Merhabalar, üçgende benzerlik konusundayız.
Gördüğünüz gibi bir ABC üçgeni veriliyor, AF paraleldir BC olacak şekilde bir x parçası veriliyor, x uzunluğunda bir parça veriliyor.
|AD| eşittir |3DB|.
O zaman buraya şöyle bir oran verebilirim AD'ye üç k dersem DM'ye k diyeceğim.
|DE| eşittir 2 |EF| demiş.
O zaman DE'ye iki m diyelim, 2m diyelim, EF'ye de m diyelim.
Tamam, bu eşitliği yazdım.
x'in uzunluğu soruluyor.
Şimdi burada paralelliği vermişte burada D köşesini o kadar yalnız bırakmışlar ki hiç hoş gözükmüyor.
D köşesinden bir paralel atmamız lazım dostlar.
D köşesinden paraleli nasıl atacağım.
E bu buna paralel verilmiş.
Bir tanede ben çiziyim.
Şimdi bu paraleli de ben çizdim.
Tamam.
Şimdi bakmanızı istediğim yer dostlar.
Şurada gördüğünüz AFD şuraya da mesela K diyelim.
K demeyelim de, E'yi de vermişiz G diyelim.
Şurada gördüğünüz kelebeğe bakmanızı istiyorum.
Şimdi burada kelebeğe bakınca m'ye x gelmişse 2m'ye ne gelmeli?
2x gelmeli.
Bitti.m m'ye x gelmiş buradaki oranı yazdım dostlar.
m/2m'ye de, m/2m eşittir x bölü aşağıda yeni oluşturduğum DG'nin uzunluğu.
1/2 oran var.
Burada da 1/2'lik oran olmalı.
DG dediğim x'in iki katı olmalı.
Tamam şimdi burada oluşturduğumuz şeyin işlemi bitti aslında.
Yani şuralara bakmamın hiç bir önemi yok artık.
Çünkü ben bunu kullanarak bu x'i buraya taşımış oldum artık.
Onun işlemi bitti.
Şu paraleli çektim ve bu ikisi buraya taşımış oldu.
Tamam şimdi bu üçgene bakıyorum bu üçgende de paralellik olduğu için oran yazabiliyorum.
Nasıl bir oran?
Şöyle bir orandan bahsediyorum.
3k bölü 4k bakın tamamını alıyorum.
3k/4k 3k/k yapmıyorum.
3k bölü 4k eşittir 2x bölü 16.
3k bölü 4k diyorum çünkü benzerlik olanlar bir ADG üçgeni, bir de ABC üçgeni.
Bu paralellik bu iki üçgen arasında.
O yüzden k'yi almıyorum k dediğim üçgene dahil değil.
C dediğim burada yamuğa dahil olduğu için k'yi hesaba katmadım.
Tamam mı?
3k'ye 2x gelmiş ise 4k'ye 16 geliyor.
Oranımız bu şekilde.
Buradaki oran şunlar sadeleşti.
3 bölü 4.
Dörde dört katı 16 mi gelmiş o zaman, 3'e de 3'ün 4 katı on iki gelmeli, 2x eşittir 12 olmalı dördün 4 katı 3'ün 4 katı 2x=12 ise x dediğim uzunluk 6 birim uzunluğundadır dostlar.
İkinci sorumuzla devam edelim.
Gördüğünüz gibi sadece kenar uzunluklarını verdim.
AD ve DC arasındaki oranı yazdım.
Buradaki ED uzunluğu yani x'in uzunluğunu bulmanızı istiyorum.
Şimdi soruya bakıyorum 2k var, 5k var da burada bir paralellik yok ki geçiş yapabileyim ya da herhangi bir açı da belirtmemiş geçiş yapabileceğim 90 derece yok, 60 derece yok hiçbir şey yok.
Nasıl ilerlemeliyim.
Bu soru biraz benzerlik andırıyor.
Bir şeyler tanımlıyor bana hiçbir şey vermeme ile.
Şimdi buranın 15 buranın da 15 olduğunu görüyorum, 9+6.
Soru da size bilerek vermedim.
|AB|=|BC|'yi vermedim ama uzunlukları toplayarak eşit olduğunu siz görmelisiniz.
Ve burası eşittir.
Burası ise bunların taban açıları da birbirine eşittir.
