Merhabalar yamuk konusuna devam ediyoruz.
Şimdiki sorumuzda bir ABCD yamuğu verdim.
AB paraleldir DC paraleldir EF şunu gösterelim.
Şu paralellik var tamam.
EC ve EB açıortaydır.
EF yedi birim.
BC on birim.
AB on altı birimse gördüğünüz DC uzunluğu x kaç birimdir diyor sorumuz.
Şimdi burada nasıl ilerlemeli?
İlk başta şimdi şu paralelliği verdiysek tabii bir de yamuk olmasının özelliği alt taban üst tabana paralel.
Şu açılara harfler verirsek a, a, b, b ilk başta yazacağım şey u kuralından yani paralel doğrular arasında yer alan bu iki açının yani DCB ve CBA açılarının toplamı 180 derece olmalı.
2 artı 2b eşittir 180 derece olmalı.
O zaman sadeleştirirsem A artı B'nin 90 derece olduğunu kesinlikle biliyorum.
Tamam çok güzel.
Şimdi burada şu açıortayları verdim.
Bu EF'nin paralel olduğunu niye gösterdik acaba?
Bir de buradaki EF'nin paralelliğini nasıl kullanmalıyız?
Uzatalım dostlar EF'yi uzatalım.
EF'yi aynen parelelliğini koruyacak şekilde uzattım.
Bu paralellik devam ediyor şu anda.
Tamam şimdi burada Z kuralı görmüyor musunuz dostlar ben görüyorum.
O zaman Z kuralıyla açıyı taşıdım.
Şurada gördüğünüz açı DCE açısı.
CE şuraya da harf verelim K olsun.
CEK açısına eşit oldu.
Aynı şekilde alt tarafta da bir z iç ters açılar görmüyor musunuz?
Şurada gördüğünüz açı burada gördüğünüz açıya eşit değil midir?
Aynı şekilde B açısını da buraya taşımış olmadık mı?
Olduk.
Şimdi burada dostlar şimdi üst tarafta CEK'de ikiz kenarlık yakaladık.
Taban açıları eşit A'ya A.
O zaman bu kenar eşittir bu kenar.
KC eşittir KE.
Alt tarafta da ben ikiz kenarlık yakaladım.
Şu gördüğünüz EKB üçgeninde şu üçgenden bahsediyorum.
Alt kenar alt taban açıları eşit ise o zaman KE uzunluğu KB uzunluğuna eşit.
O zaman buraya da çift çentik atıyorum.
Şimdi buraya baktığımız zaman A artı B'nin 90 derece olduğunu biliyorum.
Yani buradaki CEB açısı şurada gördüğünüz açı 90 derece oluyor zaten ve 90'dan inen bir kenarortay zaten muhteşem üçlü olduğu kanıtlandı bile.
CK eşittir EK eşittir BK bulduk zaten dostlar.
Biz zaten muhteşem üçlü ispatladık resmen.
Şimdi 10 birim uzunluğu nasıl bölünecek?
CK'ye 5, KB'ye 5 olarak bölündü.
Burada gördüğünüz X de 5 olarak bölündü.
Tabii ki de muhteşem üçlü gibi.
Tamam dostlar şimdi elimizde ne kaldı dostlar?
Elimizde dostlar şöyle bir yamuğumuz var.
Şöyle bir paralel çektik biz ortadan şöyle güzelce gösterelim, bu paralel burayı 5'e 5 böldü, bu uzaklığım ne etti?
F ve K arası yedi artı 5'ten 12 etti.
Üst uzunluğum üst taban uzunluğum x, alt taraf alt taban uzunluğum da 16.
Şimdi dostlar 12 dediğin bu FK orta taban etmedi mi?
Çünkü bir buradaki oran birebir bir ve bunlar birbirine paralel.
Bunlar birbirine paralel ve sağdaki oran birebir olduğu için buradaki oran da birebir olmalı.
Yani DF eşittir AF olmalı zaten.
Çünkü FE paralel DC paralel AB dostlar hem paralellik var hem burada sağ tarafta bire bir oran var o zaman sol tarafta da birebir oran olmalı.
DF eşittir AF olur dostlar.
E o zaman FK ne oldu dostlar?
FK dediğimiz şey orta taban oldu dostlar.
Doğru mu?
Şöyle gösterelim.
FK dediğim şey orta taban oldu.
Orta tabanı nasıl buluyordum dostlar?
Orta taban dediğim yani FK uzunluğu eşittir üst taban artı alt taban uzunluğu bölü 2 idi.
Aritmetik ortalaması yapıyordum 2 taban uzunluğunu.
