Merhabalar arkadaşlar şimdi EBOB ve EKOK'un özelliklerini inceleyelim.
A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere A ile B'nin çarpımlarını biz şöyle bulabiliriz.
EKOK (A,B) ' yi buluruz daha sonra ve EBOB (A,B) 'yi buluruz.
Burada EBOB (A,B) ve arkadaşlar bunların ikisini biz çarptığımızda sayılarının aslında çarpılmış halini bulmuş oluruz.
Bununla alakalı örnek gelecek.
A ile B ve aralarında asal pozitif doğal sayılar olmak üzere aralarında asal olacak.
Buradaki şartımız bu.
Yani bu özellikler aralarında asalsa olacaktır.
EBOB A ve B burada 1'dir arkadaşlar.
Çünkü aralarında asal oldukları için bunların ortak bölenleri yoktur.
Ortak bölenleri olmadığı için, tabi 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
Birden başka ortak bölenleri olmadığı için o zaman demek ki En Büyük Ortak Bölen de burada 1 olacaktır.
Peki EKOK'ları ne olur bunların EKOK'ları da bunların direkt olarak çarpılmasıdır.
A çarpı B şimdi bu havada kalabilir.
Buna hemen bir örnek verelim.
Burada mesela ilk aklıma gelen benim hep aralarında deyince ardışık sayılar gelir aklıma.
mesela 7 ile 8 şimdi 7 ile 8'in ortak bir böleni yok 1'den başka.
O zaman EBOB'ları 1 ve bunların 7 ile 8'in en küçük ortak katlarını çıktığımızda bu 7'şer 7'şer çıkacak bu da 8'er 8'er çıkacak.
O zaman bunlar ne olacak?
8 kere 7'den 56 da buluşacaklar, arkadaşlar.
en küçük burada buluştukları için, o yüzden biz aralarında asal olduklarında EKOK'larını çarpımları halinde bulabiliriz.
Peki A sayısı B'nin tam katı ise bunların EBOB'ları bu sefer küçük olan sayı olacak, yani B çünkü B'nin tam katı, EKOK'ları da büyük olan olacak.
Tabii buna da hemen bir örnek verelim.
Burada havada kalabilir mesela küçük bir örnek verelim burada direkt olarak zaten 8'de buluşuyor bu.
O zaman demek ki EKOK'ları da 8 olacaktır.
Bakınız burada 8 4'ün tam bir katı olduğu için bu örnek tam olarak buraya uyumuş durumda.
Peki örnekleri inceleyelim a b doğal sayılar EBOB (a,b) burada 23 olarak verilmiş a+b en az burada kaçtır diye bize soruluyor şimdi a ile b sayılarının EBOB'ları bulunduğunda 23 bulunmuşsa o zaman demek ki sayılar şu şekilde imiş a sayısı 23'ün bir katıymış aynı şekilde b sayısı da burada 23'ün bir katıymış.
Ona da ben t demek istiyorum şimdi k ile t burada aralarında asal olmak zorunda k ile burada t aralarında asal.
Sebep bunlar aralarında asal olmazlarsa EBOB'larına katılırlar.
Mesela ben şöyle diyeyim burası mesela 2 olsun.
Burası mesela 4 olsun.
Şimdi iki ile dördünde EBOB'ları var 2'de birleşiyorlar.
O yüzden tekrardan EBOB'lara katılacağı için burası 46 olur.
Yani bu sayılardan da tekrardan ortak çarpanları geldiği için katılır.
Ama bu sayılar aralarında asal olursa mesela burası 2 burası 3 gibi burada herhangi bir şekilde EBOB'da bir değişme olmaz.
O yüzden bu şekilde söylüyoruz.
Şimdi tamam a 23'ün bir katı b 23'ün bir katı ve burada k ile t aralarında asal.
Biz buradaki sayıların en az olmasını istiyorsak o zaman demek ki k ile t'ye burada en az sayılar vermemiz lazım ama aralarında asal olacak.
O zaman ben diyorum ki k'nin yerine 1 vereyim.
t'nin yerine de burada 2 vereyim.
Yerleri değişebilir önemli değil.
Sonuçta a+b toplamını bulacağız.
O zaman demek ki a'nın bakınız burada 23 olduğunu söyleriz.
b'nin de burada 46 olduğunu söyleriz.
Hatta bakınız bu tam katı olmuş oldu bunun.
Tam katı olduğunda da EBOB'ları küçük olanı olmuş oluyordu.
Tamam sayıları çok büyütmedik ve EBOB'larını 23'te sabit tuttuk.
O zaman demek ki toplamlarını bulursak cevabımızı bulmuş oluruz.
Peki diğer bir örneğimiz a ile b doğal sayılar.
