Sevgili gençler, herkese merhabalar.
Bu dersimizde trigonometrik oranlarla ilgili sorular çözeceğiz.
İlk örneğimizle başlayalım.
Şekilde verilenlere göre sinα ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Şimdi burada çeyrek çizilmiş bir birim çember görüyorsunuz.
1'e 0, 0'a 1 diyor ya.
Dolayısıyla bu bir çember, yarıçapı da 1 birimmiş.
Dolayısıyla OP de 1'dir.
Şimdi hemen burada bir dik indiriyorum, şöyle.
P noktasının, çember üzerindeki P noktasının x ekseninin üzerine dik izdüşümü.
Şurası x ekseni olacak.
Bakın buraya H noktası dersem, OH uzunluğu 12/13'müş. Bunun apsis uzunluğu.
Şu y'sine de isterseniz k diyeyim ve OHP üçgeni bir tane Pisagor bağıntısı yazalım hemen.
Nedir?
12/13'ün karesi artı k'nin karesi eşittir 1'in karesine.
Buradan k kare eşittir, olur.
Payda eşitlersek eğer ne olur?
karesi.
Şimdi karekökünü alacağım ama bu durumda k olur burası.
Şimdi 13'ün karesi eksi 12'nin karesi yerine 5'in karesi yazabilirim.
5, 12, karesi bölü 13'ün karesinde karekök alırsak eğer Bana sorduğu şey ne?
sinα.
sinα neydi?
Karşı dik kenar bölü hipotenüs.
Yani k bölü 1'den k. Dolayısıyla k'miz ne?
5/13 arkadaşlar.
Zaten biz bu PH uzunluğunun sinα'ya eşit olduğunu biliyoruz birim çemberde.
O halde sinα direkt 5/13'tür deriz ve hiç vakit kaybetmeden bir sonraki soruya geçeriz.
Şekildeki ABC üçgeninde BC 39 birim, AB AC'ye dik, cotx de 5/12 olduğuna göre AB kaç birimdir, diye sormuş.
Şimdi cotx neydi?
x'in bulunduğu yere göre karşı ve komşu değişiyordu.
Komşu bölü karşı demek bu.
Komşusu AB, 5k diyorum.
Karşısında zaten AC var, o da 12k'ymiş.
Şimdi 5k, 12k, 13k.
5, 12, Zaten bize AB uzunluğunu sormuştu sorumuz.
AB dediğimiz yer 5k, hemen k yerine 3 yazarsak AB uzunluğumuz 15 birim olarak bulunmuş olur sevgili genç arkadaşlarım.
Geldik bir sonraki soruya. Şekilde 20 eş birim kareden oluşan dikdörtgen gösterilmiş.
Buna göre tanα+cotβ'yı sormuş. Şimdi bakın cotβ'yı hesaplamak kolay.
Niye?
Hemen karşısı ve komşusu rahat gözüküyor zaten.
Şurada bir dik üçgen var ya.
Komşusu 1,2,3,4,5 bölü karşısı da 2.
Burayı buldum, artı.
Şimdi tanα'ya bakacağım.
α'nın şu an bulunduğu yerde, bakın şu kenarı göremediğim için karşı bölü komşuyu bulamam.
Yine aşağı taşısam burada da bulamam. Şurada da bulamam ama şuraya α'yı taşıdığım anda en büyük üçgene bakar, karşısını komşusunu rahat görürüm.
Karşısında ne var?
1, 2, 3, 4 birimlik bir uzunluk.
Komşusu ne?
1, 2, 3 arkadaşlar. Dolayısıyla bu iki değerin toplamı, benden istenen toplamdır.
Hemen şurası 2'yle, burası 3'le genişletilirse eğer ne olur yukarısı?
8+15 yani sevgili arkadaşlar.
Geldik bir sonraki soruya. Şekildeki ABC bir ikizkenar üçgenmiş.
AB ve AC birbirine eşit, 12 birim.
cosα 7/12 verilmiş ve BC ne kadar diye soruluyor.
Arkadaşlar, ikizkenar üçgen gördüğünüzde hemen bir tane dik indirin.
Bu indirdiğiniz dik tabanda iki eşit parçaya böler. cosα neydi?
Komşu bölü hipotenüs.
Şimdi dolayısıyla ben şu α'nın komşusu yani şuraya 7k dersem, hipotenüse de 12k diyeceğim. k'miz 1'se BH dediğimiz yer nedir arkadaşlar?
Şurası 7, öbür taraf da 7 çünkü ikiye bölmüştü. Bu durumda sevgili gençler BC'miz 7+7'den 14 birim olarak bulunmuş olur diyelim ve gelelim son sorumuza.
Şekildeki ABCD kare, EF ve FC birbirlerine dik, EA 3 birim, AF 4 birim olduğuna göre FC kaç birimdir, diye soruyor.
