Sevgili gençler herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz dairenin alanı.
Daireyi biliyorsunuz nedir?
Çemberin aslında içinin dolu halidir.
Örneğin şekilde bakın o merkezli bir çember diye ifade ediyorduk.
Bunu şu şekilde bunun içinin dolu haline biz daire diyeceğiz ve yarıçapı r birim olan bu dairenin alanını pi r kare formülüyle hesaplayacağız.
Yani şekilde görmüş olduğunuz dairenin alanı pi çarpı r üssü 2 formülüyle hesaplanır.
Şimdi gelelim daire diliminin alanına.
Bu aslında bizim çember parçasının uzunluğu.
Yani çemberin çevresini öğrendikten sonra oradaki parça uzunluğunu bulmuştuk.
Bu da aynısı aslında.
Buradaki daire diliminin alanı da sevgili arkadaşlar yine pi r kare formülüyle dairenin tamamının alanı bulunur.
Buradaki taralı alan yani oradaki pizza dilimine benzeyen kısım merkez açısı alfa olan yerin alanı çarpı alfa bölü 360 derece yine formülle hesaplanır.
Mantık aynı pi r kare tamamıydı.
360 dereceye böldiğümüzde 1 derecelik kısma ne kadarlık bir alan düştüğünü bulduk.
Bizim merkez açmamız alfa olduğu için bunu da alfa ile çarparak toplam alanı yani o şekildeki taralı alanı hesaplamış olduk.
Sevgili gençler diyelim hemen örneklere geçelim isterseniz.
Yarıçapı 5 santim r eşittir 5 santim imiş olan dairenin alanı ne kadardır?
diye soruyor.
Alan formülümüzü hemen yazıyoruz.
Basit bir uygulama sorusu.
Pi çarpı r kare yani 5 üssü 2'den 25 pi santimetre kare olarak değerli arkadaşlar alanımız hesaplanmış olur.
Diyelim sıradaki sorumuzla devam edelim.
Çevresi 24 pi olan dairenin alanı kaç santimetre karedir diye sorulmuş.
Çevremiz formülü hemen geçmiş bilgilerimizi tazeleyip iki çarpı pi çarpı R idi.
Size bunu 24 pi ye eşitlerseniz burada bir şeyler kısalır.
2 r eşittir 24'ten r eşittir 12 santimetre gelir ve alan formülüne geçiyorum.
Artık alan neydi?
pi çarpı R üssü 2 yani pi çarpı 12'nin karesinden alanımız 144 pi santimetre kare olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar geldik bir sonraki sorumuz.
Şu şekildeki o merkezli çemberde bakarsanız AB uzunluğu on iki kök üç verilmiş.
Yani şurası arkadaşlar neymiş 12 kök üçmüş.
Bakınız böylece olduğuna göre o merkezi dairenin alanı ne kadar diye bize soruyor.
Hemen AO'nun ve OB'nin yarıçap olduğunu bildiğim için r r yazdım.
onlara.
120, 30, 30 üçgeni mi olacak burası?
Evet.
Ne yaptım?
180'den 120'yi çıkardım 60 derece.
Ve ikiye böldüm bunları.
30'ar derece oldu.
Oradaki ikizkenar üçgenin hangi açıları bunlar?
A ve B üstüne yazmayayım isterseniz şekil çok fazla karışmasın.
Onlar 30'ar derece 120 30 30 üçgenin özelliği ne?
30'ların karşısı r r ise 120'nin karşısı r kök 3 oluyordu.
Dolayısıyla R kök 3'ü siz eğer 12 kök 3'e eşitlerseniz burada kök 3'ler yine kısalacaktır.
R eşittir 12 birim olarak bulunur.
Ne bu?
Çemberin yarıçapı bize diyor ki o merkezi dairenin alanı yani tüm alanı istiyor yine.
Neydi formül?
Pi çarpı r üssü 2 yani pi çarpı 12'nin karesinden yüz kırk dört.
Sevgili gençler.
Birim kare olarak yine şekildeki o merkezi dairenin alanını bulmuş oluruz dedik.
Sıradaki sorumuza geldik.
Diyor ki ABC açısı otuz derece.
Ve AC eşittir 16 birim olduğuna göre o merkezli dairenin alanı kaç birim karedir diye soruyor.
Evet, yapacağımız şey gayet basit.
Bunlardan daha önce de yaptık.
B açısı burada bir çevre açıdır.
