Sinüs Fonksiyonunun Periyodu ve Grafiği

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.  Bu dersteki konumuz Sinüs fonksiyonunun   periyodu ve grafiği.
Bir fonksiyon belirli  aralıklarla aynı değerleri tekrar sağlıyorsa,   biz bu tür fonksiyonlara periyodik fonksiyonlar  diyeceğiz.
Matematikte de biliyorsunuz periyodik   olarak tekrar eden problemler var, aslında ona  mantık olarak benzeyen bir konu sevgili gençler.   Şimdi biz tabii ki trigonometrik fonksiyonların  periyodundan bahsedeceğiz burada.
f(x) eşittir a   artı b çarpı sinüs n üzeri cx artı d fonksiyonunu  ele alalım.
Buradaki n'ler, pozitif tamsayılar   olsun.
Periyodu biz eğer T ile gösterecek olursak,  iki farklı durum karşımıza çıkacaktır.
Durumu   farklılaştıran şey buradaki sinüsün kuvveti olan  "n" sayısı, sevgili arkadaşlarım.
Eğer n tek bir   sayıysa, periyodumuz 2 pi bölü mutlak c, hocam  burada "c" nedir?
Sevgili gençler bize verilen   sinüs fonksiyonunun içerisinde yazan kuraldaki  x'in katsayısıdır c.
Bunun mutlak değerine 2 pi'yi   bölerek eğer n tek ise periyodu bulmuş olacağız.  N'nin çift olduğu durumlarda ise periyot,   pi bölü mutlak c şeklinde bulunmuş olacak, sevgili  arkadaşlarım.
Bir not ile devam edelim, f(x) ve   g(x) fonksiyonlarının esas periyotları sırasıyla  T1 ve T2 olsun.
Burada sadece periyot da karşımıza   çıkabilir, böyle de söylenir ifade edilebilir  ya da esas periyot şeklinde de ifade edilebilir   kafamız karışmasın lütfen ve bize şu şekilde  f(x) artı eksi g(x) fonksiyonunun esas periyodu   sorulmuş olsun.
Biz bu durumda ne yaparız, sevgili  arkadaşlar.
Aslında zillerin aynı saatte çalma   sorularını çözme metoduyla aynı.
Ne yapacağız?
En  küçük ortak katlarına yani T1 ve T2'nin ekokuna   bakacağız, iki fonksiyonun toplam ya da farkının  esas periyodunu bulurken.
Hemen şimdi bir tanecik   örneğimiz var ona bakalım.
Ne diyeceğiz?
f(x)  eşittir 2 çarpımında, sin kare x bölü 2 artı 1   ve g(x) eşittir 3 çarpımında sin2x artı 1 bölü  bulunuz demiş.
Şimdi ne yapıyorum, hemen f(x)'in  periyoduna T1 diyeyim ve hemen sinüsün kuvvetine   bakıyorum.
Nedir sinüsün kuvveti?
2 yani çift,  çift olduğu durumda pi bölü mutlak c diyorduk.
C   dediğimiz şey, sinüsün içindeki verilen kuralda  x'in katsayısı mutlak içerisinde, hemen yazdım   bölü 2 olarak çıkar, pozitiftir ters çevirip   çarptığımda T1'i iki pi olarak bulmuş olurum.  Gelelim g(x)'in esas periyodu, ona da T2 diyeyim   arkadaşlar.
Burada da sinüsün kuvvetine bakıyorum,  bir şey yazmıyor o halde 1'dir.
Yani tektir,   tek olduğu durumda 2 pi bölü mutlak c diyorduk,  c dediğimiz şey sinüsün içindeki x'in katsayısı 2,   mutlak değer içerisinde 2.
O da ne olur?
2 diye  çıkar 2'ler sadeleşir, pi olarak T2'de bulunmuş   olur.
Bana, sevgili arkadaşlar f(x) artı ya da  eksi g(x) sorulmamış ama fonksiyonun eğer esas   periyodu sorulmuş olsaydı cevabınız ne olurdu?
  Hemen bakacaktım bunların tek tek periyotlarına.   Biri 2 pi diğeri pi, EKOK diyecektim 2 pi  ve pi yani pi ve 2 pi sayılarının en küçük   ortak katları.
Nedir bunların en küçük ortak  katları?
Tabii ki 2 pi'dir.
Dolayısıyla f(x)   artı ya da eksi g(x) fonksiyonunun, eğer bana esas  periyodu sorulmuş olsaydı buna da cevabınız 2 pi   olmuş olacaktı, değerli gençler.
Peki şimdi, sinüs  fonksiyonunun grafiği çizilirken neler yapılır,   bunlardan bahsedelim.
Tabii ki bize çoktan seçmeli  sınavlarda kimse gelin bu grafiği çizin demez,   ne yapar?
Ya fonksiyonun kuralını verir,  şıklarda grafikler vardır, biz belirli   noktaları bakın burada 3.
ifadede söylediğimiz  şey aslında.
Belirli noktaları yerine yazarak,   işte hangisi verilen kuralla eşleşiyor  ona bakarız ya da grafik bize verilir,   aşağıdaki şıklardan da kuralları eleyerek tek tek  bakarız yine aşağıdaki 3.
numaradaki özellikle   vermiş olduğumuz açıları tek tek yerine yazarak  değişimlerine bakarız ama tabii ben hocam ona   rağmen şıklardan gitmek istemiyorum, grafiğini  çizmek istiyorum diyen arkadaşlarım ya da klasik   sınavda faydalanmak isteyen arkadaşlarım için  grafik nasıl çizilir, bundan bahsedelim.
