Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

Merhabalar arkadaşlar, şimdi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemleri inceleyeceğiz.
Bakalım a, b, c elemanıdır reel sayılar ve a ile b sıfırdan farklı olsunlar burada.
Çünkü sıfırdan farklı olmazlarsa buradaki x ve y değişkenlerimiz gider.
Biz bunları istemiyoruz.
İşte ax artı by artı c eşittir sıfır şeklindeki ifadelere biz x ve y değişkenlerine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem deriz.
Arkadaşlar bu denklemlerin kökleri x virgül y sıralı ikililerinden oluşur.
Yani biz bunların ikisini bulmayı göstereceğiz zaten.
Burada bulduğumuz x'leri biz sol tarafa yazacağız.
Yani birinci kısma.
Y'leri de ikinci kısma yazacağız.
Bunların sırasına dikkat edeceğiz.
Peki bunlar analitik düzlemde nasıllardır?
Bunlar analitik düzlemde doğrular belirtirler.
Yani bu şekilde düz çizgiler belirttiler.
Bu temsili olarak çizilmiş bir doğru farklı farklı olabilir.
Bunları zaten göreceğiz.
Bizim buradaki köklerimiz arkadaşlar bu doğru üstündeki bütün reel sayılardır.
Yani rastgele olarak şuradan seçtiğimiz bir nokta da bakınız o hem x'i vardır hem y'si vardır.
O da bu doğruyu denklemi sağlar.
Rastgele seçtiğimiz şuradaki nokta da aynı şekilde buradaki denklemi sağlar.
Yani bu doğru üstündeki tüm reel sayılardan bahsediyoruz biz burada.
Şimdi bakalım örneğine.
x ve y gerçel sayılar için 3x eksi 2y eşittir 12 denkleminin grafiğini çiziniz.
Şimdi bizim buradaki grafiği çizebilmemiz için 2 tane noktaya ihtiyacımız var.
O iki nokta da eksenleri kestiği noktalar olacak.
Eksenleri kestiği noktaları bulabilmek için ilk önce x'e 0 verilir y bulunur.
Daha sonra y sıfır verilir x bulunur ve daha sonra çizilir.
Şimdi ben ilk önce x'e 0 vermek istiyorum.
Bakınız x'e 0 verirseniz gider.
Yani sadece ne kalır?
Eksi 2y eşittir 12 kalır.
E her tarafı da eksi ikiye böldüğünüz takdirde y'yi eksi 6 olarak bulmuş olursunuz.
Yani eksi 6 noktasını kestiğini söyleriz y eksenini.
Aynı şekilde y'ye 0 verelim.
Sıfır verdiğiniz yere bakınız.
Bu gider.
3x eşittir 12 kalır.
x'in de buradan 4 olduğunu söylersiniz her tarafı üçe böldüğümüzde O zaman demek ki ben y ekseninde eksi 6'yı ve x ekseninde dördü belirleyip oradan çizgi çekeceğim.
Yani doğru çizeceğim.
x eşittir 4 takribi şuralarda bir yerlerde ve y eşittir eksi 6 da o da birazcık daha aşağıda olacak.
O da şurada bir yerde olacak.
Şimdi bu ikisini birleştiren doğruyu çiziyorum.
Bakınız bu şekilde yukarı doğru sonsuza kadar gider.
Bu da aynı şekilde aşağı doğru sonsuza gider ve bunun üstündeki tüm x virgül y sıralı ikililerinden oluşur.
Peki x ve y gerçel sayılar için 2x artı 5y eşittir 10 denkleminin grafiğini çiziniz demiş.
O zaman demek ki yine aynı şeyleri yapacağız.
İlk önce x'e 0 verelim, x'e sıfırı verirsek o zaman bunun y'si ne olacak?
2 olacak burada her tarafı beşe böldüğümüzde.
Y'ye 0 verelim.
Burada y'ye sıfır verirseniz de bakınız 2 eşittir ondan x eşittir 5 kalacaktır.
