Merhabalar arkadaşlar, şimdi EBOB-EKOK ile alakalı soru çözümü yapalım.
a, b, c elemanları doğal sayılar olmak üzere A sayısı eşittir 6a+3 aynı eşittir 8b+5 ve aynı eşittir 9c+6 bunların hepsi birbirlerine eşit olduğuna göre en küçük A doğal sayısı kaçtır?
şimdi bizim buradaki A sayısının en küçük değerini bulabilmemiz için aslında burada a, b, ve c'lerin öyle bir değerleri olması lazım ki bu eşitliklerin hepsini sağlanması lazım ama şu an için bunlara bir sayı vermek zor.
O yüzden biz buraları biraz düzenleyelim.
Şöyle yapalım bakınız ben buradaki eşitlikteki her tarafa bütün aralara dahil üç sayısını eklemek istiyorum.
Yani şöyle A artı 3 eşittir.
Buraya ekleyecek olursam 6a+6, buraya ekleyecek olursam 8b+8 ve şuraya da ekleyecek olursam 9c+9 olmuş oluyor.
Bakınız biraz daha ilerletiyorum.
Daha da düzenli hale getirmeye çalışıyorum.
A+3 sayısı, 6 parantezine alacak olursam a+1 olur burada, burada 8 parantezine alacak olursam burası b+1 olur.
Daha sonra burada 9 parantezine alacak olursam c+1 olur.
Ben artık buradan şu yorum yapabilirim, A+3 sayısı hem 6'nın katın hem 8'in katı hem 9'un katı.
Bakınız hem katı diyoruz burada ve bir de küçük olanını bulmak istiyoruz.
Yani en küçüğü bulmaya çalışıyoruz.
Yani aslında biz şunu söylemeye çalışıyoruz.
Burdaki A+3 sayısı, o zaman EKOK diyorum çünkü en küçük ortak katı diyoruz aslında biz burada.
O zaman demek ki 6, 8 ve 9'un en küçük ortak katları bulursam ben buradaki A+3 sayısına ulaşmış olurum.
Ve 9 sayısında 3'ün karesi şeklinde yazalım.
O zaman EKOK bulurken ne yapıyorduk?
Burada çarpanlardan üst aynı olanlardan üstleri büyük olan ve aynı olmayanlardan da yine üstleri büyük olanı alacaktık.
Yani A+3 sayısı şöyle yazılabilir.
2 var 2'nin küpü var.
Burada yok.
O zaman demek ki 2'nin küpü alınacak burada.
O zaman demek ki buradan A+3 sayısının şöyle olduğunu söyleriz.
tabi ben direk olarak A eşittir diyeyim, 8x9=72.
72'den de burada 3'ü çıkartırsak demek ki 69 olduğunu söylemiş oluruz.
Bakanız ne yaptık?
Bütün eşitliklerde parantezi alabilecek şekilde düzenledim ve daha sonra dedim ki bu sayı katlarıdır dedim ve orada EKOK'a geçtim.
EKOK'larını bularak sorunun çözümünü bitirdim.
Peki birazcık daha farklı bir tipi, x ve y elemanları doğal sayılar olmak üzere Bu sefer T sayısı 5x-3 ve 7y-1'e eşit olduğuna göre T2nin alabileceği üç basamaklı en küçük değer kaçtır?
Şimdi bakınız burada da aynı katlara getirmem lazım.
Yani aynı düzenlemeleri yapmam lazım.
Peki kaç eklersem olur burada?
Bakınız, burada hep bütün her yere 8 eklersem sağlayabiliyorum bunu.
T+8 eşittir 5x artı bakın buraya 8 eklediğimde artı 5 oluyor.
Buraya da 8 eklediğimde 7y artı 7 olmuş oluyor.
Aynı düzenlemeleri devam ediyorum.
T+8 bu sefer 5 parantezinde x+1.
Burada da 7 parantezinde bu sefer y+1 olacak.
Ve en son ben diyeceğim ki o zaman demek ki T+8 sayısı 5 ile 7'nin katlarından oluşacak.
O zaman demek ki biz burada aslında EKOK'larını bulmuş olacağız bunun.
o zaman demek ki T+8 sayısı aslında 35'e eşit olması lazım ama biz T'nin alabileceği üç basamaklı en küçük değeri arıyoruz.
O zaman demek ki 35'inde bir katı olması lazım.
O zaman demek ki ben bunu üç basamaklı sayıya getirmeye çalışıyorum.
Kaç yapabilirim ben bunu?
