Merhabalar arkadaşlar şimdi örnekleri inceleyelim.
x ve y elemanıdır reel sayılar olmak üzere -2 küçük eşittir x, küçük eşittir 5 ve y artı 3x artı 4 eşittir 0 veriliyor.
Buna göre y'nin alabileceği değer aralığını bulunuz.
Şimdi bakınız bir eşitsizlik var, bir de eşitlik var burada.
Yani bir denklem var.
Ve y ile x birbirlerine bağlanmış.
Şimdi xin aralığı verilmiş ve y'nin aralığı soruluyor.
Şimdi o zaman demek ki burada iki farklı şekilde çözebiliriz bunu.
Bununla alakalı bir örnek daha var.
İlk örneğimizde ben y'yi yalnız bırakarak çözeceğim bunu.
Diğer örneğimizde de bu sefer farklı türlü çözmüş olacağız.
Şimdi şöyle y'yi burada yalnız bırakalım.
Yani 3x eksi 4'ü karşı taraf alalım.
Şöyle bir şey olmaz mı?
y eşittir -3x artı 4.
Şimdi bakınız y artık -3x artı 4 oldu.
O zaman demek ki ben burada verilen aralıkta -3x artı dördü elde derim.
Ve daha sonra onun yerine y koyarak y'nin aralığını bulmuş olurum.
Şimdi peki -3x artı 4'ü elde edelim.
O zaman bu eşitlikte eksi 3x artı 4'ü elde edebilmek için ilk olarak eksi 3x'tir, eksi 3'le çarpmamız lazım her tarafı.
Eksi 3 ile çarptım.
Eşitsizlik yön değiştirdi.
Eksi 6 değil tabi orası normal 6 olacak.
Daha sonra yön değiştirdi.
Eksi 3x oldu, yine yön değiştirdi ve eksi 15 oldu.
Daha sonra ne yapmam lazım?
Artı 4 eklemem lazım her tarafa, 4 ekledim.
10 büyük eşittir eksi 3x artı 4 büyük eşittir 4 eklediğimde eksi 11 oluyor.
Bakınız eksi 3 eksi artı 4'ü elde ettim ya bu y'ye eşit olduğu için direk olarak buraya y'yi yazabilirim ve y'nin aralığını oluşturmuş olurum.
Bakınız direk olarak yerine yazdım ve oluşturdum.
O zaman y'nin alabileceği değer aralığında biz nasıl yazmış oluruz?
Eksi 11'den ne olacak burada?
Tabii köşeli parantez kullanacağız.
Eski 11'den 10'a kadar olmuş olacak.
Burada ne yaptık y'yi yalnız bıraktık ve sağ tarafta oluşturulan ifadeyi ben aralıkta hallettim ve daha sonra yerine yazarak buldum.
Peki bu örneğimizde ne yapacağız?
Şimdi elemanları reel sayılar olmak üzere alan aralığı verilmiş.
2a eksi 3b 9 olduğuna göre b'nin değer aralığı soruluyor.
Şimdi burada da bu sefer a'yı yalnız bırakacağım.
Yani buradaki ifadeyi yalnız bırakacağım, isteneni sağ tarafta oluşturacağım.
Yani şöyle eksi 3b'yi karşı tarafa aldım.
Ne olmuş oldu?
2a eşittir 3b artı 9 olmuş oldu ve her taraf ikiye bölersem de a eşittir 3b artı 9 bölü 2 olmuş oldu.
Şimdi işte bakınız bu sefer a burada var zaten direk olarak ben onun yerine 3b artı 9 bölü 2 yazarım.
Ve b'ye kadar eşitsizliği hallederim, yazıyorum.
Eksi 5 bölü 2 daha sonra a gördüm, 3b artı 9 bölü 2 yazdım ve daha sonra orada küçük eşittir 3 var.
Bunu önceki soruda da yapabilirsiniz.
Yani hangisini yalnız bırakmanız size kalmış.
Şimdi b'yi bulmam lazım.
Her taraf ikiyle çarpıyorum.
Pozitif olduğu için bir sıkıntı yok.
Burası 3b ve artı 9.
Burası da 6 olacak.
Her taraftan 9 çıkartıyorum.
O zaman burası eksi 14.
