Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz trigonometrik denklemler. Öncelikle ilk alacağımız denklem, sinüs x eşittir sinüs y denklemin çözüm kümesini bulma.
Şimdi sinüs x eşittir sinüs y denkleminde ölçüsü x'in esas ölçülerine eşit olan bütün açılar denklemi sağlayacaktır elbette ki ve aynı zamanda biz şunu da biliyoruz, aslında sinx dediğimiz şey ile sin(pi - x) dediğimiz şey aynı şeydir. Çünkü işte pi'den geri geliyoruz düştüğümüz bölge ikinci bölge, sinüsün oradaki işareti artı isim de değişmez.
Bu da sinüs x'tir yani şimdi x ile pi - x'in gösterdiği açılar aynı açılar olduğu için sinx = siny denkleminin çözüm kümesi ile ilgili şimdi şöyleyeceklerimizden rahatlıkla bahsedebiliriz.
Nelerdir onlar?
Hemen konuşalım, tekrar ifade edelim.
sinx = siny ise iki durum vardır.
Ne dedik?
Ölçüsü burada y ve y'nin esas ölçüleri olan yani ölçüsü esas ölçüsü y olan bütün açılar, y ve y'nin 360° ve katlarına sahip olan bütün açılar denklemi sağlar.
Aynı zamanda pi - y'ler de sağlar.
Bu az önce ifade ettiğimiz şey çünkü.
Hem y'lere bakacağız esas ölçüsü y olan açılara, üzerine 2kpi eklememizin sebebi bu. Diğer taraftan da pi - y'lere bakacağız.
Her ikisi de denklemi sağlayacaktır, arkadaşlar. Şimdi ne söylemek istediğimizi biraz daha detaylı bir şekilde anlatmaya çalışalım.
Sin2alfa neymiş?
kök 3 bölü 2 denkleminin [0,pi] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz, demiş.
Sevgili gençler, burada ne yapacağız?
Hemen sol taraf zaten sinüs cinsinden verilmiş, sağ tarafında sinüs cinsinden ifade etmeye çalışalım.
Sinüs 2alfa'yı biz hemen sinüs 60 dereceye eşitleyelim, çünkü sin60 kök3/2'dir.
Bu durumda ne demiştik?
Şimdi 2alfa ya esas ölçüsü 60 derece olan açılar eşittir işte buraya 2kpi da 360 derece çarpı k yazabilirsiniz.
Burada k'lar tabiiki nedir?
Bir tam sayıdır.
Diğer taraftan "veya" ne demiştik bütün açıları yine eşittir .Bu durumda buraya sayı.
Hemen burada ilk denklemimiz de her iki tarafı ikiye bölüyorum.
Alfa eşittir önce 0 verelim.
Alfa açımız 30° olur.
Şimdi k'ya açı biraz daha büyüyecek ama 0,pi aralığında demişti.
Dolayısıyla direkt 1 verdiğimiz zaman böldüğümde ikinci denklemde alfa eşittir 60° artı vereceğim.
Önce isterseniz 0 vererek başlayalım. Bu durumda alfamız 60 derece olacak.
Şimdi 1 verdiğimde 180'den geçeceği için aralığın dışına çıkmış olacak, başka kökümüz yok.
Dolayısıyla çözüm kümesini ifade ederken iki tane eleman var bu aralıkta denklemin çözüm kümesi ile ilgili. Biri 30, diğeri de 60 dereceymiş, diyebiliriz. Böylelikle sorunun çözümünü tamamlamış oluruz, sevgili arkadaşlar ve gelelim bir sonraki soruya. Diyor ki sinüs alfa eşittir 2cos kare 160 -1 denklemini sağlayan en küçük üç pozitif açının toplamı kaç derecedir?
Şimdi burada biliyorum ki ben şurası 2coskarex -1 demek kosinüsün iki kat açık formülü yani burada aslında sinüs alfa eşittir buraya ben ne yazabilirim?
Kosinüs 160 derecenin iki kat olan 320 derece yazabilirim. Şimdi burası sinüs, diğeri kosinüs olmadı bu. Hemen buraya değiştirmem lazım.