24 eşittir X artı 16, buradan X eşittir 8 bulunuyor dostlar.
Evet, sıradaki sorumuza bakalım.
Yine bir ABCD dik yamuğu verdim.
Dc diktir AD, AD diktir AB tamam.
EC diktir EB.
Şuradan bahsediyorum.
DC 4 santim, AB 8 santim, DE eşittir AE.
Alan ABCD'yi bulunuz.
Şimdi siz bir dik yamuğun ya da siz bir yamuğun alanını nasıl bulursunuz?
Dostlar alt taban artı üst taban uzunluğu bölü 2 çarpı yükseklik.
Yamuğun yüksekliği derseniz alt tabanı biliyorum, üst tabanı biliyorum.
Ne kaldı?
Yükseklik kaldı.
Demek ki ben yüksekliği hesaplarsam alanı bulurum.
Demek ki buradaki tek amacım şu yüksekliği yani AD'yi bulmak.
AD uzunluğunu bulursam alan ABCD'yi hesaplarım.
Peki ben burada alanı buradaki AD uzunluğunu nasıl hesaplayacağım dostlar?
Şimdi size bir dik, iki dik, üç dik verdim.
Şimdi burada bu üç tane dik varsa açı özelliği biraz göze çarpıyor.
Dostlar biraz açıyla ilerlememiz gerekiyor gibi düşünüyorum.
Ne yapacağız dostlar?
Şurada gördüğünüz açıya a, burada gördüğünüz açıya b diyorum.
A artı b'nin 90 derece olduğu belli.
Üst tarafım dik D açım dik.
Tamam buraya geçiyorum.
B var, 90 derece var.
Kaldı o zaman buraya A açısı.
Çünkü A artı B artı 90'ın 180 derece olması lazım.
Tamamı A artı B 90 devam etmeli.
Burada A var 90 var.
Kaldı buraya B açım çok güzel.
Şimdi şurada DEC üçgeni ve altta EAB üçgenin iç açıları eşit iki tane üçgen oldu ve iç açıları eşit iki tane üçgen nedir?
Dostlar benzer üçgenlerdir.
Bu iki üçgen kesinlikle benzerdir.
Şimdi burada araştırmaya çalıştığım yer buralar.
O zaman x dedim bunlara.
Şimdi siz bu iki benzer üçgende oran yazabilir misiniz?
Yazarsınız tabii.
A açısının karşısındakiler bölü B açısının karşısındakiler yapıyorum dostlar.
Bu üçgende A'nın karşısı x birim, b'nin karşısı 4 birim.
Alttaki üçgene geçiyorum.
A'nın karşısı 8 birim, b'nin karşısı dostlar X birim.
İçler dışlar x Kare eşittir 32.
x o zaman dört kök iki etti galiba.
Tamam.
x'i hesapladım.
x hesaplandıysa bir yüksekliği hesapladım.
O zaman soru bitti.
Alan ABCD dediğim üst taban dört, alt taban sekiz.
Şöyle şuraya yazalım alan ABCD dediğim üst artı alt taban uzunluğu bölü iki çarpı yüksekliği.
Yükseklik dediğim iki tane x.
1 tanesi 4 kök 2 ise 2 tanesi sekiz kök iki etti yüksekliğim.
4 12 6 48 kök 2 santimetre demiştik.
Santimetre kare bizim alanımız oluyor dostlar.
Evet dostlar geçelim diğer sorumuza.
Şimdi ABCD bir ikizkenar yamuk dikkat edelim.
EF diktir AB.
Tamam şurayı verdik.
AD eşittir BC.
Tamam burada ikizkenar yamuğun özellikleri yan kenar uzunlukları birbirine eşit.
DE 8 birim, CE 4 birim, FB 14 birim, AF k birim ise C'yi bulalım.
Şimdi ikizkenar yamukun olması belirtilmesi çok güzel.
Bazı özellikleri vardı onu gösterelim.
Şimdi şimdi burada E'den F'den dik inmiş olalım böyle acayip bir yerden dik inmiş.
Ne yapalım bu soruda?
Dostlar burada üst tabanın köşelerinden siz de dik inin.
Şuradan D'den ve C'den dikleri ineceğim.
Buradan birinci dikimi indim.
İkinci dikimi iniyorum.
Şimdi burada şu K hepsiydi şöyle gösterelim.
AF uzunluğu k kadardı.
FB uzunluğu 14 kadar şurayı siliyorum.
Tamam bu indiğim yerlere de harfler verelim.
Burası P olsun, burası R olsun diyelim.
Tamam şimdi siz burası 4 ise burası 4 diyebilir misiniz?
Tabii ki de dördü yazdım.