Burasına a kadar dersem burası da a kadar olmalı.
Aynı açı değerlerine sahip olmalı.
Tamam bu ikizliği yakaladım.
Şimdi açıyı yakaladıktan sonra benzerlik ihtimalim daha da arttı.
Şimdi burada bakmanızı istediğim üçgenler var.
AED üçgeni ve burada DBC üçgeninden bahsedeceğim.
Burada ilk üçgenini şuraya yazıyorum.
Hadi şuraya yazalım.
Böyle bir şekilden bahsediyorum, burası açım, burası altı, burası 2k gördüğü kenarda x.
AED'yi çizdim dostlar.
İkinci üçgenim de bu üçgen, bu üçgen de şöyle biraz daha büyük olsun görece şöyle çizelim.
DBC üçgeni açım burada, bu tarafta 5k var, bu tarafta 15.
Şimdi bu üçgen ere bakıyorum, açım var.
Çok güzel.
Acaba benzerlik var mı?
Şimdi benzerlik kontrolünde yapmam gereken şey aynı üçgen içerisindeki oranları kontrol etmek.
Bakın benzerlik var mı acabanın kontrolünü yapıyorum.
Burada k'li terim bölü diğer sabit sayı yapıyorum.
k'li terimi 2k sabit sayımda altı, bu tarafa geliyorum k'li terim 5k sabit diğer sayımda 15, açının yanındakileri böldüm bu arada tamam diyorum ki acaba bunlar eşit midir?
Bunlar eşitse çünkü benzerlik var diyeceğim.
Şimdi bunların bölümlerine bakıyorum 2k bölü 6 nedir?
k/3'tür, sadeleşti.
5k bölü 15 nedir?
Beşe dönersem?
Bu da k/3'tür.
E bunlar eşit çıktı.
E bu çok güzel.
Bu bana neyi ispatladı?
Bu üçgenlerin benzer olduğunu ispatladı.
Bakın benzerlik oranını bulmadım.
Benzer olduklarını ispatladım.
Benzerlik oranını nasıl bulacağınım dostlar.
Şimdi şurası şurayı sadece benzerlik olduğu için geçiş yapmıştık.
Benzerlik oranını bulmak için dostlar şuradan şuraya gidiyorum.
k'li terimler arasındaki benzerlik oranı ne olmuşsa, bu açının gördüğü kenarlar arasındaki benzerlik oranı da o şekilde gerçekleşmiştir.
2k/5k olmuş.
Birinci üçgende 2k olan ikinci üçgende 5k büyümüş.
O zaman bu oran aynı şekilde diğerleri arasında da geçerlidir.
Şimdi buradan bu üçgende kendi tabii şuraya yazmayı unutmuşuz.
Burası |BD|=10.
Bu üçgeni de burada ekleyelim.
Şuradan şu geçişi de göstermiş olalım.
Tamam.
Şimdi burada birinci üçgendeki 2k ikinci üçgendeki 5k, birinci üçgendeki açının gördüğü kenar uzunluğu bölü ikinci üçgende açının gördüğü kenar uzunluğu 10 bitti.
Sorunuz bitti dostlar.
5'e 5'in iki katı mı gelmiş, 10 gelmiş, 2'ye de 2'nin iki katı gelir o zaman x=4 bulunur dostlar.
Evet, devam edelim şimdi.
Size bir ABCD yamuğu verdim, kenar uzunlukları gördüğünüz gibi |DC|=3, |DB|=6, |BC|=8, |AB|=12 olarak ve |AD| uzunluğunu soruyorum size.
Şimdi soruya bakıyorum açı yok, 90 derece yok.
Herhangi kullanabileceğim, rahatlıkla gidebileceğim bir şey yok.
Tek verdiğim kopya ABCD yamuk.
ABCD'nin yamuk olması bana ne söyleyebilir ki.
İlk söyleyeceği şeyi söyleyeyim.
DC paraleldir AB.
Bunu kesinlikle söyleyebilirim.
Çünkü alt taban üst tabana paralel.
Tamam, şimdi bu bana ne anlatabilir?
Bu paralellik ne işime yarayabilir.
Bu paralellik açı taşımama yardımcı olabilir.
Açı taşımam ne işime yarayabilir?
Buradaki açıyı nasıl taşındı peki?
Paralel doğrular da iç ters açılarla taşıdım.
