz gibi ifadesiyle de gösterilecek.
Şimdi, burada şöyle bir oran orantı kurmaya çalışacağım.
r birimlik bir yay uzunluğu 1 radyana karşılık geliyormuş. Bu tanımda açıkça ifade edilmiş.
Bu durumda 2πr yani çevresi, çemberin tamamını göz önüne alsak acaba, bu yayı gören çevre açı yani tamamı x radyandır desek.
Buradan bir çemberin tamamının kaç radyan olduğunu ifade edebilir miyiz acaba?
Dersek, bakın buradaki r'ler kısalır ve içler dışlar çarpımı yaptığımızda x buradan 2π'ye eşit olur.
Yani bu ne demek biliyor musunuz?
Bir çemberin tamamı çevresiyle beraber oluşan o merkez açı, 2π radyanmış arkadaşlar.
Peki diyeceksiniz ki bu bizim ne işimize yarayacak?
Şimdi bu çok işimize yarar bizim.
Buradan bir çember yayının ölçüsü 2π radyan oldu ya.
Biz önceki dersimizde görmüştük, 360 dereceye de eşitti aynı zamanda. O halde 2π dediğimiz şey 360 dereceye eşitmiş. O halde arkadaşlar, π nedir?
İkiye böldüğümüzde her tarafı, 180 derecedir.
Yani şimdi burada, tabi bir kafa karışıklığı olabilir.
Hemen onu gidereyim ben.
Bizim matematikte kullandığımız iki tane π var arkadaşlar.
Sembol olarak iki tane π var.
Bir de çarpım sembolündeki π'ye benzeyen bir sayı var.
Onu ayrı tutuyorum.
O iki tane π'yi açıklayayım.
Bunlardan biri uzunluk olan, işte çemberin çevresini falan bulurken kullandığımız yaklaşık değeri 3,14 virgülden sonraki küsuratı devam ediyor.
Epey uzun ve irrasyonel bir sayı. Şimdi bu uzunlukta kullandığımız, bir de açı ölçü biriminde radyan olarak kullandığımız π var ki o da 180 dereceye eşit olan π.
Şu anda biz onun üzerinden işlem yapıyoruz.
Şimdi, bu da bize derece ve radyanın birbirine dönüştürülmesi konusunda kolaylık sağlayacak.
Diyeceğiz ki o halde bir açının derece cinsinden ölçüsü D olsun. Radyan cinsinden ölçüsü de R olsun.
360 derece eğer 2π ise derece kaç R'dir?
Burada oran orantı yapıp dediğim gibi ikiye bölüp sadeleştirme yaptığımızda, bakın şöyle bir önemli formül yakalamış oluyoruz.
Derece bölü 180 eşittir radyan bölü π.
Bize derece verilmişse eğer D yerine, açı radyan cinsinden verilmişse R yerine yazıp diğer verilmeyen bileşeni kolaylıkla bulabiliyoruz.
Şimdi hemen örneklere geçelim. Aşağıda radyan cinsinden verilen açıları derece cinsinden yazınız.
Bu tarz soruları çözerken kolay yolumuz neydi?
Az önce ifade ettik.
π 180 dereceye eşitti arkadaşlar.
Direkt π yerine 180 yazıyorum. olacak sevgili arkadaşlar.
Burada 180'i 4'e bölüp d seçeneğinde 180'i 3'e bölüp 60 derece buluyorum. Hemen e seçeneğine geçtim.
180'i 6'ya böldüm, arkadaşlar.
Son olarak f şıkkı, 2π demiş.
Zaten de konuşmuştuk ve geçelim bir sonraki sorumuza. Bu sefer bize derece cinsinden verilen açıları radyan türünden ifade etmemizi istemiş.
Hemen ifade etmeye çalışalım.
Şimdi biz ne biliyoruz?
π dediğimiz şey 180'di.
Bunu 30 yapabilmek için sormuş bakın, bu da zaten π'ydi.
45 derece neydi?
Az önce bunun hakkında da konuşmuştuk. Bu da π/4'tü.
Şimdi hocam biz bunları böyle kolay kolay yazdık.
Şimdi geldi 300 derece, bakalım bunu nasıl yapacaksınız?
Burada da şöyle bir formül vardı, hatırlayacaksınız arkadaşlar.
Derece bölü π.
Burada R'yi bulsak bizim için yeterli.
Bakın şurada sıfırları sadeleştiriyorum ve her tarafı neymiş arkadaşlar bizim R'miz?
5π/3'müş.
Zaten aradığımız şey buydu.
Kontrol etmek adına π yerine olurum.
Evet, burada da yine hızlı bir şekilde çözmeye çalışalım.
270'i nasıl buluruz?
Şimdi biliyorsunuz π 180'di.
Bunu biz eğer 2'ye bölersek burası 90 olur.
270 olması için 3'le çarpmamız yeterli demek ki gerçekten 3π bölü olarak, seçeneğini de 135 derece, bunu nasıl yapacağım?
Burada da π bölü 4 yaptığımda biliyorsunuz 45 derece olacak.
135 olması için bir de bunu 3'le çarpıyorum ve 3π/4 radyan olarak 135 derecenin de eşitini bulmuş oluyorum.
Bu örnekle beraber bu dersimizin sonuna gelmiş olduk.
Sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Radyan nedir?
Bir çemberde yarıçap uzunluğuna eşit yayın uzunluğunu gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
Radyan nasıl bulunur?
r birimlik yay uzunluğunun 1 radyan olduğunu biliyoruz. (r = yarıçap)
O halde çemberin çevresine karşılık gelen 2πr birimlik bir yay uzunluğunun kaç radyana eşit olduğunu oran orantı kurarak bulabiliriz. Bu da 2π radyan olur.
Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.
Dereceyi radyana çevirme nasıl yapılır?
Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır yani bu da 360 dereceye eşittir.
O halde bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere kurulan oran - orantıdan
D.2π = R. 360° olur.
Bu formülde bize verilen dereceyi yerine yazarak radyana çevirme işlemi yapabiliriz.
Radyan formülü nedir?
Bir açının derece cinsinden ölçüsü D, radyan cinsinden ölçüsü R olmak üzere,
D. 2π = R. 360° denkleminde R’nin formülünü bulalım.
1 radyan kaç derece olur?
1 radyan 180/π dereceye eşit olur.
180 derece kaç radyan olur?
180 derece π radyana eşit olur.
120 derece kaç radyan olur?
120 derece 2/3π radyana eşit olur.
