Kare Özellikleri

Merhabalar Kare konusunu anlatıyoruz.
Dörtgendir tabii ama özel bir dörtgendir, o yüzden anlatıyoruz sizlere.
Şimdi kare dediğimiz kenar uzunlukları eşit, açıları dik olan dörtgene diyoruz.
Şimdi burada söylediğim gibi kenar uzunlukları eşittir, köşegen uzunlukları eşittir.
Bir kenara a dersem bir tane köşegenin uzunluğu da a kök 2 olmaktadır.
Şimdi bu sadece Pisagor oradan gelmektedir.
Yani buraya a deyip şu gördüğünüz şu gördüğünüz üçgende bir Pisagor yaparsam köşegen uzunluğunu a kök 2 buluyorum.
Köşegenler birbirlerini dik kesiyorlar, birbirlerini ortalıyor.
Yani burası önemli.
Köşegenler birbirleriyle eşit zaten.
Ve bunlar birbirlerini ortalıyorlar.
Aynı zamanda da dik kesişiyorlar.
Soru tarzları bakımından önemli köşegenler açı ortaydır.
Burası da önemli.
Bir köşegen çizerseniz 90 derece eşit verecek şekilde 45, 45, 45, 45'e böleceksiniz.
Bir kenar uzunluğu a kadar ise çevre 4 a.
Karenin alanı da a'nın karesi olacaktır.
Yani bir kenar uzunluğunun karesi size alanı verecektir.
Arkadaşlar şimdi köşegenlerin kesişim noktası nedir peki?
Özel bir noktadır bu köşegenlerin kesişim noktası.
Hem ağırlık merkezi, hem iç teğet çemberinin merkezi yani.
R yarıçapı ile gösterdiğim çember.
Hem de çevrel çemberin merkezidir bu.
r yarıçapına sahip çemberden bahsediyoruz.
Şimdi burada R uzunluğu nedir diye yola çıkarsak eğer, r uzunluğu bir kenar uzunluğunun yarısıdır.
R neydi?
İç teğet çemberin yarıçapı.
Büyük r dediğim şey de çevrel çemberin yarıçapıdır.
Bu çevrel çemberin çemberin yarıçapı nasıl hesaplıyoruz?
Bir kenar uzunluğunu kök 2 bölü ikiyle çarpıyoruz.
Yani şimdi burada buradan da şuraya dik iniyorum, buradan da şuraya dik iniyorum.
Şimdi bunlar teğet olduğu için buralar r r.
Tamam.
Burası a burası a bölü 2 pardon bir kenar uzunluğuna a demiştik.
İşte o yüzden bir kenar uzunluğunun yarısı burada gördüğünüz eşitliği sağlıyor.
İç teğet çemberin yarıçapı kenar uzunluğunun yarısına eşit.
Burada gördüğünüz Pisagorda aynı uzunluk a kök iki burası r eşittir a kök iki burası, a kök 2'nin kök iki katı da r'yi veriyor.
Kök 2 bölü 2 de buradan gelmektedir.
Sadece arkadaşlar sadece bunu göstermek istedim.
Mesela bunu bir de alan eşittir u çarpı r ile hesaplayalım.
Bir karenin alanı acaba bu formülle nasıl hesapladık işlemi yapmak istiyorum.
Karenin çevresi belli, çevre eşittir 4 tane kenar uzunluğu.
4 tane a.
o zaman u dediğim şeye nasıl geçiş yapacağım?
Çevre bölü 2 yani 4a bölü 2'den 2a.
Şimdi alan dediğim bu çarpı r.
Bu dediğim şey 2a.
R'ye ne dedim?
Kenar bölü iki bir kenar uzunluğu a kadarsa a bölü iki dediğim şey işte çemberin yarıçapı yani r.
İşte bu ikisinin çarpımı alan ediyor mu bakalım.
Şu iki şu iki götürür a çarpı a eşittir a kare.
İşte düzgün dörtgende de bu u'lu formülü yine göstermiş olduk.
Karede alanı tekrar bir şeyle üstünden geçelim, gördüğünüz gibi bir dik kenar uzunluğunu biliyorsanız kenar uzunluğunun karesi kaldı.
Karenin alanını vermekte aynı zamanda dörtgen konusunda da gösterdiğim gibi köşegen ile de çözebilirsiniz.
Nedir?
Aslında kare için basit bir kural tabii ki de köşegenlerin uzunluklarının çarpımı.
O zaman köşegenler eşit olduğu için bir köşenin uzunluğunun karesi çarpı aradaki açının sinüsü bölü iki.
Aradaki açının 90 derece olduğunu biliyorum.
Sinüs 90'ın da bir olduğunu biliyorum.
O yüzden yazmıyoruz.
Yani köşegenlerin karesinin yarısı bize alanı veriyor.
Köşegen kenarın kökü iki katıydı.
A Kök 2'nin karesi iki a kare eder.
2 a kare, 2 de a kare eder.
Bu kadar.
Şimdi burada birkaç alan özelliği daha gösterelim.
Üçgende köşegenlerin çizilmesi ile ya da bazı doğru parçaların çizilmesini alan paylaşımını göstermek istiyorum.
Bir köşegeni çizerseniz alanı eşit iki parçaya bölersiniz, iki köşegen çizerseniz alanı dört tane eşit alana bölersiniz.
