Sevgili gençler, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz daire dilimlerinin arasında kalan alan. Şekilde gördüğünüz O merkezli bu iki tane daire dilimi var.
Her ikisinin merkezleri çakışık ve merkez açıları aynı.
Birisi oradaki CD yayına diğeri de AB yayına sahip.
O aralarında kalan taralı bölgenin alanı nasıl bulunur, bu dersimizde bunu öğreneceğiz.
Sevgili arkadaşlar, aslında yapmamız gereken şey şu gördüğünüz gibi büyük olan daire diliminin alanından küçük olan daire diliminin alanı çıkardığınızda, siz taralı bölgenin alanı bulmuş olursunuz. Bunun bir diğer pratik ve kısayolunu anlatacağım ben size.
Şöyle yapıyorsunuz hemen: diyorsunuz ki buradaki aslında yamuktaki alan formülüne benziyor, üstteki yayın uzunluğunu buluyorsunuz, bu en yayın uzunluğuyla alttaki yayın uzunluğunu CD ve AB uzunlukları topluyorsunuz, ikisinin yarıçapları farklı ile çarpıyorsunuz. Yani AC ya da BD uzunluğuyla çarpıyorsunuz, sonrasında bunu ikiye böldüğümüzde taralı bölgenin alanı bulmuş oluyorsunuz.
Şimdi burada yamukla benzerliği ne?
Yamukta da şöyle buluyorduk hatırlayın: alanı alt taban artı üst taban çarpı yükseklik bölü iki.
Yani baktığınızda aslında şekil olarak benziyor.
Üstteki yayla alttakini topluyorsun.
Bu sefer yükseklik dediğimiz şey ne?
Yamukta yükseklik dediğimiz şey burada yarıçaplar farkı.
Bunlar çarpıp sonrasında ikiye bölerek aradığınız taralı bölgenin alanını bulabilirsiniz. Dediğim gibi ya da büyükten küçüğe çıkaracağız, soru da bize hangisi daha kolay uygulanabilecek bir düzeyde ise o formülü tercih edeceğim, diyelim.
Bir başka formülle devam edeceğiz. Şimdi burada bir daire dilimi var aslında, gördüğünüz gibi O merkezli oradaki daireden bir AB yayına sahip bir dilim çıkarılıp alınmış ama onun tamamının alanı istemiyor, oradaki bakın beyaz bölge ayırıp, şuradaki OAB üçgenini ayırıp sadece taralı bölgenin alanı nasıl bulunur, diye soruyor bize.
Ne yapacağız?
Şöyle yapacağız arkadaşlar: pi rkare çarpı alfa/360.
Zaten şu ilk verdiğimiz kısım oradaki daire diliminin alanı.
Bu daire diliminin alanından kimi çıkaracağım?
Beyaz bölge yani ABO üçgenin alanını çıkarırsam benden istediği taralı bölgenin alanı bulmuş olurum, sevgili gençler.
Evet şimdi hemen bu bilgilerin ışığında sorularımıza bakalım. Şekildeki dairelerin ortak merkezi O noktasıymış, AB yayının uzunluğu var, CD yayının uzunluğu var, çemberlerin yarıçapları farkı da elimizde var ve tarla alan soruyor bize.
Çok çok basit bir soru, değil mi, formülü bildikten sonra gerçekten. Üstteki yay 12, alttaki yay 16 santimmiş, sevgili arkadaşlar.
Ne diyeceğim bu sefer?
Çarpı yükseklikleri diyorduk yamukta, burada yüksekliğe benzettiğim şey neydi?
Yarıçaplar farkı onu da 2 santim vermiş zaten.
Bir de nesi vardı?
Bölü 2'si vardı.
2'ler kısaldı, arkadaşlar.
Dolayısıyla şu ikisini topladığımızda 28 santimetrekare olarak aradığımız o taralı bölgenin alanı, yani 2 daire diliminin arasında kalan yeri, bulmuş oluruz diyelim.
Sıradaki sorumuza geçelim. Şekildeki O merkezli dairenin yarıçapı 5 birimmiş bakın hemen buralara beşer birim yazdım.
r, r dedik ve hipotenüs de r kök 2 yani 5 kök 2 olacak, AB uzunluğu.
Yayı da bulalım bakalım lazım olacak mı, zannetmiyorum, dursun.
Taralı bölgenin alanını istiyor.
Ne yapacağım?
Hemen daire diliminin alanını bulalım pi çarpı r'in karesi yani 5'in karesi çarpı alfa/360 kullanabilirsiniz ya da hocam ben onun gördüm 1/4 olduğunu hemen dörde bölelim, çeyrek çember, çünkü merkez arası sadeleştirin de bakın 4 gelecek.
Yalnız bir eksisi var bunun ne eksisi var?
Oradaki OAB üçgenin alanı fazlalık, arkadaşlar, onu çıkarmamız lazım.
Ne yapacağız?
Dik üçgenin alanı bulurken (bölü 2) şeklinde de hesaplamış olacağız. Ne yapalım?
Hemen isterseniz burada bir payda eşitleyelim.