O zaman demek ki y'de 2, x'de 5'i belirleyip üstünden doğrumuzu çizeceğiz.
x eşittir 5 takribi şuralarda bir yerlerde, Y eşittir iki de o da burada bir yerde olacak ve daha sonra bunların ikisini birleştiren doğruyu çizeceğim şu şekilde.
Burası tabii birazcık daha da şuradan çizmeye çalışırsak belki daha güzel olacak.
Şöyle ikisinin de üstünden geçen ve sonsuza kadar giden doğrulardır bunlar ve bütün üstündeki bulunabilen bütün reel sayılar da burada bu denklemi sağlar.
Peki son örneğimiz.
Bir havuzda 160 litre su vardır.
Bir musluk bu havuzdan bir saatte 8 litre su boşaltmaktadır.
Buna göre havuzdaki suyun zamana bağlı değişimini gösteren denklemi bulup grafiğini çiziniz demiş.
Şimdi biz bir ilk önce bir görmeye çalışalım.
1 saatte 8 litre boşaltıyoruz ve 160 litre su var.
Şimdi o zaman demek ki 1 saatte oluşan su nedir, ne kadardır?
160'tan 8 çıkartırsak 152 litre su vardır.
Havuzda daha sonra 2 saatte olanına bakalım.
2 saatte ne olur?
O zaman 160'tan bu sefer 16'yı çıkartmamız gerekir.
Çünkü bu sefer 16 litre boşaltır.
160'tan 16'yı çıkarttığımızda da biz burada 144'ü buluruz.
Yani aslında 8 8 azaltacağız.
O zaman 3 saatte de bulalım ve daha sonra bunun denklemini oluşturmaya çalışalım.
Ne yapacağız?
Bu sefer 160'tan 3 tane 8 litreyi çarparak çıkartacağız.
Yani 3 kere 8'den 24 160'tan de 24'e çıkarttığımız takdirde o zaman biz burada 136'yı oluşturmuş oluruz.
O zaman demek ki biz bu şekilde devam ettirmiş olsak ve ben desem ki x saatte havuzdaki su miktarını nasıl bulalım?
x saatteki havuzdaki su miktarı.
O zaman ben havuzdaki su miktarına y diyecek olursam 160 zaten var bunun içinde.
Ve biz bunda ne yapıyoruz?
Her bir saatte 8 litre boşaltıyoruz.
O zaman x saatte de 8 çarpı x kadar boşaltır.
Bakınız bunun denklemi bu şekildedir.
Burada x'in yerine 1 2 3 yazarak içinde ne kadar havuzun içinde ne kadar su olduğunu bulabilirsiniz.
O zaman demek ki ben bunun denklemini şimdi çizmeye çalışacağım.
Burada ne yapacağız?
Yine aynı şekilde x'e 0, y'ye 0 vererek çözeceğiz.
x'e 0 verdiğimizi düşünelim.
x'e burada sıfır verdiğimizde ne oluyor?
y'si 160 oluyor.
y'si 160.
Burada y'ye sıfır verdiğimizi düşünelim.
y'ye sıfır verirseniz de bakınız eksi 8x'i bu tarafa aldığınızda 8 x eşittir 160'tan her tarafı sekize böldüğününüzde x'i de burada 20 olarak bulursunuz.
O zaman demek ki ben bu iki tane noktayı belirleyip çizdiğimde oluşturmuş olacağım.
Şimdi tabii burada 160'ı şurada belirlemiş olalım.
20 de şuralarda bir yerde olsun.
O zaman demek ki bu ikisini birleştirdiğimde havuzdaki suyun zamana bağlı değişimini ben çizmiş olurum.
Yani şuradan başlayacak ve burada bitmiş olacak.
Bu devam etmez arkadaşlar.
Yani buradan aşağı inmez ve buradan da yukarı gitmez.
Çünkü belirlenen burada iki tane sayı var.
160 içindeki havuzun içindeki su ve toplamda yirmi saatte de biter.
Bu şekilde söylemiş oluruz.