1. Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Yeni Nesil Sorular Bölüm 2

Merhaba arkadaşlar.
Eşitsizlik sistemleriyle ilgili yeni soru çeşitleri çözmeye başlayalım.
Örnek x ve y birer gerçek sayı olmak üzere x-y<2, x+y>=4 eşitsizliklerin sağlayan x,y sıralı ilgililerininanalitik düzlemde gösteriniz demiş.
Şimdi öncelikle x-y=2 gibi düşünelim.
x'e 0 verdim y'si -2, y'ye 0 verdim x'im 2.
Peki x ekseninde 2, y ekseninde -2'yi bulalım.
Peki burada küçüktür dediği için yani eşitlik olmadığı için bunu şöyle kesik kesik çizmeye başlayalım.
Peki hangi tarafı tarayacağımızı öğrenmek için ikisine de aynı anda sıfır verelim.
O halde sıfır küçüktür iki ,sıfır küçüktür iki olduğu için sıfır burada olduğu için bu eşitliği sağlayan yani sıfırın olduğu bölge taranacaktır.
Aynı şekilde x+y>=4 demiş x+y=4 gibi düşünelim x'e 0 verdim y'si 4..
Şöyle y ekseninde dördü bulduk.
Peki y'yei sıfır verdik -4.
y ekseninde şöyle dördü bulduk.
Peki burada eşitlik olduğu için şöyle düz bir şekilde çiziyoruz.
Peki burada da yine x ve y aynı anda sıfır verelim.
Sıfır büyük eşittir 4 sıfır büyük olmadığı için 4'ten şöyle sıfırın olmadığı bölge taranacak.
O halde bu ikisinin ortak çözüm kümesi şu şekilde olmuş oldu.
Peki şu tarafı taradık zaten diğer denklemde de -2 ve 2 doğrusundan geçen bölgede yukarıda tarandığı için ikisinin ortak kesişim olan bölgesi burasıdır.
Analitik düzlemde de bu şekilde göstermiş olduk.
Örnek x,y pozitif reel sayı olmak üzere x/2+y/3<=1, x/4+y/3<=1 eşitsizlik sistemini sağlayan bölgenin alanı kaç birim karedir?
Şimdi öncelikle bu eşitsizlik sisteminde 1.
eşitsizliğin grafiğini çizelim.
x/2+y/3<=1.
Burada küçük eşittir var.
Eşitlik varmış gibi düşünelim.
Eşittir 1.
Öncelikle grafiğini çizmek için x'e sıfır verdim.
y'si 3.
y'ye sıfır verdim.
x buradan iki gelmiş oldu.
Peki x ekseninde iki, y ekseninde üç olacak şekilde şöyle grafiğini çizdik.
Peki küçük eşittir var burada eşitlik olduğu için düz bir doğru şeklinde çizmiş oldum.
Peki nereyi tarayacağımızı bulabilmek için x ve y'ye aynı anda sıfır verdim.
Sıfır küçük eşittir 1 demiş.
Peki sıfır küçük müdür birden?
Evet.
Yani sıfır virgül sıfır noktasını sağladığı için.
Demek ki biz burada aşağı tarayacağız.
Peki aynı şekilde diğer eşitsizliğe bakalım.
x/4+y/3<=1.
Burada küçük eşittir var.
Eşittir bir diyelim.
Burada x'e 0 verdim.
y buradan üç gelmiş oldu.
y'ye sıfır verdim.
x de buradan 4 gelmiş oldu.
Yani dörde üç noktasından geçecek şekilde şöyle bir doğru çizmiş olduk.
Bunda da yine eşit dahillik var.
Dahillik olduğu için düz bir şekilde çizdim.
Bunda da yine x ve y ye aynı anda sıfır verelim.
Sıfır küçük eşittir bir.
Yine bu nokta salona sağlanıyor mu?
Sağlanıyor.
Yine bu da aşağı tarafı taranacak.
Peki bu iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi şimdi x,y burada pozitif reel sayım.
İksi de aşağı doğru tarandığı için ortak ikisinin kesişmiş olduğu bölge şöyle bir üçgendir.
Pozitif reel sayılar için tanımlı olan bölge.
O halde karşıma burada ne çıkmış oldu, bir dik üçgen çıkmış oldu.
Oluşan bana bölgenin alanını sormuş.
O halde alanı nasıl buluyoruz?
Taban çarpı yükseklik bölü iki.
Yani burada tabanım iki yüksekliği üç iki çarpı üç ikiden cevabımız 3 gelmiş oldu.
Örnek x,y reel sayı olmak üzere Iy-xI<=4, Iy+xI<=4 eşitsizliklerini sağlayan sıralı ikililerin analitik düzlemde oluşturduğu bölgenin alanı kaç birim karedir?
Şimdi öncelikle birinci verilen eşitsizlikte mutlaktan kurtaracak olursak -4<=y, -x<=4.
Şimdi burada iki ayrı denklemmiş gibi çözelim.
-4=y-x.
Önce buna bakalım.
x'e sıfır verdim.
x e sıfır verirsek y si -4.
y'ye 0 verdim x buradan ne geldi 4 gelmiş oldu.
Şimdi diğer denklemi yazacak olursak y-x=4.
Burada x'e 0 verdim.
y'si 4.
y'ye 0 verdim x -4 olmuş oldu.
Peki bu x ekseni ve y eksenini kesen noktaları bulduk.
Şimdi diğer eşitsizliğe bakacak olursak yine burada mutlaktan kurtaralım.
-4<=y+x<=4 yine iki ayrı denklemmiş gibi çözelim burada -4=y+x.
Yine burada da x'e 0 verdim.
y'si -4 y'ye sıfır verdim x'imiz -4.
Diğer denkleme bakacak olursak x+y=4.
Yine burada x'e 0 verdim.
y 4.
y'ye 0 verdim x'imiz 4 gelmiş oldu.
Şimdi bu 4 tane doğruyu çizelim.
Şöyle biri eksi dörde +4 x ekseninde 4 ve y ekseninde -4 olduğunu görüyoruz.
Burada da x ekseninde -4 ve y ekseninde +4 olduğunu görüyoruz.
Peki diğer doğruları çizecek olursak burada da yine x ekseninde (-4,4) olduğunu görüyoruz.
O halde eksi 4, eksi 4 noktasından şöyle çizelim.
Diğerinde de artı 4, artı 4 doğru olduğunu görüyoruz.
Peki bunu da aldık, şöyle çizdik karşımıza bir kare çıkmış oldu.
Bana bu oluşturduğu bölgenin alanını sormuş.
Peki burada oluşturduğu bölgenin alanı bulmak için köşegenlerin uzunlukları çarpıp 2'ye bölmemiz yeterli.
Köşegen uzunlukları eksi 4'ten artı dörde 8, yine eksi 4'ten artı 4'e, 8 8 çarpı 8 bölü iki yani 64 bölü 2'den cevabımız 32 gelmiş oluyor.