Sağ tarafın pay ve paydasını ikiyle genişleteceğim.
Ortak paydalı oldular.
Yukarıda orayı.
Bakın ilk kısımdan pi gelecek eksi burada için 2 gelecek.
25 parantezinde (pi eksi 2)/4 birim kare olarak aradığımız o taralı bölgenin alanı hesaplanmış olur, sevgili arkadaşlarım. Gelelim sıradaki sorumuza.
Şekilde O merkezli çeyrek daire içine bakın yine dörtte birlik bir daire var, OCDE dikdörtgenin çizilmiştir. OE 6, OC 8 birim olduğuna göre taralı alan kaç birim karedir diye, bize sorulmuş.
Evet şimdi ne yapacağız burada?
Hemen yarıçapı bulmamız lazım.
Yarıçap bunu neresidir?
gördüğünüz gibi şöyle OD'yi birleştirirsem bu bir yarıçaptır ve OE uzunluğu 6'ysa DC uzunluğu 6 birim dikdörtgen olduğu için.
Ne var burada?
Şuraya r dersem r'nin karesi eşittir 6'nın karesi artı 8'in karesi, görenler hızlıca söylediler bile zaten.
"6 - 8 - artı 36 topladım kök içine aldım karekök 100 o da arkadaşlar.
Şimdi taralı alanı söylerken orada dörtte birlik bir daire var herkes bunu kabul ediyor zaten.
Pi çarpı r üzeri 2 bölü (çeyrek olduğu için) 4'e böleriz bunu böyle.
Tamam güzel ama istemediğimiz ne var?
Beyaz bölge.
O beyaz bölge ne?
Dikdörtgen.
Dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Kısa kenarıyla uzun kenarı çarpılarak bulunur, elbette ki arkadaşlar. Evet burada ne olur?
Hemen 10'un karesi 100 dörde böldüm 25 yapar.
Pi ile çarptım 25pi - (6 kere 8) 48 olarak yazalım şöyle.
Parantez içine alalım birim karemizi de ekleyelim, arkadaşlar.
25pi - 48 birim kare olarak taralı bölgenin alanı hesaplanmış oldu diyelim.
Bu soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki derste görüşmek üzere, hoşçakalın.
Bu dersteki konumuz daire dilimlerinin arasında kalan alan. Şekilde gördüğünüz O merkezli bu iki tane daire dilimi var.
Her ikisinin merkezleri çakışık ve merkez açıları aynı.
Birisi oradaki CD yayına diğeri de AB yayına sahip.
O aralarında kalan taralı bölgenin alanı nasıl bulunur, bu dersimizde bunu öğreneceğiz.
Sevgili arkadaşlar, aslında yapmamız gereken şey şu gördüğünüz gibi büyük olan daire diliminin alanından küçük olan daire diliminin alanı çıkardığınızda, siz taralı bölgenin alanı bulmuş olursunuz. Bunun bir diğer pratik ve kısayolunu anlatacağım ben size.
Şöyle yapıyorsunuz hemen: diyorsunuz ki buradaki aslında yamuktaki alan formülüne benziyor, üstteki yayın uzunluğunu buluyorsunuz, bu en yayın uzunluğuyla alttaki yayın uzunluğunu CD ve AB uzunlukları topluyorsunuz, ikisinin yarıçapları farklı ile çarpıyorsunuz. Yani AC ya da BD uzunluğuyla çarpıyorsunuz, sonrasında bunu ikiye böldüğümüzde taralı bölgenin alanı bulmuş oluyorsunuz.
Şimdi burada yamukla benzerliği ne?
Yamukta da şöyle buluyorduk hatırlayın: alanı alt taban artı üst taban çarpı yükseklik bölü iki.
Yani baktığınızda aslında şekil olarak benziyor.
Üstteki yayla alttakini topluyorsun.
Bu sefer yükseklik dediğimiz şey ne?
Yamukta yükseklik dediğimiz şey burada yarıçaplar farkı.
Bunlar çarpıp sonrasında ikiye bölerek aradığınız taralı bölgenin alanını bulabilirsiniz. Dediğim gibi ya da büyükten küçüğe çıkaracağız, soru da bize hangisi daha kolay uygulanabilecek bir düzeyde ise o formülü tercih edeceğim, diyelim.
Bir başka formülle devam edeceğiz. Şimdi burada bir daire dilimi var aslında, gördüğünüz gibi O merkezli oradaki daireden bir AB yayına sahip bir dilim çıkarılıp alınmış ama onun tamamının alanı istemiyor, oradaki bakın beyaz bölge ayırıp, şuradaki OAB üçgenini ayırıp sadece taralı bölgenin alanı nasıl bulunur, diye soruyor bize.
Ne yapacağız?
Şöyle yapacağız arkadaşlar: pi rkare çarpı alfa/360.
Zaten şu ilk verdiğimiz kısım oradaki daire diliminin alanı.
Bu daire diliminin alanından kimi çıkaracağım?
Beyaz bölge yani ABO üçgenin alanını çıkarırsam benden istediği taralı bölgenin alanı bulmuş olurum, sevgili gençler.
