İşlem konusu, hem TYT Matematik hem de AYT Matematik için önemli bir konu. Teknik olarak çok detaylı bir bilgi gerektirmese de, soruları daha kolay çözebilmen için pratik yapman şart. Aynı zamanda püf noktalarını da görmelisin. Bu özet yazımızda Matematik’te işlem konusu hakkında bilmen gerekenler ve işlem konusu örnek soruları yer alıyor. Umarız bu notlar sana yardımcı olur!
Bu konu anlatımı, Kunduz eğitmenlerimizden Halil Hoca tarafından hazırlandı. Halil Hoca, Balıkesir Üniversitesi mezunu. 19 yıllık öğretmen. ÖABT, TYT, AYT, DGS, KPSS konularının hepsini anlatmakta. Her seviyeden öğrenciye seviyesine göre ders anlatımı yapmakta. İçerik ürettiği sosyal medya hesapları ise:
Instagram: halilatakol
YouTube: halilatakol
İşlem Konu Anlatımı
A, B’nin alt kümesi ve boş olmayan bir küme olsun. Her AxA→B fonksiyonuna A üzerinde bir ikili işlem veya işlem denir. işlemler genellikle +,-,÷,×,⨂,⨁,⨀,∎,… gibi sembollerle gösterilir.
- AxA→B işlemi verildiğinde, her (x,y) ϵ AxA sıralı ikilisi B kümesinde bir elemana eşlenir.
Örneğin:
xΔy=2x+5y-3 işleminde 3Δ5’in değeri hesaplanırken x yerine 3 ve y yerine 5 yazılır. Yani; 3Δ5=2.3+5.5-3=6+25-3=28 olur.
Şimdi örneklerimize devam edelim:
xΔy=x+3y-x.y+1
biçiminde tanımlanan Δ işlemine göre, 4Δ5 işleminin sonucu kaçtır?
x yerine 4 ve y yerine 5 yazalım.
4Δ5=4+3.5-4.5+1=0
Örnek: Reel (Gerçel) sayılar kümesinde tanımlı ⨁ işlemi, √a⨁b3 =a.b+4 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, 3⨁8 işleminin sonucu kaçtır?
- burada a yerine 3 yazılmaz. Dikkat edilirse √a⨁b3 =3⨁8. Yani √a=3 olmalı buradan a yerine 9 yazılır. Aynı şekilde b3 =8 olmalıdır. Buradan b=2 olur. Yerine yazarsak √a⨁b3 =9.2+4=22 olur.
İşlem Özellikleri
İşlem Özellikleri, şu şekilde sıralanabilir:
- Kapalılık
- Değime
- Birleşme
- Birim (Etkisiz) Eleman
- Ters Eleman
- Dağılma
- Yutan Eleman
Kapalılık Özelliği – İşlemlerde Kapalılık Özelliği
A kümesi üzerinde bir Δ işlemi tanımlansın.
Δ :A x A dan A ya bir fonksiyon ise A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir. Bu durumda, Ɐx,y ϵ A için (x Δy) ϵ A olur. İşlem tablosu oluşturulduğunda tablodaki tüm elemanlar A ya ait ise A kümesi bu işleme göre kapalıdır. İşlem tablosunda A’ya ait olmayan eleman varsa, A kümesi bu işleme göre kapalı değildir.
- Örnek: A={1,2} kümesinde tanımlı çarpma işlemi kapalı değildir. Çünkü 2×2=4 işleminde 4 sayısı A’nın elemanı değildir. Aşağıdaki tabloda görebilirsin:
| x | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
- Örnek: Doğal sayılarda tanımlı xΔy=x-y işlemi kapalı mı inceleyelim.
- x=2 ve y=6 sayıları için (2 Δ 6)=2-6=-4 olur. İşlemin sonucu doğal sayı olmadığında kapalı değildir.
Değişme Özelliği – İşlemlerde Değişme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve Δ işlemi A da tanımlı bir işlem olsun. Eğer Ɐx,y ϵ A için x Δy=yΔx oluyorsa Δ işleminin değişme özelliği vardır.
İşlem tablosu oluşturulduğunda işlem tablosu köşegenine göre simetrik ise işlemin değişme özelliği vardır.
Örnek:
| Δ | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
Tabloyla tanımlanan Δ işlemi değişmelidir. Çünkü tablo, köşegene göre simetriktir.
Tam sayılar kümesinde tanımlanan x Δ y = x – y +5 işleminin değişme özelliği olup olmadığına bakalım.