Dolayısıyla karşısında onun gördüğü yay 30 derecenin iki katından 60 derece olur ve hemen gidip AO'yu sonrasında da OC'yi birleştiriyoruz.
Bakın burada bir merkez açı elde ettim.
Merkez açı neydi?
Gördüğü yayın ölçüsüne eşitti.
Dolayısıyla burası 60 derece.
Şimdi AO'nun OC'ye eşit olduğunu da biliyorum.
Burada bir ikizkenar üçgen var ama şimdi üçgenin iç açıları toplam 180 derece olacak.
60 dereceyi çıkarıyorum.
Tepe açısına 120 derece kaldı toplamalarına diğer eşit olan iki açıların.
Hangi açılar onlar?
Bakın biri A diğeri C köşesindeki yani OAC ve ACO açıları 120 derece.
Bunu gidiyorum hemen ikiye bölüyor, 60'ar derece olarak buluyorum.
Diğer açılara da bakınız.
Bu ne demek?
AOC üçgeni eşkenar üçgen demek.
Demek ki OC de 16, o da 16.
AC'yi zaten 16 vermişti.
Yani önemli bir şey bulduk.
Aslında R eşittir on altı birimmiş.
Bize neyi soruyor?
Sevgili arkadaşlar, buradaki o merkezli dairenin alanı.
Hemen yine ne yapıyoruz?
Alan formülünü yazıyoruz.
Neydi alan formülü?
Pi çarpı R üssü 2.
R dediğimiz 16.
16'nın karesi.
Buradan aradığımız alan 256 pi birim kare olarak hesaplanmış olur.
Sevgili gençler diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olalım.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz dairenin alanı.
Daireyi biliyorsunuz nedir?
Çemberin aslında içinin dolu halidir.
Örneğin şekilde bakın o merkezli bir çember diye ifade ediyorduk.
Bunu şu şekilde bunun içinin dolu haline biz daire diyeceğiz ve yarıçapı r birim olan bu dairenin alanını pi r kare formülüyle hesaplayacağız.
Yani şekilde görmüş olduğunuz dairenin alanı pi çarpı r üssü 2 formülüyle hesaplanır.
Şimdi gelelim daire diliminin alanına.
Bu aslında bizim çember parçasının uzunluğu.
Yani çemberin çevresini öğrendikten sonra oradaki parça uzunluğunu bulmuştuk.
Bu da aynısı aslında.
Buradaki daire diliminin alanı da sevgili arkadaşlar yine pi r kare formülüyle dairenin tamamının alanı bulunur.
Buradaki taralı alan yani oradaki pizza dilimine benzeyen kısım merkez açısı alfa olan yerin alanı çarpı alfa bölü 360 derece yine formülle hesaplanır.
Mantık aynı pi r kare tamamıydı.
360 dereceye böldiğümüzde 1 derecelik kısma ne kadarlık bir alan düştüğünü bulduk.
Bizim merkez açmamız alfa olduğu için bunu da alfa ile çarparak toplam alanı yani o şekildeki taralı alanı hesaplamış olduk.
Sevgili gençler diyelim hemen örneklere geçelim isterseniz.
Yarıçapı 5 santim r eşittir 5 santim imiş olan dairenin alanı ne kadardır?
diye soruyor.
Alan formülümüzü hemen yazıyoruz.
Basit bir uygulama sorusu.
Pi çarpı r kare yani 5 üssü 2'den 25 pi santimetre kare olarak değerli arkadaşlar alanımız hesaplanmış olur.
Diyelim sıradaki sorumuzla devam edelim.
Çevresi 24 pi olan dairenin alanı kaç santimetre karedir diye sorulmuş.
Çevremiz formülü hemen geçmiş bilgilerimizi tazeleyip iki çarpı pi çarpı R idi.
Size bunu 24 pi ye eşitlerseniz burada bir şeyler kısalır.
2 r eşittir 24'ten r eşittir 12 santimetre gelir ve alan formülüne geçiyorum.
Artık alan neydi?
pi çarpı R üssü 2 yani pi çarpı 12'nin karesinden alanımız 144 pi santimetre kare olarak bulunmuş olur.
Sevgili arkadaşlar geldik bir sonraki sorumuz.
Şu şekildeki o merkezli çemberde bakarsanız AB uzunluğu on iki kök üç verilmiş.
Yani şurası arkadaşlar neymiş 12 kök üçmüş.
Bakınız böylece olduğuna göre o merkezi dairenin alanı ne kadar diye bize soruyor.