Evet şimdi hemen bu bilgilerin ışığında sorularımıza bakalım. Şekildeki dairelerin ortak merkezi O noktasıymış, AB yayının uzunluğu var, CD yayının uzunluğu var, çemberlerin yarıçapları farkı da elimizde var ve tarla alan soruyor bize.
Çok çok basit bir soru, değil mi, formülü bildikten sonra gerçekten. Üstteki yay 12, alttaki yay 16 santimmiş, sevgili arkadaşlar.
Ne diyeceğim bu sefer?
Çarpı yükseklikleri diyorduk yamukta, burada yüksekliğe benzettiğim şey neydi?
Yarıçaplar farkı onu da 2 santim vermiş zaten.
Bir de nesi vardı?
Bölü 2'si vardı.
2'ler kısaldı, arkadaşlar.
Dolayısıyla şu ikisini topladığımızda 28 santimetrekare olarak aradığımız o taralı bölgenin alanı, yani 2 daire diliminin arasında kalan yeri, bulmuş oluruz diyelim.
Sıradaki sorumuza geçelim. Şekildeki O merkezli dairenin yarıçapı 5 birimmiş bakın hemen buralara beşer birim yazdım.
r, r dedik ve hipotenüs de r kök 2 yani 5 kök 2 olacak, AB uzunluğu.
Yayı da bulalım bakalım lazım olacak mı, zannetmiyorum, dursun.
Taralı bölgenin alanını istiyor.
Ne yapacağım?
Hemen daire diliminin alanını bulalım pi çarpı r'in karesi yani 5'in karesi çarpı alfa/360 kullanabilirsiniz ya da hocam ben onun gördüm 1/4 olduğunu hemen dörde bölelim, çeyrek çember, çünkü merkez arası sadeleştirin de bakın 4 gelecek.
Yalnız bir eksisi var bunun ne eksisi var?
Oradaki OAB üçgenin alanı fazlalık, arkadaşlar, onu çıkarmamız lazım.
Ne yapacağız?
Dik üçgenin alanı bulurken (bölü 2) şeklinde de hesaplamış olacağız. Ne yapalım?
Hemen isterseniz burada bir payda eşitleyelim.
Sağ tarafın pay ve paydasını ikiyle genişleteceğim.
Ortak paydalı oldular.
Yukarıda orayı.
Bakın ilk kısımdan pi gelecek eksi burada için 2 gelecek.
25 parantezinde (pi eksi 2)/4 birim kare olarak aradığımız o taralı bölgenin alanı hesaplanmış olur, sevgili arkadaşlarım. Gelelim sıradaki sorumuza.
Şekilde O merkezli çeyrek daire içine bakın yine dörtte birlik bir daire var, OCDE dikdörtgenin çizilmiştir. OE 6, OC 8 birim olduğuna göre taralı alan kaç birim karedir diye, bize sorulmuş.
Evet şimdi ne yapacağız burada?
Hemen yarıçapı bulmamız lazım.
Yarıçap bunu neresidir?
gördüğünüz gibi şöyle OD'yi birleştirirsem bu bir yarıçaptır ve OE uzunluğu 6'ysa DC uzunluğu 6 birim dikdörtgen olduğu için.
Ne var burada?
Şuraya r dersem r'nin karesi eşittir 6'nın karesi artı 8'in karesi, görenler hızlıca söylediler bile zaten.
"6 - 8 - artı 36 topladım kök içine aldım karekök 100 o da arkadaşlar.
Şimdi taralı alanı söylerken orada dörtte birlik bir daire var herkes bunu kabul ediyor zaten.
Pi çarpı r üzeri 2 bölü (çeyrek olduğu için) 4'e böleriz bunu böyle.
Tamam güzel ama istemediğimiz ne var?
Beyaz bölge.
O beyaz bölge ne?
Dikdörtgen.
Dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Kısa kenarıyla uzun kenarı çarpılarak bulunur, elbette ki arkadaşlar. Evet burada ne olur?
Hemen 10'un karesi 100 dörde böldüm 25 yapar.
Pi ile çarptım 25pi - (6 kere 8) 48 olarak yazalım şöyle.
Parantez içine alalım birim karemizi de ekleyelim, arkadaşlar.
25pi - 48 birim kare olarak taralı bölgenin alanı hesaplanmış oldu diyelim.
Bu soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki derste görüşmek üzere, hoşçakalın.
Sıkça Sorulan Sorular
Daire dilimlerinin arasında kalan alan nasıl bulunur?
Daire dilimlerinin arasında kalan alanı bulmak için büyük olan daire diliminin alanından küçük olan daire diliminin alanı çıkartılır.
Bir diğer hesaplama yolu ise üstteki yay uzunluğu ile alttaki yay uzunluğunun daire yarıçaplarının farkı ile çarpılması ve ikiye bölünmesi olarak bilinir.
Taralı alan =
Not: Daire sorularında, şekildeki gibi bir parçanın alanı sorulursa daire diliminin alanından üçgenin alanı çıkarılır.
Taralı alan = - AOB üçgen alanı