Bu paralellik ne işime yaradı?
Açımı taşıdığı.
Bu açı taşıma ne işime yaradı?
Belki benzerlik de kullanabilirim.
Şimdi bakmanızı istediğim üçgenler birinci üçgenim şu üçgen DCB üçgeni, ikinci üçgen de şurada gördüğünüz üçgen ADB üçgeni.
Şimdi üçgenleri ayrı ayrı çizelim.
Birinci üçgenin şöyle 3, 8, 6 burası a kadar.
İkinci üçgenim de nispeten daha büyük şöyle bir üçgen burası on iki, burası altı, burası a kadar karşı taraf x tamam yazmadığım bir şey yok.
Şimdi bu üçgene bakıyorum.
Bunlar da aynı açıyı yakaladım da acaba benzerliği yakaladım mı?
Onun kontrolünü yapmam lazım.
Benzerlik kontrolünü nasıl yapıyordum?
Aynı üçgen içerisinde bu eşit bulduğum açılar etrafında kenarları bir bölelim.
Burada 3 bölü 6 görüyorum.
Acaba burada da o oranı yakalayabilecek miyim?
Açının yanındaki kenarları bölüyorum.
Burada da 6/12 görüyorum.
Bunlar birbirine eşit.
İşte bunların birbirine eşit olması bu iki üçgenin benzer olduğunu ispatladı bize.
Bu oranlar bize bunların benzer olduğunu ama şimdi de benzerlik oranını bulmam lazım.
Birinci üçgendeki bu açının yanındaki küçük olan bölü, ikinci üçgendeki bu açının yanındaki küçük olana.
Eşittir birinci üçgende bu açının yanındaki büyük olan, ikinci üçgende bu açıdan yandaki büyük olan benzerlik oranı bu gördüğünüz orandır.
Bakın bu zaten buna eşittir.
3/6, 6/12.
Yani bire iki gidiyor.
Yani bu üçgenin iki katı budur.
Öyle de düşünebilirsiniz.
İki katı büyütülmüş gibi düşünebilirsiniz.
Yani buradaki 8 ise buraya geçişte iki katı olmalı diyorum.
O zaman x dediğim şey 16 bulunur dostlar.
Gördüğünüz gibi bir ABC üçgeni veriliyor, AF paraleldir BC olacak şekilde bir x parçası veriliyor, x uzunluğunda bir parça veriliyor.
|AD| eşittir |3DB|.
O zaman buraya şöyle bir oran verebilirim AD'ye üç k dersem DM'ye k diyeceğim.
|DE| eşittir 2 |EF| demiş.
O zaman DE'ye iki m diyelim, 2m diyelim, EF'ye de m diyelim.
Tamam, bu eşitliği yazdım.
x'in uzunluğu soruluyor.
Şimdi burada paralelliği vermişte burada D köşesini o kadar yalnız bırakmışlar ki hiç hoş gözükmüyor.
D köşesinden bir paralel atmamız lazım dostlar.
D köşesinden paraleli nasıl atacağım.
E bu buna paralel verilmiş.
Bir tanede ben çiziyim.
Şimdi bu paraleli de ben çizdim.
Tamam.
Şimdi bakmanızı istediğim yer dostlar.
Şurada gördüğünüz AFD şuraya da mesela K diyelim.
K demeyelim de, E'yi de vermişiz G diyelim.
Şurada gördüğünüz kelebeğe bakmanızı istiyorum.
Şimdi burada kelebeğe bakınca m'ye x gelmişse 2m'ye ne gelmeli?
2x gelmeli.
Bitti.m m'ye x gelmiş buradaki oranı yazdım dostlar.
m/2m'ye de, m/2m eşittir x bölü aşağıda yeni oluşturduğum DG'nin uzunluğu.
1/2 oran var.
Burada da 1/2'lik oran olmalı.
DG dediğim x'in iki katı olmalı.
Tamam şimdi burada oluşturduğumuz şeyin işlemi bitti aslında.
Yani şuralara bakmamın hiç bir önemi yok artık.
Çünkü ben bunu kullanarak bu x'i buraya taşımış oldum artık.
Onun işlemi bitti.
Şu paraleli çektim ve bu ikisi buraya taşımış oldu.
Tamam şimdi bu üçgene bakıyorum bu üçgende de paralellik olduğu için oran yazabiliyorum.