FR uzunluğu 4.
Burası 8 ise burası 8 midir?
Evet 8'dir.
DE 8 ise PF 8.
Tamam.
Şimdi şuraya baktığım zaman FB arası 14.
Dördü çıkarırsam BR arası on kaldı.
Çok güzel AF arası k kadardı.
Burası 8 ise AP arası kaldı bana k eksi 8 çok güzel.
Şimdi ikizkenar özelliğini hiç kullanmadım, ikizkenar yamuk özelliğini hiç kullanmadım.
İkiz kenaryamukun özelliği neydi?
Dostlar ikizkenar yamukta bu tepenin köşelerinden, üst tabanın köşelerinden indiğiniz yüksekliklerin tabanda sağda ve solda ayırdıkları uzunlukları birbirlerine eşitti.
Yani AP eşittir BR olmalı dostlar.
Neden?
Çünkü bu bir ikizkenar yamuk dostlar.
Zaten burada gördüğünüz APD üçgeni ve RCB üçgeni eş üçgenlerdir.
Dostlar neden eş üçgenlerdir?
Siz buradaki açıya a kadar derseniz dostlar buradaki açıdan a olmaz mı?
İkizkenar yamuk çünkü doğru mu?
Taban açıları birbirlerine eşit, çok güzel.
Burada 90 derece var, çok güzel burada da var.
Burası 90 eksi a eder mi?
Burası da 90 eksi a eder mi?
Evet eder.
O zaman APD üçgeni ve CRB üçgenin iç açıları eşit.
A var, 90 var, 90 eksi a var.
İç açıları eşitse benzer.
Peki bir bakıyorum ikizkenar yamuk olduğu için 90 derecenin karşısı da burada aynı.
Bu üçgende de 90 derecenin karşısı aynı.
Hatta a'nın karşısı burada da yükseklik, a'nın karşısı burada da yükseklik.
O zaman kesinlikle bu üçgenler eştir.
O zaman diğer açının karşılıklı uzunlukları da eşittir.
Yani burada d köşesi neyi görüyor?
K eksi sekizi görüyorsa burada da aynı açının karşısı, yani 90 eksi a'nın karşısı da aynı uzunluğu görmeli.
Yani eksi 8 eşittir 10 yapıyoruz.
Dostlar k eksi 8 eşittir 10.
K eşittir 18 birim bulunur dostlar.
Şimdiki sorumuzda bir ABCD yamuğu verdim.
AB paraleldir DC paraleldir EF şunu gösterelim.
Şu paralellik var tamam.
EC ve EB açıortaydır.
EF yedi birim.
BC on birim.
AB on altı birimse gördüğünüz DC uzunluğu x kaç birimdir diyor sorumuz.
Şimdi burada nasıl ilerlemeli?
İlk başta şimdi şu paralelliği verdiysek tabii bir de yamuk olmasının özelliği alt taban üst tabana paralel.
Şu açılara harfler verirsek a, a, b, b ilk başta yazacağım şey u kuralından yani paralel doğrular arasında yer alan bu iki açının yani DCB ve CBA açılarının toplamı 180 derece olmalı.
2 artı 2b eşittir 180 derece olmalı.
O zaman sadeleştirirsem A artı B'nin 90 derece olduğunu kesinlikle biliyorum.
Tamam çok güzel.
Şimdi burada şu açıortayları verdim.
Bu EF'nin paralel olduğunu niye gösterdik acaba?
Bir de buradaki EF'nin paralelliğini nasıl kullanmalıyız?
Uzatalım dostlar EF'yi uzatalım.
EF'yi aynen parelelliğini koruyacak şekilde uzattım.
Bu paralellik devam ediyor şu anda.
Tamam şimdi burada Z kuralı görmüyor musunuz dostlar ben görüyorum.
O zaman Z kuralıyla açıyı taşıdım.
Şurada gördüğünüz açı DCE açısı.
CE şuraya da harf verelim K olsun.
CEK açısına eşit oldu.
Aynı şekilde alt tarafta da bir z iç ters açılar görmüyor musunuz?
Şurada gördüğünüz açı burada gördüğünüz açıya eşit değil midir?
Aynı şekilde B açısını da buraya taşımış olmadık mı?
Olduk.
Şimdi burada dostlar şimdi üst tarafta CEK'de ikiz kenarlık yakaladık.
Taban açıları eşit A'ya A.
O zaman bu kenar eşittir bu kenar.
KC eşittir KE.
Alt tarafta da ben ikiz kenarlık yakaladım.
Şu gördüğünüz EKB üçgeninde şu üçgenden bahsediyorum.