Buraya 3 yaparsam 105 olur ama 8 buraya aldım da yine iki basamaklıya düşecektir.
O zaman demek ki ben buraya 4 diyeyim ve şu hale getirmiş olayım ben burayı T+8 eşittir 35 ile 4'ü çarpacak olursak 140 elde edeceğiz.
O zaman demek ki 8'i de böyle aldığımızda T sayını bakınız 132 olarak elde etmiş oluruz.
Evet diğer bir örneğimiz a, b ardışık çift sayılardır diyor EBOB(a,b) ve artı EKOK(a,b) 62 olduğuna göre a artı b toplamı kaçtır?
Şimdi burada ilk önce bir ufak örnek vererek EBOB'ları ve EKOK'larını bulmaya çalışalım.
Ardışık çift sayılardan mesela ben 4 ile 6 demek istiyorum.
Bunların EBOB'larına bakacak olursak, bakınız bunlar 2'nin katları olduğu için o zaman demek ki ben bu ikisinin EBOB'larına 2 diyebilirim.
EBOB'larını 2 diyebilirim ben bunların.
4 ile 6 2.
Peki EKOK'larına bakalım.
EKOK'ları bu 4 ile 6 en küçük nerede birleşirler?
12'de birleşirler.
O zaman buradan şunu yapabiliriz.
Şu yorumu getirebiliriz.
Ardışık çift sayılar olduğunda EBOB'ları 2 geliyor.
Normalde artık çift sayılar değil de ardışık sayılar olsaydı EBOB'ları zaten 1 gelecekti.
Ama artık çift sayılar dediği için EBOB'ları 2 geldi.
O zaman demek ki a ile b'nin de o zaman EBOB'larının 2 olduğunu söyleyeceğiz burada.
Peki EKOK'ları ne geldi?
Orada da şu yorumu yapabiliriz.
Yani aslında sayıların çarpımının yarısı gelecek burada.
O zaman burada EKOK'larda ne diyeceğiz?
Sayıların çarpımının yarısı diyeceğiz.
O zaman ben şöyle diyorum.
EBOB(a,b)'ye 2 demek istiyorum artı EKOK(a,b)'ye burada a çarpı b bölü 2 demek istiyorum.
Bu işlemin sonucu 62 imiş.
2'yi sağ tarafa alalım.
a çarpı b bölü 2 burada 60 olacaktır.
Buradan sonra artık ardışık iki tane çift sayı bulacağım ve çarpımlarının 120 olduğunu söyleyeceğim.
O zaman onlar ne olabilir şöyle ayırabiliriz mesela biz 120'yi 12 çarpı 10 şekilinde ayırabiliriz değil mi?
Bakınız bunlar hem ardışıklar hem bir de çiftler.
O zaman demek ki burada a'nında 12 olduğunu söyleyebiliriz.
a+b toplamı soruluyor bize.
O zaman demek ki a+b toplamının Peki diğer bir örneğimiz, x ve y aralarında asal pozitif tam sayılardır.
x artı 60 bölü y, 12.
EKOK(x,y), 120 olduğuna göre x kaçtır?
Şimdi x ile y aralarında asalsa, o zaman EKOK'ları bunların direkt olarak çarpımlarıydı.
Yani şurada şöyle söyleyebiliriz x çarpı y'nin 120 olduğunu söyleyebiliriz.
O zaman demek ki şurayı hallettik.
Burayı biraz düzenlemek istiyorum ben.
y ile x'i çarpıp yukarıya toplam şeklinde atmak istiyorum.
Yani x çarpı y artı 60 bölü y eşittir 12 olacak.
Bakınız x çarpı y 120 bulduk.
O zaman demek ki şu 120'yi bunların yerine yazabilirim.
Yani şu sonucu elde edelim 120 artı 60 bölü y eşittir 12 olacak.
O zaman ne oldu burası?
180 olduğu üst taraf.
Şöyle sağ tarafa yazalım.
180 bölü y eşittir 12 oldu.
O zaman şöyle karşılıklı sadeleştirmek istiyorum ben.
180 ile 12 sadeleştirirsek Sağ tarafta y oldu.
O zaman demek ki biz ne yaptık?
y'yi 15 olarak bulmuş olduk.
Ama bize x'i soruyor.
O zaman demek ki ne yapalım?
Şu denklemde yerine yazarak bulalım.
O zaman ne olacak x artı y'nin yerine 15 yazacak olursak eşittir 12.
O zaman 4'ü de karşıya attığımızda x eşittir ne yapıyoruz?
