Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Merhaba arkadaşlar.
Bu dersteki konumuz  trigonometrik fonksiyonların birim çember   yardımıyla açıklanması.
Şimdi, birim çember  biliyorsunuz merkezi orijin yani 0'a 0 ve   yarıçapı 1 birim olan çemberdi.
Birim çember  üzerinde aldığımız bir P(x,y) noktasını hemen   orijinle birleştirelim.
Buradaki OP yarıçap olur  ve uzunluğu 1 birim olur arkadaşlar.
Burada OP   bir ışındır.
x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü  açıya bunun biz α diyelim.
Şimdi P noktasının   apsis ve ordinatının büyüklüklerini trigonometrik  fonksiyonlarla açıklamaya çalışacağız.
Arkadaşlar,   x eksenine bundan sonra biz kosinüs ekseni, y  eksenine de bundan sonra sinüs ekseni diyeceğiz.   Dolayısıyla, bu P noktasının x ekseni üzerine  dik izdüşümü olan OH uzunluğu α cinsinden ifade   edilmesi gerekirse, bu OH'nin kosinüs α olacaktır.  Aynı şekilde PH burada, şuraya T noktası dersek   o da OT uzunluğuna eşit olur.
Yani aslında P  noktasının y ekseni üzerindeki dik izdüşümü bu da.   O da sinα olacaktır yani α'nın sinüs büyüklüğüne  eşit olacaktır.
P noktasının apsisine α açısının   kosinüsü denir ve cosα ile gösterilir.
Ordinatına  ise α açısının sinüsü denir arkadaşlar.
O da sinα   biçiminde gösterilir.
Şimdi burada önemli birkaç  tane sonucumuz da var.
Burada POH üçgenine bakacak   olursak ve bu üçgende bir Pisagor bağıntısı  yazarsak, biz ne demiştik?
Birim çember üzerindeki   her bir noktanın apsisinin karesiyle ordinatının  karesinin toplamı 1'e eşittir.
Dolayısıyla buradan   sin²α artı cos²α eşittir 1 eşitliğini elde etmiş  olduk.
Bu çok çok önemli bir eşitliktir ki bazı   durumlarda mesela bize sin²α lazım olacak.
Biz  bunun yerine 1- cos²α yazacağız arkadaşlar.
Ya   da işte bize cos²α lazım olduğunda da onun  yerine 1-sin²α yazacağız.
Ya da tam tersi,   tabii ki onlar da geçerlidir.
Ya da 1- cos²α'yı  açmak gerekirse onu biraz da hatta kısa yazayım.   farkından parçaladım onu.
Ya da 1-sin² yerine 1   eksi s, 1 artı s şeklinde de bu trigonometrik  ifadelerin özdeş olan diğer ifadeleri   kullanılabilir.
Sorular içerisinde, bu hangisi  bize lazım olursa onu tercih ederek kullanacağız.   Bir başka önemli noktaya gelelim şimdi.  Biliyorsunuz P noktasını biz birim çember üzerinde   almıştık ve birim çember üzerinde bulunduğundan  apsis ve ordinat değerleri hiçbir zaman -1'den   küçük ya da 1'den büyük olamaz.
Neden?
Birim  çemberin adı üzerinde yarıçapı 1 birim yani sağdan   ve soldan 1 birimlik uzaklığa kadar gitmesi.
Bu  ne demek?
Alttan üstten de aynı şekilde daha fazla   gidemez.
Yani -1'den küçük, 1'den büyük olamaz.
O  halde arkadaşlar iki önemli sonuç daha söylüyorum   şimdi.
sinα her zaman -1 ile 1 aralığında değer  alır.
Aynı şekilde cosα da öyledir arkadaşlar.   -1 ile 1 aralığında değer alır diyoruz her iki  trigonometrik fonksiyon da.
Şimdi bir örnekle   artık öğrendiklerimizi uygulamaya çalışalım.  O merkezli birim çemberde verilenlere göre,   yani iki tane açı şekli üzerine yerleştirilmiş.
T  ve S noktalarının koordinatlarını bulunuz.
Evet,   hemen isterseniz S noktasından başlamak istiyorum  ben.
Şimdi burada bir 40 derecelik açı var.
Bunu   ne yapıyorduk?
Önce x eksenine düşürüyorduk.  Şurası, x ekseninin adı neydi?
Bundan sonra   biz ne ekseni demiştik ona?
cos ekseni.
y eksenine  de sinüs ekseni demiştik arkadaşlar.
Dolayısıyla,   bunu x ekseni üzerine dik iz düşürdüğümüzde orası  kosinüs 40 derece yapacaktır apsisi.
Ordinatı ise,   ordinata ne demiştik?
Buradaki sinüs değeriydi  değil mi?
Bunu karşıya aldığımızda o da sinüs   bakın şurayı söylüyorum.
Burası neydi?
   Sinüs 40 dereceydi.
Burası da kosinüs  şimdi bunu söyledik.
Şu parantezimiz biraz  küçük kalmış burada.
Hemen, onu büyüttükten   sonra T noktasına bakalım.
Şimdi ama burada 20  derece verilmiş fakat biz ne demiştik?
Açıyı   seçerken x ekseniyle pozitif yönde yapılan aşağıya  bakacağız.
Yani aslında benim şuraya bakmam lazım.   O halde bunun tamamı 180 olacak ya hemen 20'nin  bütünlerini alıyorum.
Yani 180 eksi 20 yapıyorum.   O halde buraya arkadaşlar ben ne diyeceğim?
160  derece diyeceğim.
O halde yine hemen yazmaya   başlayalım.