Daha sonra burası 3b.
Burası da 9 çıkartırsa ne olacak?
Eksi 3 olmuş olacak.
Her tarafı da 3'e bölüyorum.
Burası eksi 14 bölü 3.
Daha sonra bvar.
Burası da eksi 1 oldu.
O zaman demek ki b'nin alabileceği değer aralığını da bu şekilde oluşturmuş olduk.
Biz burada b'yi yalnız bırakıp a cinsinden yazıp buradaki aralığı da düzenleyebilirdik.
Ama aynı şey gelecektir zaten sıkıntı yok.
O zaman demek ki bunu ne yapacağız?
Eksi 14 bölü 3, şöyle yazacağız, eksi 14 bölü 3 daha sonra eksi bir, burada da köşeli parantez kullanılmış olacak.
Peki farklı bir örneğimiz.
Şimdi burada başka bir durumdan bahsedeceğiz.
x eksi 2 ile 4 aralığında, y de 7 eksi 1 ile 5 aralığında eksi 1 dahil.
Buna göre 5x eksi 3y'nin, yani bu ifadenin, en büyük değeri x ve y reel sayı iken, bir de x ile y tam sayı iken bulunuz diyor.
Şimdi ilk önce reel sayı iken biz bunu nasıl bulacağız?
Buradaki ifadeyi aralığın içinde görmemiz lazım reel sayı iken.
Çünkü aralığın içinde görmezsek eğer aradaki bazı sayıları kaybedebiliriz.
O yüzden aralığın içinde görmeye çalışıyoruz.
O yüzden her tarafı ilk önce 5 ile çarpıyorum ben burada 5x'i elde etmek için.
5 ile çarparsam eksi 10, burası 5x burası da 20 oldu.
Burayı da eksi 3 ile çarpıyorum ve eksi 3'le ilk önce burada çarpıyım daha sonra bunun altına yazarım.
Eksi 3 ile çarparsam burası 3 olur.
Eşitsizlik yön değiştirir.
Eksi 3y şurası da eksi 15 olur.
Daha sonra bunu eşitsizliklerin yönlerini koruyarak yazacağım.
Yani eksi 15'i buraya alacağım.
Şöyle biraz daha düzgün yazalım.
Daha sonra eksi 3y olacak, daha sonra küçük eşittir 3 olacak.
Bununla bu aynı şeyler zaten.
Şimdi artık bunlar alt alta toplarsak elde edebilirim.
Topladım burayı eksi 25 yaptı.
Bunlar zaten küçüktür olarak gelecek.
5x eksi 3y olacak burası, 5x eksi 3'e.
Daha sonra eşitlik var yok o zaman demek ki burası olmayacak.
Yani topladığımızda da 23'ü elde etmiş olacağız.
Bakınız bu şekilde oluşturduğumda ben burada en büyüklerini 23'ten küçük olan 22'yi bulmuş oluyorum.
Şimdi tam sayı iken direk olarak sayı seçerek devam edeceğim.
Yani aralıkları oluşturmayacak.
Şimdi 5x eksi 3 y'nin en büyük olabilmesi için o zaman demek ki buradan x'in en büyük olması lazım, y'nin de en küçük olması lazım.
Çünkü eksi var burada.
Artı olsaydı y'yi de en büyük seçerdim.
Peki x'i en büyük ne seçebiliyorum burada, 3.
y'yi en küçük seçebiliyorum burada, eksi 1.
Yerine yazıyorum bakınız 5 çarpı 3 eksi 3 çarpı y'nin yerine de eksi 1 yazdım.
Burası 15 geldi, burası da artı 3 geldi.
O zaman bunları toplamlarından bakınız burada da 18 elde etmiş olurum.
Reel sayı ve tam sayı iken cevaplar farklı çıkacaktır.
Çünkü reel sayı iken bizim bu aralığı oluşturmamız lazım.
Aradaki virgül ünlü sayılar da beraber toplandığı için burada daha da büyük değer geleceği kesin olmuş oluyor.
Evet, şimdi son örneğimize bakalım.
a ve b elemanları reel sayılar olmak üzere a'nın aralığı verilmiş eksi 5 ve 7 diye, b'nin aralığı verilmiş eksi 2 ile 5.