8 olarak elde etmiş oluyoruz.
a, b, c elemanları doğal sayılar olmak üzere A sayısı eşittir 6a+3 aynı eşittir 8b+5 ve aynı eşittir 9c+6 bunların hepsi birbirlerine eşit olduğuna göre en küçük A doğal sayısı kaçtır?
şimdi bizim buradaki A sayısının en küçük değerini bulabilmemiz için aslında burada a, b, ve c'lerin öyle bir değerleri olması lazım ki bu eşitliklerin hepsini sağlanması lazım ama şu an için bunlara bir sayı vermek zor.
O yüzden biz buraları biraz düzenleyelim.
Şöyle yapalım bakınız ben buradaki eşitlikteki her tarafa bütün aralara dahil üç sayısını eklemek istiyorum.
Yani şöyle A artı 3 eşittir.
Buraya ekleyecek olursam 6a+6, buraya ekleyecek olursam 8b+8 ve şuraya da ekleyecek olursam 9c+9 olmuş oluyor.
Bakınız biraz daha ilerletiyorum.
Daha da düzenli hale getirmeye çalışıyorum.
A+3 sayısı, 6 parantezine alacak olursam a+1 olur burada, burada 8 parantezine alacak olursam burası b+1 olur.
Daha sonra burada 9 parantezine alacak olursam c+1 olur.
Ben artık buradan şu yorum yapabilirim, A+3 sayısı hem 6'nın katın hem 8'in katı hem 9'un katı.
Bakınız hem katı diyoruz burada ve bir de küçük olanını bulmak istiyoruz.
Yani en küçüğü bulmaya çalışıyoruz.
Yani aslında biz şunu söylemeye çalışıyoruz.
Burdaki A+3 sayısı, o zaman EKOK diyorum çünkü en küçük ortak katı diyoruz aslında biz burada.
O zaman demek ki 6, 8 ve 9'un en küçük ortak katları bulursam ben buradaki A+3 sayısına ulaşmış olurum.
Ve 9 sayısında 3'ün karesi şeklinde yazalım.
O zaman EKOK bulurken ne yapıyorduk?
Burada çarpanlardan üst aynı olanlardan üstleri büyük olan ve aynı olmayanlardan da yine üstleri büyük olanı alacaktık.
Yani A+3 sayısı şöyle yazılabilir.
2 var 2'nin küpü var.
Burada yok.
O zaman demek ki 2'nin küpü alınacak burada.
O zaman demek ki buradan A+3 sayısının şöyle olduğunu söyleriz.
tabi ben direk olarak A eşittir diyeyim, 8x9=72.
72'den de burada 3'ü çıkartırsak demek ki 69 olduğunu söylemiş oluruz.
Bakanız ne yaptık?
Bütün eşitliklerde parantezi alabilecek şekilde düzenledim ve daha sonra dedim ki bu sayı katlarıdır dedim ve orada EKOK'a geçtim.
EKOK'larını bularak sorunun çözümünü bitirdim.
Peki birazcık daha farklı bir tipi, x ve y elemanları doğal sayılar olmak üzere Bu sefer T sayısı 5x-3 ve 7y-1'e eşit olduğuna göre T2nin alabileceği üç basamaklı en küçük değer kaçtır?
Şimdi bakınız burada da aynı katlara getirmem lazım.
Yani aynı düzenlemeleri yapmam lazım.
Peki kaç eklersem olur burada?
Bakınız, burada hep bütün her yere 8 eklersem sağlayabiliyorum bunu.
T+8 eşittir 5x artı bakın buraya 8 eklediğimde artı 5 oluyor.
Buraya da 8 eklediğimde 7y artı 7 olmuş oluyor.
Aynı düzenlemeleri devam ediyorum.
T+8 bu sefer 5 parantezinde x+1.
Burada da 7 parantezinde bu sefer y+1 olacak.
Ve en son ben diyeceğim ki o zaman demek ki T+8 sayısı 5 ile 7'nin katlarından oluşacak.
O zaman demek ki biz burada aslında EKOK'larını bulmuş olacağız bunun.
o zaman demek ki T+8 sayısı aslında 35'e eşit olması lazım ama biz T'nin alabileceği üç basamaklı en küçük değeri arıyoruz.
O zaman demek ki 35'inde bir katı olması lazım.
O zaman demek ki ben bunu üç basamaklı sayıya getirmeye çalışıyorum.
Kaç yapabilirim ben bunu?
Buraya 3 yaparsam 105 olur ama 8 buraya aldım da yine iki basamaklıya düşecektir.
