Bu dersteki konumuz çemberlerin birbirlerine göre durumları.
İlk olarak içten teğet çemberlerle başlayalım. Şekilde gördüğünüz O1 ve O2 merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla r1 ve r2 olsun.
Bu küçük olan çember büyük çemberin içerisinde ve bu çemberler birbirlerine teğet olsunlar. Gördüğünüz teğet ne demek?
Yalnızca bir tane ortak noktaya sahip.
İsterseniz T diyelim o noktaya.
Tek bir tane ortak noktaları var ve bunlar birbirlerinin içine geçmiş şekilde duruyorlar.
O halde küçüğün yarıçapı r1 büyüğünki r2 ya, iki merkez arasındaki uzaklık O1 ve O2 mutlaka içerisinde gibi mutlak sembolüne benzeyen bir sembolle gösterilir, nasıl bulunur?
r2'den r1 çıkartılarak hesaplanır, sevgili gençler.
Peki bir de dıştan teğet çemberlerimiz var bizim.
Bunların yine ortak bir tanecik noktaları var.
T diyebiliriz onlara.
O1 ve O2 merkezli çemberlerin yine yarıçapları r1, r2 olsun sırasıyla.
Bu durumda O1 ve O2 arasındaki uzaklık bu sefer iki tane yarıçapın, r1 ve r2'nin toplanmasıyla hesaplanır. Burada önemli bir notumuz var.
AB, C noktasında birbirine teğet olan çemberlere yani bakın burada C noktasında iki tane birbirine teğet olan çember varmış, AB de bu C noktasında birbirine teğet olan çemberlere sırasıyla A ve B şu iki noktada teğet olmuş arkadaşlar.
Bakın bu durumda şu aradaki noktaya K diyelim, yani şöyle düşünün büyük olan çembere K noktasından KA ve KC teğetleri çizilmiş. Bu iki teğet birbirine eşittir biliyorsunuz. Çembere dışındaki bir noktadan 2 teğet çizilir ve çizilen bu 2 teğet uzunluğu birbirine eşittir. Yine bu sefer ters taraftan küçük çembere doğru bakın.
KB ve KC de küçük çemberi dışındaki noktadan çizilen iki tane teğettir.
Bunlar da birbirine eşittir.
Yani önemli bir sonuç elde ettik, arkadaşlar.
AK eşittir KB eşittir KC oldu ve siz burada AC ve BC birleştirirseniz yani ABC üçgeninin oluşturursanız muhteşem üçlü gereğince KC, AK, KB birbirine eşit olduğu için C köşesindeki ACB açısı 90° olur, sevgili gençler. Şimdi kesişen çemberlerle devam edelim.
Çemberler biliyorsunuz iki noktada kesişiyorlar.
Burada eğer kesiştikleri nokta mesela şuradaki üstteki noktaya A, alttaki noktaya B diyelim.
AO1O2 üçgenine bakınız lütfen.
Burada üçgen eşitsizliği gereğince O1O2 kenarının alabileceği değerler nedir?
Diğer iki kenarın toplamlarından küçük farklarının mutlak değerinden büyük olacaktı.
O halde alabileceği değerler nasıl yapıyoruz?
Sağ tarafı r1 artı r2 sol tarafa ise r1 eksi r2'nin mutlağını yazıyoruz ve işte size iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklığın alabileceği değerler, sevgili gençler.
Bir de bizim dik kesişen çemberlerimiz var.
Aslında kesişiyorlar ama nedir?
AO1 ve AO2 birleştirdiğimizde eğer aradaki açığı 90° oluyorsa ne diyeceğiz direkt Pisagor Teoremi'nden O1O2 merkezler arasındaki uzaklığın karesi eşittir r1'in karesi artı r2'nin karesi şeklinde. Burada gördüğünüz formüldeki gibi iki çemberin merkezi arasındaki uzaklık hesaplamış olacağız, değerli arkadaşlar.
Hemen vakit kaybetmeden ilk örneğimize başlayalım.
AB çemberlere A ve B noktalarında teğet, ABC açısı 40° olduğuna göre BAC açısı alfa kaç derecedir, diye sorulmuş.
Evet, az önce de ifade ettiğimiz gibi eğer siz bu C noktasından şöyle bir uzantı çekip buraya T noktası derseniz, ne demiştik?
AT eşittir CT eşittir TB olur ki bu durumda muhteşem üçlüden C köşesindeki açı 90° olur.
ABC üçgenin iç açıları toplamı yani alfa artı 40° artı 90°'yi 180°'ye eşitlerseniz şurası 130° yapacak 180 - 130'dan aradığımız alfa açısı 50° olarak bulunmuş olur, sevgili arkadaşlarım.