Üçüncüde göstermek istediğim şey de altta iki tane nokta seçtiniz ve üstte kenar üzerinde bir nokta seçtiğiniz birleştirdiniz.
Oluşan bu sarı alan karenin alanının yarısı eder.
İşte bu siyah alanların toplamı yani x artı y sarı alana eşit olmak zorundadır.
Şuna geçelim şimdi buradan kareyi verdim, köşegeni çizdim.
Dedim ki AC köşegendir tamam, bu köşegen üzerinde bir nokta aldım.
Dedim ki m noktası ve bu m noktasıyla diğer köşegen üzerine köşesindeki B ve D noktalarını birleştirirsek.
B C köşelerini birleştirirsek işte burada birleştirirsek MB eşittir MD olmalı.
Bu köşegen üzerinde aldığınız her noktanın diğer köşeye uzaklıkları eşittir.
İsterseniz buraya alıp buraya K değil.
K zaten demişiz buraya F diyelim.
Bu uzunluk da şu uzunluğa eşit olmalıdır.
Bu açı da şu açı eşit olmalıdır.
Çünkü aslında şurada gördüğünüz yerde bir ikiz kenarlık var.
Burası yükseklik neden yükseklik?
Çünkü köşegenlerin kesişimi kesinlikle dik olduğunu biliyorum.
Şurası şuraya eşit, neden eşit?
Çünkü köşegenler birbirini ortalıyor.
Bu inen dik kenarortay olmuş.
Bu kesinlikle bir ikizkenar özelliğidir.
O zaman burası buraya eşittir.
O zaman inen dik, inen kenarortay aynı zamanda açıortaydır.
Tamamıyla üçgen kuralı anlatıyoruz aslında ama bilmek, bilmek bana soru tarzlarında yardımcı olacaktır.
Mesela bir soruda size şurayı verir ama burayı vermeyebilir.
Yani burayı ben çizerek soru tarzında ilerleyebilirim.
Bir ikizkenarlık yaratarak açı üzerinden ya da uzunluk üzerinden ilerleyebilir.
Şimdi son olarak şöyle bir dikkat çekmek istediğim bir yer vardı karede üçgen sorularına dikkat ediniz.
Üçgende benzerlik ya da eşlik sıklıkla sorulabilecek bir sorudur.
Dikkat edelim şimdi burada gördüğünüz gibi bu solda gösterdiğim şekilde iç açıları eşit olan üçgenler yaratıyoruz.
İşte burada benzerlik yaratıyor.
Neden A var, B var, 90 var.
Bu üçgeni geçiyorum.
A var, B var, 90 var, iki tane iç açıları eşit üçgenden bahsediyorum.
Bunlar kesin benzerdir.
Sonra bakıyorum ki 90'ın karşısı karenin bir kenarı.
Burayı geçiyorum 90'ı karşısı.
Karenin bir kenarı artık benzer olmaktan çıkıp eş oluyor bu üçgenler.
İşte bu soru tarzlarına dikkat edelim.
Yani burada bir üçgen çizdikten sonra şunu mesela soru verir a, b 90 diye siz ekleyeceksiniz.
Yani bu açıları, harfleri vereceksiniz.
Bu köşenin 90 derece olduğunu biliyorum.
O yüzden bu b'yi ben yazıyorum.
Aslında buraya geçiyorum.
B var şu köşeden şu gördüğünüz uzunluğa bir dikme iniyorum.
İşte burada B var, 90'ı da yarattık.
Bu kalan açı da A oldu.
Bu üçgenin karşısı ve bu üçgenin karşısı eşit uzunluğu gördüğü için eş üçgenler yaratmış oluyoruz.
Bazı soru tarzlarında yardımcı olacaktır mesela bunu.
Karenin dışında verirse ne yapacağız?
Yani sadece şurayı verdiğini düşününüz.
A var B var.
Bu harfleri biz veriyoruz.
A açısı B açısı olsun diyorum.
O zaman a artı b eşittir 90 derece oluyor.
Tamam işte burada şu gördüğünüz kısa kenarı uzatın ya da isterseniz burayı uzatın.
Hiç fark etmeyecek a var.
Burası 90 oldu a artı b 90 ise buraya kalan açı b kadar oldu.
Şimdi burada B açısını yarattım da a artı b ile işlemim var.
A, B 90 yaratmak lazım.
O yüzden şu uzantıya şu köşeden bir dikme iniyoruz.
Burasını dikme yaparsan B var 90 var işte burada bir açısı yaratmış oluyoruz.
Bu üçgen ve bu üçgen benzer oldu ilk önce.
Çünkü iç açıları eşit.
Sonra bir bakıyorum ki bu açı da karenin bir kenarı, yani buradaki 90 derece de karenin bir kenarını görüyor.
Buradaki 90 derece de karenin bir kenarını görüyor.
O zaman bu iki yıldızlı üçgen şurada gösterdiğim kesinlikle eştir.
Bu da eştir.
Burada da aynı şekilde işlem yaptık çünkü.
İşte o zaman burada eşlik varsa diyeceğim ki a'nın karşısı burada ne ise şu iki çentik koymayalım.
Bir çentik.
A'nın karşısı burada ne ise burada da odur, burada da odur.
B'nin karşısı burada ne ise burada da odur.
Burada da b'nin karşısı aynı uzunluğa sahiptir demeliyim.