Şimdi hemen kare olduğu için şurası 90 derece diyebilirim. Burada bir 3, 4, 5 özel üçgenimiz de var.
Onu da yerleştirdim.
Belki açılardan da faydalanırız, şuraya α diyelim.
Bakın burası α, 90, β olsun. Üçünün toplamı ne oldu?
EAF üçgeninde 180.
Yine aynı şekilde 180 olması için 90 var, β var. Niye 180?
Çünkü burası doğru açı.
180 derece şuranın hepsinin toplamı.
Dolayısıyla buraya bir α kaldı.
Şurası da 90 olduğu için eksik olan açı yine β.
Burası da β'ymış.
Peki, şimdi bunlar ne işimize yarayacak?
Bir görelim bakalım. Burada FB'ye bir uzunluk verelim.
Mesela buraya k diyelim isterseniz.
Karenin bir kenarı 4+k olsun.
Şurası da 4+k'dır.
Yani benzerlikten falan da bunu arkadaşlarımız rahatça çözebilirler ama biz şimdi konumuz trigonometri ya.
Trigonometrik verilerle çözmeye çalışacağım.
Burada mesela EAF üçgeninde tanα'ya bakın.
α'nın karşısında 4 var, komşusu 3.
4/3.
Yine FBC üçgeninde tanα'yı okuyun, karşı bölü komşu.
O da 4+k bölü k'dir.
Şimdi burada hemen içler dışlar çarpımı yaparak k'ye ulaşacağım.
4k eşittir 12 artı 3k.
Demek ki sevgili gençler, k'miz 12'ymiş.
Buradaki FB uzunluğunu buldum.
Burası 12, demek ki burası da 16'ymış.
Şimdi bana FC, x'i soruyordu.
Bakın burada bir Pisagor bağıntısı yazabilirim.
Ya da isterseniz hani benzerliği gören arkadaşlar, hocam işte burada ne var?
3'ün 4 katı 12, 4'ün 4 katı 16, 5'in 4 katı 20.
Olur, o da olur hiç fark etmez.
Ben yine Pisagor'umu yapayım.
12'nin karesi artı 16'nın karesi eşittir x'in karesi.
Dediğiniz gibi 3, 4, 5 üçgeninin her birinin dörder katları bu.
Son olarak, hipotenüs de 5'in 4 katından x eşittir 20 birim olarak bulunmuş olur diyelim ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna geldik.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizde trigonometrik oranlarla ilgili sorular çözeceğiz.
İlk örneğimizle başlayalım.
Şekilde verilenlere göre sinα ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Şimdi burada çeyrek çizilmiş bir birim çember görüyorsunuz.
1'e 0, 0'a 1 diyor ya.
Dolayısıyla bu bir çember, yarıçapı da 1 birimmiş.
Dolayısıyla OP de 1'dir.
Şimdi hemen burada bir dik indiriyorum, şöyle.
P noktasının, çember üzerindeki P noktasının x ekseninin üzerine dik izdüşümü.
Şurası x ekseni olacak.
Bakın buraya H noktası dersem, OH uzunluğu 12/13'müş. Bunun apsis uzunluğu.
Şu y'sine de isterseniz k diyeyim ve OHP üçgeni bir tane Pisagor bağıntısı yazalım hemen.
Nedir?
12/13'ün karesi artı k'nin karesi eşittir 1'in karesine.
Buradan k kare eşittir, olur.
Payda eşitlersek eğer ne olur?
karesi.
Şimdi karekökünü alacağım ama bu durumda k olur burası.
Şimdi 13'ün karesi eksi 12'nin karesi yerine 5'in karesi yazabilirim.
5, 12, karesi bölü 13'ün karesinde karekök alırsak eğer Bana sorduğu şey ne?
sinα.
sinα neydi?
Karşı dik kenar bölü hipotenüs.
Yani k bölü 1'den k. Dolayısıyla k'miz ne?
5/13 arkadaşlar.
Zaten biz bu PH uzunluğunun sinα'ya eşit olduğunu biliyoruz birim çemberde.
O halde sinα direkt 5/13'tür deriz ve hiç vakit kaybetmeden bir sonraki soruya geçeriz.
Şekildeki ABC üçgeninde BC 39 birim, AB AC'ye dik, cotx de 5/12 olduğuna göre AB kaç birimdir, diye sormuş.
Şimdi cotx neydi?
x'in bulunduğu yere göre karşı ve komşu değişiyordu.
Komşu bölü karşı demek bu.
Komşusu AB, 5k diyorum.
Karşısında zaten AC var, o da 12k'ymiş.
Şimdi 5k, 12k, 13k.
5, 12, Zaten bize AB uzunluğunu sormuştu sorumuz.