Geldik bir sonraki örneğimize yarıçapları oranı 1/3 olan iki çember yani biri r edersem diğerine 3r diyeceğim.
Farklı iki noktada kesişiyorlarmış.
Merkezler arasındaki uzaklık 10 birim.
10 birimlik merkezler arasındaki uzaklık hangi aralıkta değer alıyordu, arkadaşlar?
İkisinin toplamı, hani üçgen eşitsizliğinden demiştik ya, 3r artı r yani 4r ve ikisinin farkı mutlak değerce demiştik ama büyükten küçüğe çıkardığınızda 2r olarak direkt yazabilirsiniz, mutlak değeri bu durumda gerek olmaz.
Evet, ne diyor?
Küçük çemberin yarıçapını alabileceği en küçük değer?
Aslında r'yi soruyor ama en küçük değeri sorduğu için eşitsizliğin şöyle sağ tarafına bakıyorum.
Yani 10 küçüktür 4r, her tarafı 4'e böldüğümüzde 10/4 olmuş olacak orası. Yani şöyle yazayım isterseniz 10/4 eşittir 5/2 küçüktür r.
r dediğimiz aslında 5/2 (2 buçuktan) daha büyük bir değermiş.
Bize ne diyor?
En küçük tam sayı değeri kaçtır?
2 buçuktan daha büyük olan en küçük tam sayı 3tür.
Dolayısıyla küçük çemberin yarıçapını alabileceği en küçük tam sayı değeri sorumuz.
Şekildeki O1 merkezli yarıçapı r1 eşittir bize diyor ki KL arasındaki mesafe ne kadar?
Sevgili arkadaşlarım hemen şöyle yapacağım isterseniz bakın şu noktaya biz A noktası diyelim. Kesiştikleri noktalardan biri hemen A noktasıyla O2 noktasını birleştiriyorum.
Yarıçap olduğu için buraya 5 birim yazıyorum.
A noktasıyla O1'i de birleştiriyorum yine yarıçap olduğu için buraya aralarındaki açıya ve hemen şöyle diyeceğim çemberin merkezler arasındaki uzaklığın karesi. O1O2 arasındaki uzaklık 13 birimmiş.
Diyeceksiniz ki ne işimize yarayacak hocam?
Çok işimize yarar sevgili arkadaşlarım.
13 birimi buraya yazdım ve biliyorsunuz ki O1'den L'ye kadar 12 birim, neden?
Büyük çemberin yarıçapı orası.
Demek ki L'den O2'ye kadar olan uzaklık neymiş?
13 - 12 değil mi?
Ne bu?
L ile O2 arasındaki uzaklık O2'yle K'da küçük olan çemberin yarıçapı o da 5 olacak.
Yani aslında şöyle diyebilirsiniz siz, şuradan devam edeyim.
5 eşittir 1 artı neresi KL, değil mi?
Yani şu KL ile 1'i topladığımız da 5 etmiş olacak.
Oraya KL diyelim o halde aradığımız KL arasındaki uzaklık 5 eksi 1'den arkadaşlar.
Evet bu örneğimizde birlikte dersimizin daha sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki derste görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.
İçten teğet çemberlerin özellikleri nedir?
İçten teğet çemberler, bir noktada birbirlerine teğet olurlar ve adından da anlaşılacağı üzere içten teğettirler. Küçük çember, büyüğün içinde konumlanmıştır.
İki çemberin merkezi arasındaki mesafe, yarıçaplarının farkına eşit olur.
|O1O2| doğru parçasını uzattığımızda, teğete dik indirmiş oluruz.
Şekildeki çemberde,
|O1O2| = r2 - r1 olarak bulunur.
Dıştan teğet çemberler özellikleri nelerdir?
Dıştan teğet çemberler, bir noktada birbirlerine teğet olurlar ve adından da anlaşılacağı üzere dıştan teğettirler.
İki çemberin merkezi arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamına eşit olur.
|O1O2| doğru parçası, teğeti dik keser.
Şekildeki çemberde,
|O1O2| = r2 + r1 olarak bulunur.
Kesişen çemberlerin özellikleri nelerdir?
İki çember birbiriyle kesişiyorsa, iki çemberin arasındaki mesafeyi bulabilmek için üçgen eşitsizliği kuralları uygulanabilir.
Bu durumda,
|r1 - r2| < |O1O3| < r1 + r2 eşitsizliği doğrudur.
İki çember birbirleriyle dik kesişiyorsa, iki çember arasındaki mesafeyi bulabilmek için Pisagor teoremi kullanılabilir.
AO1 ile AO2 birbirine dik ise,
|O1O1|2 = r12 + r22 doğru olur.