İsmini değiştirmek için bir 270'ten gidiyorum ki isim değişsin.
270'e kaç eklersem 320 olur?
50 derece.
Dolayısıyla burayı hemen cos 270 + 50 diye yazalım. Bu durumda ne olur?
Şimdi sinalfa eşittir (270'ten ileri gidiyorum, 3.
bölgedeyim, kosinüsün işareti artı ama isim değişir) sinüs 50 derece.
Çok güzel, harika oldu.
Öncelikle diyeceğim ki alfa eşittir 50 derece artı 360 derece çarpı k, yine neydi?
k'larımız tam sayı.
Hemen k'ya 0 verelim. k'ya 0 verdiğimizde alfa ne olur?
50 derece olur.
Bir de 1 vereyim isterseniz zaten en küçük 3 pozitif açıyı sormuş.
1 de vereyim 360 artı 50 = 410 derece yapar.
Bu yetsin.
Bir de diğer taraftan gelecek köklere bakalım.
En küçük 3 tanesini toplayacağım.
Bir de alfa ne olabilirdi?
Buradan biraz daha büyük gelecek ama zannediyorum Yine k'lar tam sayı.
Öncekle 0 verdim, k eşittir o için ikinci durumdaki köklerimizden bir tanesi.130 derece.
Zaten diğerine bakmaya gerek yok.
Niye?
360'a daha büyük bir sayı ekleyeceğim için diğer ilk iki bulduğum kökten çok daha büyük bir sayı gelecek.
Bana en küçük 3 pozitif tam sayı soruyordu.
Hemen şunları toplayalım bakın.
Ne yapar şuarası?
Toplayalım, 590 derece olarak bu en küçük 3 açının toplamı bulunmuş olur, sevgili arkadaşlar ve bu soruyu birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz trigonometrik denklemler. Öncelikle ilk alacağımız denklem, sinüs x eşittir sinüs y denklemin çözüm kümesini bulma.
Şimdi sinüs x eşittir sinüs y denkleminde ölçüsü x'in esas ölçülerine eşit olan bütün açılar denklemi sağlayacaktır elbette ki ve aynı zamanda biz şunu da biliyoruz, aslında sinx dediğimiz şey ile sin(pi - x) dediğimiz şey aynı şeydir. Çünkü işte pi'den geri geliyoruz düştüğümüz bölge ikinci bölge, sinüsün oradaki işareti artı isim de değişmez.
Bu da sinüs x'tir yani şimdi x ile pi - x'in gösterdiği açılar aynı açılar olduğu için sinx = siny denkleminin çözüm kümesi ile ilgili şimdi şöyleyeceklerimizden rahatlıkla bahsedebiliriz.
Nelerdir onlar?
Hemen konuşalım, tekrar ifade edelim.
sinx = siny ise iki durum vardır.
Ne dedik?
Ölçüsü burada y ve y'nin esas ölçüleri olan yani ölçüsü esas ölçüsü y olan bütün açılar, y ve y'nin 360° ve katlarına sahip olan bütün açılar denklemi sağlar.
Aynı zamanda pi - y'ler de sağlar.
Bu az önce ifade ettiğimiz şey çünkü.
Hem y'lere bakacağız esas ölçüsü y olan açılara, üzerine 2kpi eklememizin sebebi bu. Diğer taraftan da pi - y'lere bakacağız.
Her ikisi de denklemi sağlayacaktır, arkadaşlar. Şimdi ne söylemek istediğimizi biraz daha detaylı bir şekilde anlatmaya çalışalım.
Sin2alfa neymiş?
kök 3 bölü 2 denkleminin [0,pi] aralığındaki çözüm kümesini bulunuz, demiş.
Sevgili gençler, burada ne yapacağız?
Hemen sol taraf zaten sinüs cinsinden verilmiş, sağ tarafında sinüs cinsinden ifade etmeye çalışalım.
Sinüs 2alfa'yı biz hemen sinüs 60 dereceye eşitleyelim, çünkü sin60 kök3/2'dir.
Bu durumda ne demiştik?