Buna göre 3a artı 2b ve eksi 5 ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulunuz.
Bakınız a'lar ve b'ler reel sayı olduğu için ben direk olarak istenilen ifadeyi aralıkta görmeliyim.
O zaman demek ki bu ifadeyi oluşturacağım.
Bakınız 3a isteniyor.
O zaman bu eşitsizliği 3 ile çarptım takdirde eksi 15 küçüktür 3a küçüktür 21 elde diyorum.
Daha son 2b istendiği için buradaki alttaki eşitsizliği ikiyle çarpıp yorum eksi 4, 2b ve buradan 10 elde diyorum.
Ve bunları arkadaşlar şu an taraf tarafa topluyorum.
Daha sonra eksi beşe bakacağız.
Bakınız topladığımızda burası eksi 19 olur.
Daha sonra küçüktür var her ikisinde de 3a artı 2b oldu.
Daha sonra 21 ile de 10 toplandığında burada 31 elde ediliyor.
Şimdi ne yapmam lazım?
Orta tarafa eksi 5 gerekiyor.
O zaman her tarafa eksi 5 ekliyorum.
Buraya eksi 5 eklediğimizde eksi 24, daha sonra orta taraf istediğimiz ifade oldu artık, 3a artı 2b eksi 5 oldu.
Daha sonra burası da eksi 5 eklendiğinde arkadaşlar ,yani 31 den 5 çıkartacağız burada, 26 yapar.
Evet 26'ya beş eklediğimizde 31 yapıyor.
Şimdi o zaman demek ki bunu elde ettik.
Şimdi işte artık bu ifadenin en büyük ve en küçük bulabiliriz.
Bakınız en büyük değer için ne yapacağız?
26'dan bir küçüğünü alacağız.
Yani 26'dan bir küçüğü olan en büyük değeri 25 olur.
En küçük değer içinde eksi 24'ten bir tane büyüğünü alacağız.
Çünkü bu saatten sonra tam sayı istiyoruz biz o zaman demek ki eksi 24'ten de bir tane büyük olanda eksi 23 olmuş olacak.
O zaman demek ki en büyük ve en küçük değerleri oluşturmuş olduk.
x ve y elemanıdır reel sayılar olmak üzere -2 küçük eşittir x, küçük eşittir 5 ve y artı 3x artı 4 eşittir 0 veriliyor.
Buna göre y'nin alabileceği değer aralığını bulunuz.
Şimdi bakınız bir eşitsizlik var, bir de eşitlik var burada.
Yani bir denklem var.
Ve y ile x birbirlerine bağlanmış.
Şimdi xin aralığı verilmiş ve y'nin aralığı soruluyor.
Şimdi o zaman demek ki burada iki farklı şekilde çözebiliriz bunu.
Bununla alakalı bir örnek daha var.
İlk örneğimizde ben y'yi yalnız bırakarak çözeceğim bunu.
Diğer örneğimizde de bu sefer farklı türlü çözmüş olacağız.
Şimdi şöyle y'yi burada yalnız bırakalım.
Yani 3x eksi 4'ü karşı taraf alalım.
Şöyle bir şey olmaz mı?
y eşittir -3x artı 4.
Şimdi bakınız y artık -3x artı 4 oldu.
O zaman demek ki ben burada verilen aralıkta -3x artı dördü elde derim.
Ve daha sonra onun yerine y koyarak y'nin aralığını bulmuş olurum.
Şimdi peki -3x artı 4'ü elde edelim.
O zaman bu eşitlikte eksi 3x artı 4'ü elde edebilmek için ilk olarak eksi 3x'tir, eksi 3'le çarpmamız lazım her tarafı.
Eksi 3 ile çarptım.
Eşitsizlik yön değiştirdi.
Eksi 6 değil tabi orası normal 6 olacak.
Daha sonra yön değiştirdi.
Eksi 3x oldu, yine yön değiştirdi ve eksi 15 oldu.
Daha sonra ne yapmam lazım?
Artı 4 eklemem lazım her tarafa, 4 ekledim.
10 büyük eşittir eksi 3x artı 4 büyük eşittir 4 eklediğimde eksi 11 oluyor.