O zaman demek ki ben buraya 4 diyeyim ve şu hale getirmiş olayım ben burayı T+8 eşittir 35 ile 4'ü çarpacak olursak 140 elde edeceğiz.
O zaman demek ki 8'i de böyle aldığımızda T sayını bakınız 132 olarak elde etmiş oluruz.
Evet diğer bir örneğimiz a, b ardışık çift sayılardır diyor EBOB(a,b) ve artı EKOK(a,b) 62 olduğuna göre a artı b toplamı kaçtır?
Şimdi burada ilk önce bir ufak örnek vererek EBOB'ları ve EKOK'larını bulmaya çalışalım.
Ardışık çift sayılardan mesela ben 4 ile 6 demek istiyorum.
Bunların EBOB'larına bakacak olursak, bakınız bunlar 2'nin katları olduğu için o zaman demek ki ben bu ikisinin EBOB'larına 2 diyebilirim.
EBOB'larını 2 diyebilirim ben bunların.
4 ile 6 2.
Peki EKOK'larına bakalım.
EKOK'ları bu 4 ile 6 en küçük nerede birleşirler?
12'de birleşirler.
O zaman buradan şunu yapabiliriz.
Şu yorumu getirebiliriz.
Ardışık çift sayılar olduğunda EBOB'ları 2 geliyor.
Normalde artık çift sayılar değil de ardışık sayılar olsaydı EBOB'ları zaten 1 gelecekti.
Ama artık çift sayılar dediği için EBOB'ları 2 geldi.
O zaman demek ki a ile b'nin de o zaman EBOB'larının 2 olduğunu söyleyeceğiz burada.
Peki EKOK'ları ne geldi?
Orada da şu yorumu yapabiliriz.
Yani aslında sayıların çarpımının yarısı gelecek burada.
O zaman burada EKOK'larda ne diyeceğiz?
Sayıların çarpımının yarısı diyeceğiz.
O zaman ben şöyle diyorum.
EBOB(a,b)'ye 2 demek istiyorum artı EKOK(a,b)'ye burada a çarpı b bölü 2 demek istiyorum.
Bu işlemin sonucu 62 imiş.
2'yi sağ tarafa alalım.
a çarpı b bölü 2 burada 60 olacaktır.
Buradan sonra artık ardışık iki tane çift sayı bulacağım ve çarpımlarının 120 olduğunu söyleyeceğim.
O zaman onlar ne olabilir şöyle ayırabiliriz mesela biz 120'yi 12 çarpı 10 şekilinde ayırabiliriz değil mi?
Bakınız bunlar hem ardışıklar hem bir de çiftler.
O zaman demek ki burada a'nında 12 olduğunu söyleyebiliriz.
a+b toplamı soruluyor bize.
O zaman demek ki a+b toplamının Peki diğer bir örneğimiz, x ve y aralarında asal pozitif tam sayılardır.
x artı 60 bölü y, 12.
EKOK(x,y), 120 olduğuna göre x kaçtır?
Şimdi x ile y aralarında asalsa, o zaman EKOK'ları bunların direkt olarak çarpımlarıydı.
Yani şurada şöyle söyleyebiliriz x çarpı y'nin 120 olduğunu söyleyebiliriz.
O zaman demek ki şurayı hallettik.
Burayı biraz düzenlemek istiyorum ben.
y ile x'i çarpıp yukarıya toplam şeklinde atmak istiyorum.
Yani x çarpı y artı 60 bölü y eşittir 12 olacak.
Bakınız x çarpı y 120 bulduk.
O zaman demek ki şu 120'yi bunların yerine yazabilirim.
Yani şu sonucu elde edelim 120 artı 60 bölü y eşittir 12 olacak.
O zaman ne oldu burası?
180 olduğu üst taraf.
Şöyle sağ tarafa yazalım.
180 bölü y eşittir 12 oldu.
O zaman şöyle karşılıklı sadeleştirmek istiyorum ben.
180 ile 12 sadeleştirirsek Sağ tarafta y oldu.
O zaman demek ki biz ne yaptık?
y'yi 15 olarak bulmuş olduk.
Ama bize x'i soruyor.
O zaman demek ki ne yapalım?
Şu denklemde yerine yazarak bulalım.
O zaman ne olacak x artı y'nin yerine 15 yazacak olursak eşittir 12.
O zaman 4'ü de karşıya attığımızda x eşittir ne yapıyoruz?
8 olarak elde etmiş oluyoruz.