Bu sefer a ile b'nin EKOK'ları 20 olduğuna göre x+y'nin alabileceği en küçük ve en büyük değer kaçtır?
Şimdi burada x+y, tabi a+b olacak burası.
Orada ufak bir yanlışlık olmuş.
Şimdi a ile b'nin burada EKOK'ları 20 ise o zaman ilk önce en büyük değeri bulacak olursak biz burada en büyük değeri şöyle en büyük değer diyelim buraya peki en büyük değeri ne olur a ile b'yi ikisini de 20 seçelim.
İkisini de 20 seçtiğimde EKOK'larında herhangi bir bozulma olmuyor.
Direkt olarak zaten 20'de buluşuyorlar.
Ve bakınız 20'den daha büyük seçemem.
Çünkü 20'den daha büyük seçtiğim anda bunların EKOK'ları da büyüyecektir.
Ve bakınız bunların ikisini topladığımda 40'a ulaşmış oluyor.
Yani en büyük değer 40'tır.
Sayıların ikisini de aynı seçerek ulaşırım.
Peki en küçük değer.
En küçük değer burada en küçük diyelim.
En küçükte ne olacak?
En küçükleri, bu sefer ben bunları yaklaştırırım ve aralarında asal yaparım.
Yani 20'yi nasıl aralarında asal çarpanlarına ayırabilirim?
EKOK'larını 20'de buluşturabiliyorum.
Ve bunları topladığımda 9'u elde edebiliyorum.
Yani en küçükte 9 olabilir.
En büyük ve en küçük değeri bulunuz demiş.
Toplamını sorsaydı bunların ikisinin toplamının da 49 olduğunu söylerdik.
Peki örneğimiz a b aralarında asal iki doğal sayıdır.
Burası önemli EKOK'ları bu sayıların 45 olduğuna göre a + b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Şimdi aralarında asal iki sayının EBOB'ları 45 ise o zaman demek ki pardon EKOK'ları 45 ise bunların EKOK'ları çarpılarak bulunuyordu.
Yani a ile b'nin çarpımı aslında bunların EKOK'ları idi.
Yani demek ki aslında a ile b'nin çarpımını 45 olarak vermiş burada.
Bu sayılar aralarında asalsa demek ki ben bu 45'i aralarında asal iki sayıya ayırmam gerekir.
Aralarında asal iki sayıyı ayıracak olursam çarpanlarını.
Neler var 45'in aralarında asal çarpanlarından?
Bir de ne var 45'in aralarında asal çarpanları 45'e 1 var.
Mesela burada aslında 15 ile 3 ama 3 ile 15 bakınız aralarında asal değil.
O yüzden bunları alamıyoruz.
Farklı bir asal çarpanları gelmiyor bunların aralarında asal olacak şekilde.
O zaman demek ki toplamlarını bulalım.
O zaman a + b toplamı 5 ve 9 dan burada 14 yapar.
Burada da 45 ve 1'den burada 46 yapar.
O zaman demek ki a+b'nin alacağı toplamlar burada 14 ve 46 şeklinde bulunmuş olur.
Peki EKOK (x,36) =180'e EBOB (x,36) = 9 olduğuna göre x kaçtır diyor.
Şimdi EKOK'ları verilmiş sayıların EBOB'ları verilmiş.
O zaman demek ki biz şöyle bir kural biliyorduk.
Bu sayıların ikisini çarpacak olursak x ile 36'yı o zaman demek ki bu sayıların çarpımları EKOK'ları EBOB'ları çarpımına eşittir yani 180 ile 9'un çarpımına eşittir.
Bu ilk verdiğimiz kural.
Bunun örneği de burada.
O zaman demek ki x'i buradan çekebilirim.
36 ile 180' sadeleştiriyorum.
Burada 5 gelecektir.
O zaman sol tarafta x kaldı.
Sağ tarafta da 5 ile 9'u çarparsam bakınız burada Hatta 45'e 36'nın biz EBOB'larının 9 ve EKOK'larının da 180 geldiğini söyleyebiliriz.
A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere A ile B'nin çarpımlarını biz şöyle bulabiliriz.
EKOK (A,B) ' yi buluruz daha sonra ve EBOB (A,B) 'yi buluruz.
Burada EBOB (A,B) ve arkadaşlar bunların ikisini biz çarptığımızda sayılarının aslında çarpılmış halini bulmuş oluruz.
Bununla alakalı örnek gelecek.
A ile B ve aralarında asal pozitif doğal sayılar olmak üzere aralarında asal olacak.
Buradaki şartımız bu.
Yani bu özellikler aralarında asalsa olacaktır.
EBOB A ve B burada 1'dir arkadaşlar.
Çünkü aralarında asal oldukları için bunların ortak bölenleri yoktur.
Ortak bölenleri olmadığı için, tabi 1'den başka ortak bölenleri yoktur.