Bakınız eksi 3 eksi artı 4'ü elde ettim ya bu y'ye eşit olduğu için direk olarak buraya y'yi yazabilirim ve y'nin aralığını oluşturmuş olurum.
Bakınız direk olarak yerine yazdım ve oluşturdum.
O zaman y'nin alabileceği değer aralığında biz nasıl yazmış oluruz?
Eksi 11'den ne olacak burada?
Tabii köşeli parantez kullanacağız.
Eski 11'den 10'a kadar olmuş olacak.
Burada ne yaptık y'yi yalnız bıraktık ve sağ tarafta oluşturulan ifadeyi ben aralıkta hallettim ve daha sonra yerine yazarak buldum.
Peki bu örneğimizde ne yapacağız?
Şimdi elemanları reel sayılar olmak üzere alan aralığı verilmiş.
2a eksi 3b 9 olduğuna göre b'nin değer aralığı soruluyor.
Şimdi burada da bu sefer a'yı yalnız bırakacağım.
Yani buradaki ifadeyi yalnız bırakacağım, isteneni sağ tarafta oluşturacağım.
Yani şöyle eksi 3b'yi karşı tarafa aldım.
Ne olmuş oldu?
2a eşittir 3b artı 9 olmuş oldu ve her taraf ikiye bölersem de a eşittir 3b artı 9 bölü 2 olmuş oldu.
Şimdi işte bakınız bu sefer a burada var zaten direk olarak ben onun yerine 3b artı 9 bölü 2 yazarım.
Ve b'ye kadar eşitsizliği hallederim, yazıyorum.
Eksi 5 bölü 2 daha sonra a gördüm, 3b artı 9 bölü 2 yazdım ve daha sonra orada küçük eşittir 3 var.
Bunu önceki soruda da yapabilirsiniz.
Yani hangisini yalnız bırakmanız size kalmış.
Şimdi b'yi bulmam lazım.
Her taraf ikiyle çarpıyorum.
Pozitif olduğu için bir sıkıntı yok.
Burası 3b ve artı 9.
Burası da 6 olacak.
Her taraftan 9 çıkartıyorum.
O zaman burası eksi 14.
Daha sonra burası 3b.
Burası da 9 çıkartırsa ne olacak?
Eksi 3 olmuş olacak.
Her tarafı da 3'e bölüyorum.
Burası eksi 14 bölü 3.
Daha sonra bvar.
Burası da eksi 1 oldu.
O zaman demek ki b'nin alabileceği değer aralığını da bu şekilde oluşturmuş olduk.
Biz burada b'yi yalnız bırakıp a cinsinden yazıp buradaki aralığı da düzenleyebilirdik.
Ama aynı şey gelecektir zaten sıkıntı yok.
O zaman demek ki bunu ne yapacağız?
Eksi 14 bölü 3, şöyle yazacağız, eksi 14 bölü 3 daha sonra eksi bir, burada da köşeli parantez kullanılmış olacak.
Peki farklı bir örneğimiz.
Şimdi burada başka bir durumdan bahsedeceğiz.
x eksi 2 ile 4 aralığında, y de 7 eksi 1 ile 5 aralığında eksi 1 dahil.
Buna göre 5x eksi 3y'nin, yani bu ifadenin, en büyük değeri x ve y reel sayı iken, bir de x ile y tam sayı iken bulunuz diyor.
Şimdi ilk önce reel sayı iken biz bunu nasıl bulacağız?
Buradaki ifadeyi aralığın içinde görmemiz lazım reel sayı iken.
Çünkü aralığın içinde görmezsek eğer aradaki bazı sayıları kaybedebiliriz.
O yüzden aralığın içinde görmeye çalışıyoruz.
O yüzden her tarafı ilk önce 5 ile çarpıyorum ben burada 5x'i elde etmek için.
5 ile çarparsam eksi 10, burası 5x burası da 20 oldu.
Burayı da eksi 3 ile çarpıyorum ve eksi 3'le ilk önce burada çarpıyım daha sonra bunun altına yazarım.
Eksi 3 ile çarparsam burası 3 olur.
Eşitsizlik yön değiştirir.
Eksi 3y şurası da eksi 15 olur.
Daha sonra bunu eşitsizliklerin yönlerini koruyarak yazacağım.
Yani eksi 15'i buraya alacağım.