Alt kenar alt taban açıları eşit ise o zaman KE uzunluğu KB uzunluğuna eşit.
O zaman buraya da çift çentik atıyorum.
Şimdi buraya baktığımız zaman A artı B'nin 90 derece olduğunu biliyorum.
Yani buradaki CEB açısı şurada gördüğünüz açı 90 derece oluyor zaten ve 90'dan inen bir kenarortay zaten muhteşem üçlü olduğu kanıtlandı bile.
CK eşittir EK eşittir BK bulduk zaten dostlar.
Biz zaten muhteşem üçlü ispatladık resmen.
Şimdi 10 birim uzunluğu nasıl bölünecek?
CK'ye 5, KB'ye 5 olarak bölündü.
Burada gördüğünüz X de 5 olarak bölündü.
Tabii ki de muhteşem üçlü gibi.
Tamam dostlar şimdi elimizde ne kaldı dostlar?
Elimizde dostlar şöyle bir yamuğumuz var.
Şöyle bir paralel çektik biz ortadan şöyle güzelce gösterelim, bu paralel burayı 5'e 5 böldü, bu uzaklığım ne etti?
F ve K arası yedi artı 5'ten 12 etti.
Üst uzunluğum üst taban uzunluğum x, alt taraf alt taban uzunluğum da 16.
Şimdi dostlar 12 dediğin bu FK orta taban etmedi mi?
Çünkü bir buradaki oran birebir bir ve bunlar birbirine paralel.
Bunlar birbirine paralel ve sağdaki oran birebir olduğu için buradaki oran da birebir olmalı.
Yani DF eşittir AF olmalı zaten.
Çünkü FE paralel DC paralel AB dostlar hem paralellik var hem burada sağ tarafta bire bir oran var o zaman sol tarafta da birebir oran olmalı.
DF eşittir AF olur dostlar.
E o zaman FK ne oldu dostlar?
FK dediğimiz şey orta taban oldu dostlar.
Doğru mu?
Şöyle gösterelim.
FK dediğim şey orta taban oldu.
Orta tabanı nasıl buluyordum dostlar?
Orta taban dediğim yani FK uzunluğu eşittir üst taban artı alt taban uzunluğu bölü 2 idi.
Aritmetik ortalaması yapıyordum 2 taban uzunluğunu.
24 eşittir X artı 16, buradan X eşittir 8 bulunuyor dostlar.
Evet, sıradaki sorumuza bakalım.
Yine bir ABCD dik yamuğu verdim.
Dc diktir AD, AD diktir AB tamam.
EC diktir EB.
Şuradan bahsediyorum.
DC 4 santim, AB 8 santim, DE eşittir AE.
Alan ABCD'yi bulunuz.
Şimdi siz bir dik yamuğun ya da siz bir yamuğun alanını nasıl bulursunuz?
Dostlar alt taban artı üst taban uzunluğu bölü 2 çarpı yükseklik.
Yamuğun yüksekliği derseniz alt tabanı biliyorum, üst tabanı biliyorum.
Ne kaldı?
Yükseklik kaldı.
Demek ki ben yüksekliği hesaplarsam alanı bulurum.
Demek ki buradaki tek amacım şu yüksekliği yani AD'yi bulmak.
AD uzunluğunu bulursam alan ABCD'yi hesaplarım.
Peki ben burada alanı buradaki AD uzunluğunu nasıl hesaplayacağım dostlar?
Şimdi size bir dik, iki dik, üç dik verdim.
Şimdi burada bu üç tane dik varsa açı özelliği biraz göze çarpıyor.
Dostlar biraz açıyla ilerlememiz gerekiyor gibi düşünüyorum.
Ne yapacağız dostlar?
Şurada gördüğünüz açıya a, burada gördüğünüz açıya b diyorum.
A artı b'nin 90 derece olduğu belli.
Üst tarafım dik D açım dik.
Tamam buraya geçiyorum.
B var, 90 derece var.
Kaldı o zaman buraya A açısı.
Çünkü A artı B artı 90'ın 180 derece olması lazım.
Tamamı A artı B 90 devam etmeli.
Burada A var 90 var.
Kaldı buraya B açım çok güzel.
Şimdi şurada DEC üçgeni ve altta EAB üçgenin iç açıları eşit iki tane üçgen oldu ve iç açıları eşit iki tane üçgen nedir?
Dostlar benzer üçgenlerdir.
Bu iki üçgen kesinlikle benzerdir.
Şimdi burada araştırmaya çalıştığım yer buralar.
O zaman x dedim bunlara.
Şimdi siz bu iki benzer üçgende oran yazabilir misiniz?
Yazarsınız tabii.