Nasıl bir oran?
Şöyle bir orandan bahsediyorum.
3k bölü 4k bakın tamamını alıyorum.
3k/4k 3k/k yapmıyorum.
3k bölü 4k eşittir 2x bölü 16.
3k bölü 4k diyorum çünkü benzerlik olanlar bir ADG üçgeni, bir de ABC üçgeni.
Bu paralellik bu iki üçgen arasında.
O yüzden k'yi almıyorum k dediğim üçgene dahil değil.
C dediğim burada yamuğa dahil olduğu için k'yi hesaba katmadım.
Tamam mı?
3k'ye 2x gelmiş ise 4k'ye 16 geliyor.
Oranımız bu şekilde.
Buradaki oran şunlar sadeleşti.
3 bölü 4.
Dörde dört katı 16 mi gelmiş o zaman, 3'e de 3'ün 4 katı on iki gelmeli, 2x eşittir 12 olmalı dördün 4 katı 3'ün 4 katı 2x=12 ise x dediğim uzunluk 6 birim uzunluğundadır dostlar.
İkinci sorumuzla devam edelim.
Gördüğünüz gibi sadece kenar uzunluklarını verdim.
AD ve DC arasındaki oranı yazdım.
Buradaki ED uzunluğu yani x'in uzunluğunu bulmanızı istiyorum.
Şimdi soruya bakıyorum 2k var, 5k var da burada bir paralellik yok ki geçiş yapabileyim ya da herhangi bir açı da belirtmemiş geçiş yapabileceğim 90 derece yok, 60 derece yok hiçbir şey yok.
Nasıl ilerlemeliyim.
Bu soru biraz benzerlik andırıyor.
Bir şeyler tanımlıyor bana hiçbir şey vermeme ile.
Şimdi buranın 15 buranın da 15 olduğunu görüyorum, 9+6.
Soru da size bilerek vermedim.
|AB|=|BC|'yi vermedim ama uzunlukları toplayarak eşit olduğunu siz görmelisiniz.
Ve burası eşittir.
Burası ise bunların taban açıları da birbirine eşittir.
Burasına a kadar dersem burası da a kadar olmalı.
Aynı açı değerlerine sahip olmalı.
Tamam bu ikizliği yakaladım.
Şimdi açıyı yakaladıktan sonra benzerlik ihtimalim daha da arttı.
Şimdi burada bakmanızı istediğim üçgenler var.
AED üçgeni ve burada DBC üçgeninden bahsedeceğim.
Burada ilk üçgenini şuraya yazıyorum.
Hadi şuraya yazalım.
Böyle bir şekilden bahsediyorum, burası açım, burası altı, burası 2k gördüğü kenarda x.
AED'yi çizdim dostlar.
İkinci üçgenim de bu üçgen, bu üçgen de şöyle biraz daha büyük olsun görece şöyle çizelim.
DBC üçgeni açım burada, bu tarafta 5k var, bu tarafta 15.
Şimdi bu üçgen ere bakıyorum, açım var.
Çok güzel.
Acaba benzerlik var mı?
Şimdi benzerlik kontrolünde yapmam gereken şey aynı üçgen içerisindeki oranları kontrol etmek.
Bakın benzerlik var mı acabanın kontrolünü yapıyorum.
Burada k'li terim bölü diğer sabit sayı yapıyorum.
k'li terimi 2k sabit sayımda altı, bu tarafa geliyorum k'li terim 5k sabit diğer sayımda 15, açının yanındakileri böldüm bu arada tamam diyorum ki acaba bunlar eşit midir?
Bunlar eşitse çünkü benzerlik var diyeceğim.
Şimdi bunların bölümlerine bakıyorum 2k bölü 6 nedir?
k/3'tür, sadeleşti.
5k bölü 15 nedir?
Beşe dönersem?
Bu da k/3'tür.
E bunlar eşit çıktı.
E bu çok güzel.
Bu bana neyi ispatladı?
Bu üçgenlerin benzer olduğunu ispatladı.
Bakın benzerlik oranını bulmadım.
Benzer olduklarını ispatladım.
Benzerlik oranını nasıl bulacağınım dostlar.
Şimdi şurası şurayı sadece benzerlik olduğu için geçiş yapmıştık.
