1. Dereceden Eşitsizlikler Yeni Nesil Sorular Bölüm 3

Merhaba arkadaşlar.
Konumuza gene örnekle devam edelim.
Örnek.
Ömer bir tarlanın alanını hesaplamak için dikdörtgen şeklindeki tarlanın kısa kenarını 2<=x<6 uzun kenarını da 11<y<=15 aralığında alarak hesaplıyor.
Bu tarlanın alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir demiş.
Şimdi dikdörtgen alanı bulunabilmek için kısa kenar ile uzun kenarı çıkartmamız gerekiyor.
O halde 2<=x<6 ile 11<y<=15 i çarpacağız?
Evet.
Eşitsizlikler ile çarpma yı nasıl yapıyoruz?
Uç noktaları tek tek çarpı iki ile 11'i çarptım.
22 ikili on beşi çarptım.
Otuz altı ila on biri çarptım.
Altmış altı altı ile on beşi çarptım doksan.
Burada en küçük ve en büyük olanı yazıyoruz.
O halde en küçük nedir?
Yirmi iki.
Burada 22 elde edebilmek için küçük eşittir ve küçüktür var.
O halde küçüktür olanı alıyoruz.
Yani dahil olmayanı yazıyoruz.
Peki burada xy doksanı nasıl buluyoruz?
Altı ile on beşi çarparak.
Buradan da aynı şekilde biri küçüktür, biri küçük eşittir.
Yine dahil olmayanı yazıyorum.
O halde benim cevabım 22 ile 90 aralığındadır.
Bakıyorum şıklara doksan beş olamaz.
22 burada dahil değil.
Doksan dokuz olamaz.
Doksan da burada dahil değil.
O halde 84 bu aralıkta olduğu için doğru cevabımız E şıkkıdır.
Örnek, yandaki şekilde ok yönünde gösterilen sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanmıştır.
Buna göre x kare -6xy + 9y kare işlemini sağlayan değer aralığını bulunuz.
Şimdi öncelikle x'in aralığına bakacak olursak -5 ile-2 aralığında, y'nin aralığı ise -2 ile 3 aralığındadır.
Şimdi bana x kare -6xy + 9y kareyi söylemiş.
O halde bu neyin açılımı?
x-3y nin parantez karesi açılımı yani bunun değer aralığını soruyor bana.
O halde burada x-3y var.
Önce verilen ifadeyi eksi 3'le çıkartalım.
O halde buradan -5<x<-2 diyelim.
Her tarafı -3 ile çarpacak olursak -9<-3y<6 olmuş oluyor.
Yer değişikliği yaptık.
Burada eksi ile çarpıp eşitsizlikle yer değiştirdik.
Şimdi bunu taraf tarafa toplayalım.
-14<x-3y<4.
Şimdi bana bunun karesinin değer aralığını sormuş.
O halde her tarafın şöyle karesini alacak olursak, burada eksi 14'ün karesi 196, dördün karesi 16.
Fakat bu aralıkta alabilecek en küçük değer bir de sıfır var.
O halde bunun aralığını şu şekilde yazacağız.
Sıfır olduğu için dahil olacak sıfır küçük eşittir x-3y'nin karesi küçüktür.
Burada en büyük değeri nedir?
Yüz doksan altıdır.
196'yı yazarız.
Demek ki x-3y'nin karesinin değer aralığı [0,196) olmuş oluyor.
Örnek m ve n birer tam sayı olmak üzere 1<=m<=3, -2<=n/m<=5 eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre eşitsizlikleri sağlayan kaç farklı m.n ikilisi vardır?
Şimdi burada m,n birer tam sayı olmak üzere dediği için burada m'nin alabileceği değerleri yazalım.
Önce m=1 için diyelim.
Burada bir ve üç dahil.
O halde aşağıda yerine yazalım.
-2<=n/1<=5.
Burada alabilecek tam sayı değerlerin nelerdir n'nin?
Eksi 2, eksi 1'den 5'e kadar.
Peki bu terim ssayısını nasıl buluyoruz?
Son terim eksi eksi ilk terim artı 1 diyebiliriz.
Çünkü artı bir dememin sebebi her ikisinde de dahillik var.
Buradan alabilecek değerlerim nedir?
5, 7, 8 8 tane farklı tam sayı değeri alabilir.
Şimdi m=2 için bakalım.
m=2 için diyelim.
Peki -2<=n/2<=5.
Buradan her iki tarafı içler dışlar yapacak olursak -4<=n<=10.
Yine buradan alabilecek kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Son terim eksi ilk terim artı birden 15 farklı tam sayı değeri mi almış olur?
Şimdi sıra m=3 için diyelim.
m=3 için.
Yine -2<=n/3<=5.
Yine buradan içler dışlar yapacak olursak -6<=n<=15.
Yine buradan son terim eksi ilk terim eksi 6 artı 1.
Buradan 21 artı 1'den 22 tane farklı tam sayı değeri alabilir.
Peki bunları toplayacak olursak 8 artı 15 artı 22den 30 45 yani 45 tane farklı m,n ikilisi vardır.
Cevabımız 45'tir.