A açısının karşısındakiler bölü B açısının karşısındakiler yapıyorum dostlar.
Bu üçgende A'nın karşısı x birim, b'nin karşısı 4 birim.
Alttaki üçgene geçiyorum.
A'nın karşısı 8 birim, b'nin karşısı dostlar X birim.
İçler dışlar x Kare eşittir 32.
x o zaman dört kök iki etti galiba.
Tamam.
x'i hesapladım.
x hesaplandıysa bir yüksekliği hesapladım.
O zaman soru bitti.
Alan ABCD dediğim üst taban dört, alt taban sekiz.
Şöyle şuraya yazalım alan ABCD dediğim üst artı alt taban uzunluğu bölü iki çarpı yüksekliği.
Yükseklik dediğim iki tane x.
1 tanesi 4 kök 2 ise 2 tanesi sekiz kök iki etti yüksekliğim.
4 12 6 48 kök 2 santimetre demiştik.
Santimetre kare bizim alanımız oluyor dostlar.
Evet dostlar geçelim diğer sorumuza.
Şimdi ABCD bir ikizkenar yamuk dikkat edelim.
EF diktir AB.
Tamam şurayı verdik.
AD eşittir BC.
Tamam burada ikizkenar yamuğun özellikleri yan kenar uzunlukları birbirine eşit.
DE 8 birim, CE 4 birim, FB 14 birim, AF k birim ise C'yi bulalım.
Şimdi ikizkenar yamukun olması belirtilmesi çok güzel.
Bazı özellikleri vardı onu gösterelim.
Şimdi şimdi burada E'den F'den dik inmiş olalım böyle acayip bir yerden dik inmiş.
Ne yapalım bu soruda?
Dostlar burada üst tabanın köşelerinden siz de dik inin.
Şuradan D'den ve C'den dikleri ineceğim.
Buradan birinci dikimi indim.
İkinci dikimi iniyorum.
Şimdi burada şu K hepsiydi şöyle gösterelim.
AF uzunluğu k kadardı.
FB uzunluğu 14 kadar şurayı siliyorum.
Tamam bu indiğim yerlere de harfler verelim.
Burası P olsun, burası R olsun diyelim.
Tamam şimdi siz burası 4 ise burası 4 diyebilir misiniz?
Tabii ki de dördü yazdım.
FR uzunluğu 4.
Burası 8 ise burası 8 midir?
Evet 8'dir.
DE 8 ise PF 8.
Tamam.
Şimdi şuraya baktığım zaman FB arası 14.
Dördü çıkarırsam BR arası on kaldı.
Çok güzel AF arası k kadardı.
Burası 8 ise AP arası kaldı bana k eksi 8 çok güzel.
Şimdi ikizkenar özelliğini hiç kullanmadım, ikizkenar yamuk özelliğini hiç kullanmadım.
İkiz kenaryamukun özelliği neydi?
Dostlar ikizkenar yamukta bu tepenin köşelerinden, üst tabanın köşelerinden indiğiniz yüksekliklerin tabanda sağda ve solda ayırdıkları uzunlukları birbirlerine eşitti.
Yani AP eşittir BR olmalı dostlar.
Neden?
Çünkü bu bir ikizkenar yamuk dostlar.
Zaten burada gördüğünüz APD üçgeni ve RCB üçgeni eş üçgenlerdir.
Dostlar neden eş üçgenlerdir?
Siz buradaki açıya a kadar derseniz dostlar buradaki açıdan a olmaz mı?
İkizkenar yamuk çünkü doğru mu?
Taban açıları birbirlerine eşit, çok güzel.
Burada 90 derece var, çok güzel burada da var.
Burası 90 eksi a eder mi?
Burası da 90 eksi a eder mi?
Evet eder.
O zaman APD üçgeni ve CRB üçgenin iç açıları eşit.
A var, 90 var, 90 eksi a var.
İç açıları eşitse benzer.
Peki bir bakıyorum ikizkenar yamuk olduğu için 90 derecenin karşısı da burada aynı.
Bu üçgende de 90 derecenin karşısı aynı.
Hatta a'nın karşısı burada da yükseklik, a'nın karşısı burada da yükseklik.
O zaman kesinlikle bu üçgenler eştir.
O zaman diğer açının karşılıklı uzunlukları da eşittir.
Yani burada d köşesi neyi görüyor?
K eksi sekizi görüyorsa burada da aynı açının karşısı, yani 90 eksi a'nın karşısı da aynı uzunluğu görmeli.
Yani eksi 8 eşittir 10 yapıyoruz.
Dostlar k eksi 8 eşittir 10.
K eşittir 18 birim bulunur dostlar.