Şimdi 2alfa ya esas ölçüsü 60 derece olan açılar eşittir işte buraya 2kpi da 360 derece çarpı k yazabilirsiniz.
Burada k'lar tabiiki nedir?
Bir tam sayıdır.
Diğer taraftan "veya" ne demiştik bütün açıları yine eşittir .Bu durumda buraya sayı.
Hemen burada ilk denklemimiz de her iki tarafı ikiye bölüyorum.
Alfa eşittir önce 0 verelim.
Alfa açımız 30° olur.
Şimdi k'ya açı biraz daha büyüyecek ama 0,pi aralığında demişti.
Dolayısıyla direkt 1 verdiğimiz zaman böldüğümde ikinci denklemde alfa eşittir 60° artı vereceğim.
Önce isterseniz 0 vererek başlayalım. Bu durumda alfamız 60 derece olacak.
Şimdi 1 verdiğimde 180'den geçeceği için aralığın dışına çıkmış olacak, başka kökümüz yok.
Dolayısıyla çözüm kümesini ifade ederken iki tane eleman var bu aralıkta denklemin çözüm kümesi ile ilgili. Biri 30, diğeri de 60 dereceymiş, diyebiliriz. Böylelikle sorunun çözümünü tamamlamış oluruz, sevgili arkadaşlar ve gelelim bir sonraki soruya. Diyor ki sinüs alfa eşittir 2cos kare 160 -1 denklemini sağlayan en küçük üç pozitif açının toplamı kaç derecedir?
Şimdi burada biliyorum ki ben şurası 2coskarex -1 demek kosinüsün iki kat açık formülü yani burada aslında sinüs alfa eşittir buraya ben ne yazabilirim?
Kosinüs 160 derecenin iki kat olan 320 derece yazabilirim. Şimdi burası sinüs, diğeri kosinüs olmadı bu. Hemen buraya değiştirmem lazım.
İsmini değiştirmek için bir 270'ten gidiyorum ki isim değişsin.
270'e kaç eklersem 320 olur?
50 derece.
Dolayısıyla burayı hemen cos 270 + 50 diye yazalım. Bu durumda ne olur?
Şimdi sinalfa eşittir (270'ten ileri gidiyorum, 3.
bölgedeyim, kosinüsün işareti artı ama isim değişir) sinüs 50 derece.
Çok güzel, harika oldu.
Öncelikle diyeceğim ki alfa eşittir 50 derece artı 360 derece çarpı k, yine neydi?
k'larımız tam sayı.
Hemen k'ya 0 verelim. k'ya 0 verdiğimizde alfa ne olur?
50 derece olur.
Bir de 1 vereyim isterseniz zaten en küçük 3 pozitif açıyı sormuş.
1 de vereyim 360 artı 50 = 410 derece yapar.
Bu yetsin.
Bir de diğer taraftan gelecek köklere bakalım.
En küçük 3 tanesini toplayacağım.
Bir de alfa ne olabilirdi?
Buradan biraz daha büyük gelecek ama zannediyorum Yine k'lar tam sayı.
Öncekle 0 verdim, k eşittir o için ikinci durumdaki köklerimizden bir tanesi.130 derece.
Zaten diğerine bakmaya gerek yok.
Niye?
360'a daha büyük bir sayı ekleyeceğim için diğer ilk iki bulduğum kökten çok daha büyük bir sayı gelecek.
Bana en küçük 3 pozitif tam sayı soruyordu.
Hemen şunları toplayalım bakın.
Ne yapar şuarası?
Toplayalım, 590 derece olarak bu en küçük 3 açının toplamı bulunmuş olur, sevgili arkadaşlar ve bu soruyu birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Sinüs fonksiyonunun olduğu trigonometrik denklemler formülleri nedir?
sinx = siny denkleminde ölçüsü x’in esas ölçüsüne eşit tüm açılar denklemi sağlar.
sinx = sin(π - x) olduğunu bildiğimizden, denklemin çözüm kümesi şu şekilde ifade edilebilir:
sinx = siny ise,
k bir tam sayı olmak üzere,
x = y + 2kπ veya x = (π - y) + 2kπ formülleri sinx = siny denkleminin çözüm kümesi olur.