Birden başka ortak bölenleri olmadığı için o zaman demek ki En Büyük Ortak Bölen de burada 1 olacaktır.
Peki EKOK'ları ne olur bunların EKOK'ları da bunların direkt olarak çarpılmasıdır.
A çarpı B şimdi bu havada kalabilir.
Buna hemen bir örnek verelim.
Burada mesela ilk aklıma gelen benim hep aralarında deyince ardışık sayılar gelir aklıma.
mesela 7 ile 8 şimdi 7 ile 8'in ortak bir böleni yok 1'den başka.
O zaman EBOB'ları 1 ve bunların 7 ile 8'in en küçük ortak katlarını çıktığımızda bu 7'şer 7'şer çıkacak bu da 8'er 8'er çıkacak.
O zaman bunlar ne olacak?
8 kere 7'den 56 da buluşacaklar, arkadaşlar.
en küçük burada buluştukları için, o yüzden biz aralarında asal olduklarında EKOK'larını çarpımları halinde bulabiliriz.
Peki A sayısı B'nin tam katı ise bunların EBOB'ları bu sefer küçük olan sayı olacak, yani B çünkü B'nin tam katı, EKOK'ları da büyük olan olacak.
Tabii buna da hemen bir örnek verelim.
Burada havada kalabilir mesela küçük bir örnek verelim burada direkt olarak zaten 8'de buluşuyor bu.
O zaman demek ki EKOK'ları da 8 olacaktır.
Bakınız burada 8 4'ün tam bir katı olduğu için bu örnek tam olarak buraya uyumuş durumda.
Peki örnekleri inceleyelim a b doğal sayılar EBOB (a,b) burada 23 olarak verilmiş a+b en az burada kaçtır diye bize soruluyor şimdi a ile b sayılarının EBOB'ları bulunduğunda 23 bulunmuşsa o zaman demek ki sayılar şu şekilde imiş a sayısı 23'ün bir katıymış aynı şekilde b sayısı da burada 23'ün bir katıymış.
Ona da ben t demek istiyorum şimdi k ile t burada aralarında asal olmak zorunda k ile burada t aralarında asal.
Sebep bunlar aralarında asal olmazlarsa EBOB'larına katılırlar.
Mesela ben şöyle diyeyim burası mesela 2 olsun.
Burası mesela 4 olsun.
Şimdi iki ile dördünde EBOB'ları var 2'de birleşiyorlar.
O yüzden tekrardan EBOB'lara katılacağı için burası 46 olur.
Yani bu sayılardan da tekrardan ortak çarpanları geldiği için katılır.
Ama bu sayılar aralarında asal olursa mesela burası 2 burası 3 gibi burada herhangi bir şekilde EBOB'da bir değişme olmaz.
O yüzden bu şekilde söylüyoruz.
Şimdi tamam a 23'ün bir katı b 23'ün bir katı ve burada k ile t aralarında asal.
Biz buradaki sayıların en az olmasını istiyorsak o zaman demek ki k ile t'ye burada en az sayılar vermemiz lazım ama aralarında asal olacak.
O zaman ben diyorum ki k'nin yerine 1 vereyim.
t'nin yerine de burada 2 vereyim.
Yerleri değişebilir önemli değil.
Sonuçta a+b toplamını bulacağız.
O zaman demek ki a'nın bakınız burada 23 olduğunu söyleriz.
b'nin de burada 46 olduğunu söyleriz.
Hatta bakınız bu tam katı olmuş oldu bunun.
Tam katı olduğunda da EBOB'ları küçük olanı olmuş oluyordu.
Tamam sayıları çok büyütmedik ve EBOB'larını 23'te sabit tuttuk.
O zaman demek ki toplamlarını bulursak cevabımızı bulmuş oluruz.
Peki diğer bir örneğimiz a ile b doğal sayılar.
Bu sefer a ile b'nin EKOK'ları 20 olduğuna göre x+y'nin alabileceği en küçük ve en büyük değer kaçtır?
Şimdi burada x+y, tabi a+b olacak burası.
Orada ufak bir yanlışlık olmuş.
Şimdi a ile b'nin burada EKOK'ları 20 ise o zaman ilk önce en büyük değeri bulacak olursak biz burada en büyük değeri şöyle en büyük değer diyelim buraya peki en büyük değeri ne olur a ile b'yi ikisini de 20 seçelim.
İkisini de 20 seçtiğimde EKOK'larında herhangi bir bozulma olmuyor.
Direkt olarak zaten 20'de buluşuyorlar.
Ve bakınız 20'den daha büyük seçemem.
Çünkü 20'den daha büyük seçtiğim anda bunların EKOK'ları da büyüyecektir.
Ve bakınız bunların ikisini topladığımda 40'a ulaşmış oluyor.