AB dediğimiz yer 5k, hemen k yerine 3 yazarsak AB uzunluğumuz 15 birim olarak bulunmuş olur sevgili genç arkadaşlarım.
Geldik bir sonraki soruya. Şekilde 20 eş birim kareden oluşan dikdörtgen gösterilmiş.
Buna göre tanα+cotβ'yı sormuş. Şimdi bakın cotβ'yı hesaplamak kolay.
Niye?
Hemen karşısı ve komşusu rahat gözüküyor zaten.
Şurada bir dik üçgen var ya.
Komşusu 1,2,3,4,5 bölü karşısı da 2.
Burayı buldum, artı.
Şimdi tanα'ya bakacağım.
α'nın şu an bulunduğu yerde, bakın şu kenarı göremediğim için karşı bölü komşuyu bulamam.
Yine aşağı taşısam burada da bulamam. Şurada da bulamam ama şuraya α'yı taşıdığım anda en büyük üçgene bakar, karşısını komşusunu rahat görürüm.
Karşısında ne var?
1, 2, 3, 4 birimlik bir uzunluk.
Komşusu ne?
1, 2, 3 arkadaşlar. Dolayısıyla bu iki değerin toplamı, benden istenen toplamdır.
Hemen şurası 2'yle, burası 3'le genişletilirse eğer ne olur yukarısı?
8+15 yani sevgili arkadaşlar.
Geldik bir sonraki soruya. Şekildeki ABC bir ikizkenar üçgenmiş.
AB ve AC birbirine eşit, 12 birim.
cosα 7/12 verilmiş ve BC ne kadar diye soruluyor.
Arkadaşlar, ikizkenar üçgen gördüğünüzde hemen bir tane dik indirin.
Bu indirdiğiniz dik tabanda iki eşit parçaya böler. cosα neydi?
Komşu bölü hipotenüs.
Şimdi dolayısıyla ben şu α'nın komşusu yani şuraya 7k dersem, hipotenüse de 12k diyeceğim. k'miz 1'se BH dediğimiz yer nedir arkadaşlar?
Şurası 7, öbür taraf da 7 çünkü ikiye bölmüştü. Bu durumda sevgili gençler BC'miz 7+7'den 14 birim olarak bulunmuş olur diyelim ve gelelim son sorumuza.
Şekildeki ABCD kare, EF ve FC birbirlerine dik, EA 3 birim, AF 4 birim olduğuna göre FC kaç birimdir, diye soruyor.
Şimdi hemen kare olduğu için şurası 90 derece diyebilirim. Burada bir 3, 4, 5 özel üçgenimiz de var.
Onu da yerleştirdim.
Belki açılardan da faydalanırız, şuraya α diyelim.
Bakın burası α, 90, β olsun. Üçünün toplamı ne oldu?
EAF üçgeninde 180.
Yine aynı şekilde 180 olması için 90 var, β var. Niye 180?
Çünkü burası doğru açı.
180 derece şuranın hepsinin toplamı.
Dolayısıyla buraya bir α kaldı.
Şurası da 90 olduğu için eksik olan açı yine β.
Burası da β'ymış.
Peki, şimdi bunlar ne işimize yarayacak?
Bir görelim bakalım. Burada FB'ye bir uzunluk verelim.
Mesela buraya k diyelim isterseniz.
Karenin bir kenarı 4+k olsun.
Şurası da 4+k'dır.
Yani benzerlikten falan da bunu arkadaşlarımız rahatça çözebilirler ama biz şimdi konumuz trigonometri ya.
Trigonometrik verilerle çözmeye çalışacağım.
Burada mesela EAF üçgeninde tanα'ya bakın.
α'nın karşısında 4 var, komşusu 3.
4/3.
Yine FBC üçgeninde tanα'yı okuyun, karşı bölü komşu.
O da 4+k bölü k'dir.
Şimdi burada hemen içler dışlar çarpımı yaparak k'ye ulaşacağım.
4k eşittir 12 artı 3k.
Demek ki sevgili gençler, k'miz 12'ymiş.
Buradaki FB uzunluğunu buldum.
Burası 12, demek ki burası da 16'ymış.
Şimdi bana FC, x'i soruyordu.
Bakın burada bir Pisagor bağıntısı yazabilirim.
Ya da isterseniz hani benzerliği gören arkadaşlar, hocam işte burada ne var?
3'ün 4 katı 12, 4'ün 4 katı 16, 5'in 4 katı 20.
Olur, o da olur hiç fark etmez.
Ben yine Pisagor'umu yapayım.
12'nin karesi artı 16'nın karesi eşittir x'in karesi.
Dediğiniz gibi 3, 4, 5 üçgeninin her birinin dörder katları bu.
Son olarak, hipotenüs de 5'in 4 katından x eşittir 20 birim olarak bulunmuş olur diyelim ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna geldik.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