Benzerlik oranını bulmak için dostlar şuradan şuraya gidiyorum.
k'li terimler arasındaki benzerlik oranı ne olmuşsa, bu açının gördüğü kenarlar arasındaki benzerlik oranı da o şekilde gerçekleşmiştir.
2k/5k olmuş.
Birinci üçgende 2k olan ikinci üçgende 5k büyümüş.
O zaman bu oran aynı şekilde diğerleri arasında da geçerlidir.
Şimdi buradan bu üçgende kendi tabii şuraya yazmayı unutmuşuz.
Burası |BD|=10.
Bu üçgeni de burada ekleyelim.
Şuradan şu geçişi de göstermiş olalım.
Tamam.
Şimdi burada birinci üçgendeki 2k ikinci üçgendeki 5k, birinci üçgendeki açının gördüğü kenar uzunluğu bölü ikinci üçgende açının gördüğü kenar uzunluğu 10 bitti.
Sorunuz bitti dostlar.
5'e 5'in iki katı mı gelmiş, 10 gelmiş, 2'ye de 2'nin iki katı gelir o zaman x=4 bulunur dostlar.
Evet, devam edelim şimdi.
Size bir ABCD yamuğu verdim, kenar uzunlukları gördüğünüz gibi |DC|=3, |DB|=6, |BC|=8, |AB|=12 olarak ve |AD| uzunluğunu soruyorum size.
Şimdi soruya bakıyorum açı yok, 90 derece yok.
Herhangi kullanabileceğim, rahatlıkla gidebileceğim bir şey yok.
Tek verdiğim kopya ABCD yamuk.
ABCD'nin yamuk olması bana ne söyleyebilir ki.
İlk söyleyeceği şeyi söyleyeyim.
DC paraleldir AB.
Bunu kesinlikle söyleyebilirim.
Çünkü alt taban üst tabana paralel.
Tamam, şimdi bu bana ne anlatabilir?
Bu paralellik ne işime yarayabilir.
Bu paralellik açı taşımama yardımcı olabilir.
Açı taşımam ne işime yarayabilir?
Buradaki açıyı nasıl taşındı peki?
Paralel doğrular da iç ters açılarla taşıdım.
Bu paralellik ne işime yaradı?
Açımı taşıdığı.
Bu açı taşıma ne işime yaradı?
Belki benzerlik de kullanabilirim.
Şimdi bakmanızı istediğim üçgenler birinci üçgenim şu üçgen DCB üçgeni, ikinci üçgen de şurada gördüğünüz üçgen ADB üçgeni.
Şimdi üçgenleri ayrı ayrı çizelim.
Birinci üçgenin şöyle 3, 8, 6 burası a kadar.
İkinci üçgenim de nispeten daha büyük şöyle bir üçgen burası on iki, burası altı, burası a kadar karşı taraf x tamam yazmadığım bir şey yok.
Şimdi bu üçgene bakıyorum.
Bunlar da aynı açıyı yakaladım da acaba benzerliği yakaladım mı?
Onun kontrolünü yapmam lazım.
Benzerlik kontrolünü nasıl yapıyordum?
Aynı üçgen içerisinde bu eşit bulduğum açılar etrafında kenarları bir bölelim.
Burada 3 bölü 6 görüyorum.
Acaba burada da o oranı yakalayabilecek miyim?
Açının yanındaki kenarları bölüyorum.
Burada da 6/12 görüyorum.
Bunlar birbirine eşit.
İşte bunların birbirine eşit olması bu iki üçgenin benzer olduğunu ispatladı bize.
Bu oranlar bize bunların benzer olduğunu ama şimdi de benzerlik oranını bulmam lazım.
Birinci üçgendeki bu açının yanındaki küçük olan bölü, ikinci üçgendeki bu açının yanındaki küçük olana.
Eşittir birinci üçgende bu açının yanındaki büyük olan, ikinci üçgende bu açıdan yandaki büyük olan benzerlik oranı bu gördüğünüz orandır.
Bakın bu zaten buna eşittir.
3/6, 6/12.
Yani bire iki gidiyor.
Yani bu üçgenin iki katı budur.
Öyle de düşünebilirsiniz.
İki katı büyütülmüş gibi düşünebilirsiniz.
Yani buradaki 8 ise buraya geçişte iki katı olmalı diyorum.
O zaman x dediğim şey 16 bulunur dostlar.