Sevgili   arkadaşlar fonksiyonun trigonometrik fonksiyonun  grafiği çizilirken önce hemen fonksiyonun periyodu   bulunur.
Periyot bulunduktan sonra periyot  aralığında yani daha doğrusu periyodun uzunluğunda   bir aralık seçilir.
Bu aralıkta çizeceğiz  çünkü grafiğimizi çünkü neden?
Bundan sonraki   aralıklarda ne yapacak fonksiyon kendini tekrar  edecek, aynı görüntüyü elde edeceğiz.
Dolayısıyla   sadece periyot uzunluğunda bir aralıkta çizmemiz  yeterli olacak.
Sonrasında seçtiğimiz aralıkta   fonksiyonun değerlerinin bulunabileceği açılar  seçeceğiz ve bu açıların değişimlerine bakacağız,   yani sonuçlarına bakacağız fonksiyondaki.  Hangi açılar bunlar?
İşte 0°, 30°, 45°,   bildiğimiz açıları seçeceğiz.
Sonra bu değişimi   inceleyerek grafiği çizeceğiz, sevgili gençler.  Hemen bu anlattıklarımızı gelin bir örnek üzerinde   uygulamaya çalışalım.
Şimdi ne diyor?
2sinx  artı 1 eşittir f(x) fonksiyonun grafiğini   [0,2 pi] kapalı aralığında çiziniz.
Evet bana  ne lazım?
Hemen önce periyodunu bulmam lazım.   Sonra da o periyottaki açıların seçtiğimiz özel  açıların değerlerini bulmam gerekiyor ,onun için   küçük bir tablo çiziyorum hemen ekrana sonra şu  yukarıdaki minik boşlukta da periyodumu bularak   soru çözümüne başlıyorum.
Hemen bunu periyodunu  bulurken sinüsün kuvvetine bakıyorum hiçbir şey   yazmıyor yani 1 yani tek, tek olduğu durumda 2 pi  bölü mutlak c yani x'in katsayısı diyorduk o da 1.   Mutlak içerisinde 1.
Dolayısıyla periyodum nedir?
  tamam periyodumuz aralığa uygun sevgili  arkadaşlar.
Ne yapacağım?
Hemen 0,   bir tanesi 0 olsun, diğeri pi bölü 2 olsun.   Karşılığını bildiğim açılar seçiyorum.
Diğeri pi  olsun, sonra işte 3 pi bölü 2 olsun, 2 pi olsun.   Hangi fonksiyonu arıyorum, isterseniz önce ben  sinx'teki karşılıklarını bulayım.
Sonra bunu   ne yapayım?
2'yle çarpıyım.
İki tanesini sinx,  sonra 1 toplayayım yani burada ben kimi bulmuş   oldum?
f(x)'i bulmuş oldum sevgili arkadaşlar.  Evet bakalım, şimdi sin 0 nedir?
Sıfırdır.   Sinüs pi bölü 2, 1'dir.
Sin pi, sıfırdır.
Sin 3  pi bölü 2, eksi 1'dir.
Sin 2 pi de yine nedir?
   Sinüs sıfır gibi o da 0'dır.
2'yle çarpacağım,  ne yaptı yine?
1 yapmış oldu bu sefer -1 yazıyorum   eksi 2 artı 1'den -1 olmuş oldu.
0 yazdım yine 1  topladım 1 oldu.
Evet bu şekilde ne yaptım şimdi,   değerleri buldum.
Bu değerleri inceleyerek ne  yapacağım?
Grafikte bunları dikkatli bir şekilde   yerleştireceğim, sevgili arkadaşlar.
Bakın  ne dedik şimdi burada, isterseniz üzerinde   tekrar bir konuşalım.
Burası biliyorsunuz x,  burası y eksenidir.
Şurası başlangıç noktası,   burası dik ve orijin yerleştirdim.
Bakın neydi  burada bir de 1 yani x yerine 0 verdiğimizde y  eksenini 1'de kesecek böyle bir nokta var yani.   Şurada bir yerde bir 1 noktamız var.
Peki pi bölü  sonucumuzun 3 çıkmasını istiyoruz.
İşte  sonrasında pi değerimiz var.
Pi değerimiz,   hemen onu veriyorum şurası pi olsun, bakın  karşılığı ne oluyor şurada kesti 1 oldu.
Başka   de sonucun -1 çıktığını biliyorum.
Sonrasında 2 pi   değerimiz var bakın.
2 pi değerini verdiğimizde  de sonuç 1 çıkıyor.
Sonucu 1 çıkan yeri şöyle   takip ediyorum.
Demek ki şurada bir yerde  bir ne var?
2 pi değerimiz var.
Hemen bu   noktalardan geçen, bakın şu notları işaretliyim.  Bu noktalardan geçen grafiği birlikte çizelim,   sevgili arkadaşlar.
Şöyle bir resim  karşımıza çıkacaktır.
Bu çizdiğimiz   grafik de nedir?
f(x) eşittir 2 sinx artı  Tabii ki bakın sıfırdan iki pi'ye kadar çizmiş  oldum bunu, bunun başlangıcında ve sonunda sol   ve sağ uçlarında nokta nokta var.
Bunlar  ne anlama geliyor?
Bundan sonraki yerlerde   fonksiyon aynı şekli tekrar ediyor, periyodik  bir fonksiyon olduğu için diyoruz ve soru ile   birlikte dersimizi bitiriyoruz.
Bir sonraki  ders görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.