Değişme özelliği olması için x Δ y= y Δ x olmalıdır.
x Δ y=x-y+5
y Δ x=y-x+5 İ
İki işlemin sonucu aynı olmadığından değişmeli değildir.
Örneğin 3 Δ 2=3-2+5=6 ile 2Δ3=2-3+5=4 eşit olmaz
Birleşme Özelliği – İşlemlerde Birleşme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve * işlemi A’da tanımlı bir işlem olsun.
Eğer Ɐa,b,c ϵ A için a*(b*c)=(a*b)*c oluyorsa işleminin birleşme özelliği vardır.
x Δ y=x-y işlemi birleşmeli midir?
Birleşme işlemi bulmak için üç sayı için kuralı incelememiz gerekmektedir.
örneğin 2,3,4 için deneyelim.
(2 Δ3) Δ4=2 Δ(3 Δ4) eşit mi inceleyelim
(2 Δ3) Δ4=(2-3) Δ 4=-1 Δ 4=-1-4=-5
2 Δ(3 Δ4)=2 Δ(3-4)=2 Δ(-1)=2-(-1)=3 ikisi de birbirine eşit olmadığından birleşme özelliği sağlanmaz
Birim (Etkisiz) Eleman – İşlemlerde Birim Eleman – İşlemlerde Etkisiz Eleman
A boş olmayan bir küme ve * işlemi A’da tanımlı bir işlem olsun. Eğer Ɐa ϵ A için a*e=a oluyorsa e ye * işleminin birim(etkisiz) elemanı denir.
Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Toplama işleminin birim elemanı 0’dır. Çarpma işleminin birim elemanı 1’dir.
Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz elemanı yoktur.
Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan x Δ y= x +y -7 işleminin etkisiz(birim) elemanını bulalım.
Δ işleminin değişme özelliği olduğu için x Δ e=x eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.
x Δ e=x+e-7=x buradan x+e-7=x olur.
X+e-7=x denkleminden e-7=0 olur ve e=7 bulunur
Ters Eleman Özelliği – İşlemlerde Ters Eleman Özelliği
* işleminin etkisiz elemanı e olsun. Eğer Ɐa ϵ A için a*b = b*a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a’nın tersi denir. a’nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir. bϵA ise, * işlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.
a*a–1 = a–1 *a = e dir.
Toplama işlemine göre a nın tersi (-a) olur
çarpma işlemine göre a nın tersi 1/a dır. (a sıfırdan farklı ise)
Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan x Δ y= x +y -7 işlemine göre 3’nin tersi kaçtır?
Önce birim eleman bulunmalıdır! x Δe=x eşitliğinden x+e-7=x olur.
birim eleman e=7 dir.
Dağılma Özelliği
Eğer Ɐa,b,c ϵ A için a*(bΔc)=(a*b)Δ(a*c) ise, * işleminin Δ işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
(aΔb) * c = (a * c)Δ(b * c) ise, * işleminin Δ işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
Yutan Eleman Özelliği
Eğer Ɐx ϵ A için xΔy = yΔx = y olacak biçimde bir y varsa y’ye Δ işleminin yutan elemanı denir. yϵA ise, Δ işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.
İşlem Konu Anlatımını Tamamladık!
Bu konuyu tam olarak anlamak için senin de tahmin edeceğin üzere bol bol soru çözümü yapmak da çok önemli. Çünkü tanımlar pek çok soru tipi içinde geçiyor. Bilgileri, tanımları ve önemli ipuçlarını öğrendikten sonra, soruların içinde nasıl yer aldığını görmen gerekli. Konu anlatımı yazılarımıza göz attıktan sonra, kendi kaynaklarına ek olarak MEB Kaynaklarını da incelemen faydalı olabilir.
Bu konu anlatım yazımızı hazırlayan Halil hocamız gibi pek çok eğitmenimiz Kunduz altyapısında online özel ders veriyor. Sen de Kunduz eğitmenlerinden online özel ders alarak çalışmalarını hızlandırabilirsin!
☀️☀️☀️
Her ders için değişmeyen kilit nokta bol bol soru çözümü ile pratik yapmak. Çözemediğin sorulara yanıt bulmak istiyorsan sınava hazırlık sürecinde Kunduz hep yanında! Profesyonel eğitmenler tarafından hazırlanan Soru Çözümü, binlerce soru ve çözümden oluşan Soru Bankası hizmetlerimizden faydalanabilirsin.
Uygulamada senin için hazırlanmış , tüm konuları öğrenebileceğin premium içerik ders videolarını incelemeyi unutma!