Bunu x eksenine düşürdüğümüzde  yani apsis büyüklüğü bunun, kosinüs 160 derece   olacaktır.
Aynı şekilde y eksenine düşürdüğümüzde  de sinüs 160 derece de ordinat büyüklüğü   olacaktır.
T noktasının da koordinatlarını bu  şekilde bulmuş olduk değerli arkadaşlar ve bir   sonraki örneğime geçtim.
Aşağıdaki trigonometrik  ifadelerin değerlerini birim çember yardımıyla   bulunuz.
Çok çok güzel bir soru.
Şimdi biz  ne demiştik x ekseni için?
Tekrar söylüyorum,   kosinüs ekseni.
y ekseni için ne demiştik?
Sinüs  ekseni.
Açıları da isterseniz yerleştirelim.
Şimdi   burası 0 derecedir, başlangıç.
Şurası geldim  fark etmez aynı şey demek radyan cinsinden de.  Burası 180 derece, dönüyorum tekrar, bir 90 daha   döndüm.
Burası 270 derece.
180 yerine π ya da 270  yerine 3π bölü 2 yazabilirsiniz.
360 derece de   zaten aynı yer bakın.
Şuraya yazalım isterseniz.  ama kimin değeri 1 biliyor musunuz?
Kosinüsün   değeri 1.
Yani aslında cos0'ı bana sorduğunda 1.  Peki hocam, burada sin0 nedir?
Şimdi 0 derecenin   karşılığı burada yok.
Neden?
Kosinüs ekseni  burası.
Dolayısıyla, sinüsün burada değeri çıkmaz.   Bu 0 olacaktır arkadaşlar.
Geliyorum 90'a, artık  bunu tahmin ediyorsunuzdur.
90 dereceye bakıyorum.   Hocam, buradaki değer +1 olmuş yine ama kimin  değeri?
Sinüs 90.
Tabii ki sinüs 90 1'dir.
Peki   kosinüs 90 nedir?
Kosinüsün bu eksende yeri  olmadığı için karşılığı yoktur, 0'dır diyeceğiz.   Hemen geldim 180 dereceye.
Kosinüs ekseni  üzerindeyim, sonucum -1 çıkmış.
O halde kosinüs   arkadaşlar.
Geldim 270 derece.
Sinüs eksenindeyim,   değerim -1.
O halde sinüs 270'e -1 derken kosinüs  alıyorlar.
360'a geldim.
Zaten 360 ne dedim?
Sinüs  üç, dörtlü var ya.
O dörtlüyü tekrar edecek  bundan sonra.
Dolayısıyla bu 0 olacak bu da   kalabilir bence ama yine de birim çember üzerinden   elde etmeyi bildikten sonra çok fazla ihtiyaç  duyacağınızı sanmıyorum.
Bakın, sinüs ne yapıyor?
   Bir 0, bir +1, bir 0, bir -1 şeklinde.
Kosinüs de   aynı şekilde.
O da 1 ile başlar.
1, 0, -1, 0  şeklinde değerler alır arkadaşlar.
Peki.
Şimdi   gelelim bir sonraki sorumuza.
Burada da sinüsün ve  kosinüsün almış olduğu, -1 ile +1 arasında almış   olduğu değerler hakkında güzel bir soru var.  a eşittir, her x ve y eleman reel sayı için,   değer verilmiş ve diyor ki 2a+3b ifadesinin   alabileceği en büyük ve en küçük değerin toplamı  kaçtır?
Şimdi burada ben biliyorum ki arkadaşlar,   sinüs x az önce de ifade ettim, dersin başında  da söylemiştik.
+1 ve -1 aralığında değer alır.   Önce bunu 3'le çarpıp 2 toplayarak a'yı bulmuş  olacağım.
Yani a'nın aralığını.
Hemen her tarafı   sinüs x değil mi?
+3.
2 topluyorum her tarafa,   şurası -1 olacak.
Bu burası 3sinx+2, a yazayım  artık onun yerine isterseniz.
2 toplamıştım,   burası da 5 olacak.
Bu a'nın aralığı.
Yalnız  benden 2a istenmiş.
Hemen ikiyle çarpıyorum,   -2.
Burası 2a, burası da 10 oldu değerli  arkadaşlarım.
Geldim şimdi, orada da kosinüs   x var.
Aynı şeyi kosinüs x için de söylemiştim  zaten.
Kosinüs x de -1 ile +1 arasında değer   alır.
2cosx'i istemiş.
Hemen ikiyle çarpıyorum.  Şurası 2cosx.
Burası -2, +2 oldu.
Her taraftan   Ne yaptım?
1 çıkardım arkadaşlar, burası da 1  oldu.
3b istemişti, hemen 3'le çarpıyorum -9.
3b,   burası da +3.
Arkadaşlar şu iki eşitliği taraf  tarafa toplarsak, 2a+3b.
Daha doğrusu eşitsizliği   demeliydik değil mi?
Bunlar eşitsizliktir.
Bu  iki eşitsizliği taraf tarafı toplarsak ne olur?
   -2 ile -9'u topluyorum.
Şurası -11 olacak.
Yine  eşitlik var.
Burası ne oldu?
2a+3b oldu.
Hemen sağ   taraflarını da yani sağ uçlarını da toplayalım.  arkadaşlar, bu ifadenin alabileceği en büyük  değer görüyorsunuz kaç?
13.
Hemen en küçük   değeri de söyleyelim.
O da sol uçtan rahatlıkla  anlaşılıyor, -11.
Bu iki değerin benden toplamı   istenmiş.
13 eksi 11'den 2 olarak sorumuzun  cevabı da bulunmuş olur ve bu soruyla birlikte   dersimizin sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki  derste görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.