Hemen AO'nun ve OB'nin yarıçap olduğunu bildiğim için r r yazdım.
onlara.
120, 30, 30 üçgeni mi olacak burası?
Evet.
Ne yaptım?
180'den 120'yi çıkardım 60 derece.
Ve ikiye böldüm bunları.
30'ar derece oldu.
Oradaki ikizkenar üçgenin hangi açıları bunlar?
A ve B üstüne yazmayayım isterseniz şekil çok fazla karışmasın.
Onlar 30'ar derece 120 30 30 üçgenin özelliği ne?
30'ların karşısı r r ise 120'nin karşısı r kök 3 oluyordu.
Dolayısıyla R kök 3'ü siz eğer 12 kök 3'e eşitlerseniz burada kök 3'ler yine kısalacaktır.
R eşittir 12 birim olarak bulunur.
Ne bu?
Çemberin yarıçapı bize diyor ki o merkezi dairenin alanı yani tüm alanı istiyor yine.
Neydi formül?
Pi çarpı r üssü 2 yani pi çarpı 12'nin karesinden yüz kırk dört.
Sevgili gençler.
Birim kare olarak yine şekildeki o merkezi dairenin alanını bulmuş oluruz dedik.
Sıradaki sorumuza geldik.
Diyor ki ABC açısı otuz derece.
Ve AC eşittir 16 birim olduğuna göre o merkezli dairenin alanı kaç birim karedir diye soruyor.
Evet, yapacağımız şey gayet basit.
Bunlardan daha önce de yaptık.
B açısı burada bir çevre açıdır.
Dolayısıyla karşısında onun gördüğü yay 30 derecenin iki katından 60 derece olur ve hemen gidip AO'yu sonrasında da OC'yi birleştiriyoruz.
Bakın burada bir merkez açı elde ettim.
Merkez açı neydi?
Gördüğü yayın ölçüsüne eşitti.
Dolayısıyla burası 60 derece.
Şimdi AO'nun OC'ye eşit olduğunu da biliyorum.
Burada bir ikizkenar üçgen var ama şimdi üçgenin iç açıları toplam 180 derece olacak.
60 dereceyi çıkarıyorum.
Tepe açısına 120 derece kaldı toplamalarına diğer eşit olan iki açıların.
Hangi açılar onlar?
Bakın biri A diğeri C köşesindeki yani OAC ve ACO açıları 120 derece.
Bunu gidiyorum hemen ikiye bölüyor, 60'ar derece olarak buluyorum.
Diğer açılara da bakınız.
Bu ne demek?
AOC üçgeni eşkenar üçgen demek.
Demek ki OC de 16, o da 16.
AC'yi zaten 16 vermişti.
Yani önemli bir şey bulduk.
Aslında R eşittir on altı birimmiş.
Bize neyi soruyor?
Sevgili arkadaşlar, buradaki o merkezli dairenin alanı.
Hemen yine ne yapıyoruz?
Alan formülünü yazıyoruz.
Neydi alan formülü?
Pi çarpı R üssü 2.
R dediğimiz 16.
16'nın karesi.
Buradan aradığımız alan 256 pi birim kare olarak hesaplanmış olur.
Sevgili gençler diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olalım.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular
Daire nedir?
Daire, bir çemberin içinde kalan düzlem parçasıdır.
Dairenin içi boş mu?
Hayır, daire içi dolu olan çemberdir.
Dairenin alanı nasıl bulunur?
Yarıçapı r birim olan dairenin alanı πr2 formülüyle bulunur.
Çember ve daire sorularında dairenin yüzey alanı ifadesi çıkarsa dairenin yüzey alanını da yine πr2 formülünden yararlanarak bulabilirsin.
Dairenin alanı formülü = πr2
Daire diliminin alanı nasıl bulunur?
Merkez açının ölçüsünün dairenin iç açıları toplamı olan 360°’ye oranı ile merkez açının gördüğü daire diliminin alanının dairenin alanına oranı birbirine eşittir.
O merkezli ve r yarıçaplı bir çember verilsin.
Aşağıdaki şekle göre,
Daire diliminin alanı = 
Çevre uzunluğu 48 santim olan dairenin alanı kaç santimetrekaredir? (π = 3)
Daire çevresi hesaplama için çevre uzunluğu formülü = 2πr ise
2πr = 2.3.r = 48 eşitliğini yazalım.
r = 8 olur.
Daire alanı nasıl hesaplanır artık biliyoruz.
πr2 = π.82 = 3.64 = 192 cm2 olarak bulunur.