Yani en büyük değer 40'tır.
Sayıların ikisini de aynı seçerek ulaşırım.
Peki en küçük değer.
En küçük değer burada en küçük diyelim.
En küçükte ne olacak?
En küçükleri, bu sefer ben bunları yaklaştırırım ve aralarında asal yaparım.
Yani 20'yi nasıl aralarında asal çarpanlarına ayırabilirim?
EKOK'larını 20'de buluşturabiliyorum.
Ve bunları topladığımda 9'u elde edebiliyorum.
Yani en küçükte 9 olabilir.
En büyük ve en küçük değeri bulunuz demiş.
Toplamını sorsaydı bunların ikisinin toplamının da 49 olduğunu söylerdik.
Peki örneğimiz a b aralarında asal iki doğal sayıdır.
Burası önemli EKOK'ları bu sayıların 45 olduğuna göre a + b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Şimdi aralarında asal iki sayının EBOB'ları 45 ise o zaman demek ki pardon EKOK'ları 45 ise bunların EKOK'ları çarpılarak bulunuyordu.
Yani a ile b'nin çarpımı aslında bunların EKOK'ları idi.
Yani demek ki aslında a ile b'nin çarpımını 45 olarak vermiş burada.
Bu sayılar aralarında asalsa demek ki ben bu 45'i aralarında asal iki sayıya ayırmam gerekir.
Aralarında asal iki sayıyı ayıracak olursam çarpanlarını.
Neler var 45'in aralarında asal çarpanlarından?
Bir de ne var 45'in aralarında asal çarpanları 45'e 1 var.
Mesela burada aslında 15 ile 3 ama 3 ile 15 bakınız aralarında asal değil.
O yüzden bunları alamıyoruz.
Farklı bir asal çarpanları gelmiyor bunların aralarında asal olacak şekilde.
O zaman demek ki toplamlarını bulalım.
O zaman a + b toplamı 5 ve 9 dan burada 14 yapar.
Burada da 45 ve 1'den burada 46 yapar.
O zaman demek ki a+b'nin alacağı toplamlar burada 14 ve 46 şeklinde bulunmuş olur.
Peki EKOK (x,36) =180'e EBOB (x,36) = 9 olduğuna göre x kaçtır diyor.
Şimdi EKOK'ları verilmiş sayıların EBOB'ları verilmiş.
O zaman demek ki biz şöyle bir kural biliyorduk.
Bu sayıların ikisini çarpacak olursak x ile 36'yı o zaman demek ki bu sayıların çarpımları EKOK'ları EBOB'ları çarpımına eşittir yani 180 ile 9'un çarpımına eşittir.
Bu ilk verdiğimiz kural.
Bunun örneği de burada.
O zaman demek ki x'i buradan çekebilirim.
36 ile 180' sadeleştiriyorum.
Burada 5 gelecektir.
O zaman sol tarafta x kaldı.
Sağ tarafta da 5 ile 9'u çarparsam bakınız burada Hatta 45'e 36'nın biz EBOB'larının 9 ve EKOK'larının da 180 geldiğini söyleyebiliriz.
Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal olan iki pozitif tam sayının EBOB’u nedir?
Aralarında asal sayıların en büyük ortak bölenleri 1’e eşittir çünkü başka bir ortak bölenleri yoktur.
a ve b pozitif tam sayılar ve a ve b aralarında asal ise, EBOB (a,b) = 1
Aralarında asal olan iki pozitif tam sayının EKOK’u nedir?
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katları bu iki sayının çarpımına eşit olur.
a ve b pozitif tam sayılar ve a ve b aralarında asal ise, EKOK (a,b) = a.b
İki sayının EBOB ve EKOK çarpımları neye eşittir?
İki sayının en büyük ortak bölenleri ile en küçük ortak katlarının çarpımı, bu iki sayının çarpımlarına eşit olur.
a ve b pozitif tam sayılar ise, a . b = EBOB (a,b) . EKOK (a,b)
Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayının EBOB’u neye eşittir?
Biri diğerinin tam katı olan pozitif iki doğal sayının en büyük ortak böleni (EBOB’u), bu iki sayılardan küçük olanına eşit olur.
a ve b pozitif tam sayılar ve a sayısı b’nin tam katı ise, EBOB (a,b) = b
Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayının EKOK’u neye eşittir?
Biri diğerinin tam katı olan pozitif iki doğal sayının en küçük ortak katı (EKOK’u), bu iki sayılardan küçük olanına eşit olur.
a ve b pozitif tam sayılar ve a sayısı b’nin tam katı ise, EKOK (a,b) = a
Ardışık iki çift doğal sayının EBOB’u nedir?
Ardışık iki çift doğal sayının EBOB’u 2 olur çünkü çift sayılar ikiye tam bölünür.