Şöyle biraz daha düzgün yazalım.
Daha sonra eksi 3y olacak, daha sonra küçük eşittir 3 olacak.
Bununla bu aynı şeyler zaten.
Şimdi artık bunlar alt alta toplarsak elde edebilirim.
Topladım burayı eksi 25 yaptı.
Bunlar zaten küçüktür olarak gelecek.
5x eksi 3y olacak burası, 5x eksi 3'e.
Daha sonra eşitlik var yok o zaman demek ki burası olmayacak.
Yani topladığımızda da 23'ü elde etmiş olacağız.
Bakınız bu şekilde oluşturduğumda ben burada en büyüklerini 23'ten küçük olan 22'yi bulmuş oluyorum.
Şimdi tam sayı iken direk olarak sayı seçerek devam edeceğim.
Yani aralıkları oluşturmayacak.
Şimdi 5x eksi 3 y'nin en büyük olabilmesi için o zaman demek ki buradan x'in en büyük olması lazım, y'nin de en küçük olması lazım.
Çünkü eksi var burada.
Artı olsaydı y'yi de en büyük seçerdim.
Peki x'i en büyük ne seçebiliyorum burada, 3.
y'yi en küçük seçebiliyorum burada, eksi 1.
Yerine yazıyorum bakınız 5 çarpı 3 eksi 3 çarpı y'nin yerine de eksi 1 yazdım.
Burası 15 geldi, burası da artı 3 geldi.
O zaman bunları toplamlarından bakınız burada da 18 elde etmiş olurum.
Reel sayı ve tam sayı iken cevaplar farklı çıkacaktır.
Çünkü reel sayı iken bizim bu aralığı oluşturmamız lazım.
Aradaki virgül ünlü sayılar da beraber toplandığı için burada daha da büyük değer geleceği kesin olmuş oluyor.
Evet, şimdi son örneğimize bakalım.
a ve b elemanları reel sayılar olmak üzere a'nın aralığı verilmiş eksi 5 ve 7 diye, b'nin aralığı verilmiş eksi 2 ile 5.
Buna göre 3a artı 2b ve eksi 5 ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulunuz.
Bakınız a'lar ve b'ler reel sayı olduğu için ben direk olarak istenilen ifadeyi aralıkta görmeliyim.
O zaman demek ki bu ifadeyi oluşturacağım.
Bakınız 3a isteniyor.
O zaman bu eşitsizliği 3 ile çarptım takdirde eksi 15 küçüktür 3a küçüktür 21 elde diyorum.
Daha son 2b istendiği için buradaki alttaki eşitsizliği ikiyle çarpıp yorum eksi 4, 2b ve buradan 10 elde diyorum.
Ve bunları arkadaşlar şu an taraf tarafa topluyorum.
Daha sonra eksi beşe bakacağız.
Bakınız topladığımızda burası eksi 19 olur.
Daha sonra küçüktür var her ikisinde de 3a artı 2b oldu.
Daha sonra 21 ile de 10 toplandığında burada 31 elde ediliyor.
Şimdi ne yapmam lazım?
Orta tarafa eksi 5 gerekiyor.
O zaman her tarafa eksi 5 ekliyorum.
Buraya eksi 5 eklediğimizde eksi 24, daha sonra orta taraf istediğimiz ifade oldu artık, 3a artı 2b eksi 5 oldu.
Daha sonra burası da eksi 5 eklendiğinde arkadaşlar ,yani 31 den 5 çıkartacağız burada, 26 yapar.
Evet 26'ya beş eklediğimizde 31 yapıyor.
Şimdi o zaman demek ki bunu elde ettik.
Şimdi işte artık bu ifadenin en büyük ve en küçük bulabiliriz.
Bakınız en büyük değer için ne yapacağız?
26'dan bir küçüğünü alacağız.
Yani 26'dan bir küçüğü olan en büyük değeri 25 olur.
En küçük değer içinde eksi 24'ten bir tane büyüğünü alacağız.
Çünkü bu saatten sonra tam sayı istiyoruz biz o zaman demek ki eksi 24'ten de bir tane büyük olanda eksi 23 olmuş olacak.
O zaman demek ki en büyük ve en küçük değerleri oluşturmuş olduk.
