Örnek: Gerçek sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu her x gerçel sayısı için n tam sayı olmak üzere f(x) eşittir nx, x elemanıdır n -1 n aralığı biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre f(4) artı f(7 bölü 3) toplamı kaçtır?
Şimdi burada f(x)'i bana nx vermiş bana f(4)'ü soruyor.
Yani x gördüğümüz yere 4 yazacağız.
f(4) eşittir 4n fakat n ile ilgili bana bir aralık vermiş yani burada x elemanıdır n eksi 1 ve n demiş x'e ne dedik burada biz?
4 dedik.
4 elemanıdır n eksi 1 ve n.
Şimdi n'e hangi değer verirsem ben eğer 4'ün elemanı olur?
n eksi 1'e ben 4 dersem yani şöyle kapalı aralık 4 ile 5 aralığı dersem ben 4'ü de elemanı olmuş olur.
O halde n buradan nedir?
burası 20 gelmiş oluyor.
Şimdi f(7/3) sormuş x gördüğümüz yere 7 bölü 3 yazacağız yani x neydi burada 7 bölü 3tü.
7 bölü 3 elemanıdır n eksi 1 ile n aralığı.
7 bölü 3 nedir?
2 virgül küsürat yani 2 ile 3 aralığında olacak.
O halde şöyle kapalı aralık 2 ile 3 diyecek olursak n'imiz buradan ne gelmiş oldu?
n'imiz buradan bulabiliriz.
7 bölü 3 çarpı 3'ten buradan artı f(7/3)ü de 7 bulduk yani buradan cevabımız 27 gelmiş oluyor.
Örnek: f, R'den R'ye f,g ve h fonksiyonları f x artı 2, g 4 eksi x, h 2x eksi a olarak tanımlanıyor.
Bu üç doğrusal fonksiyonun grafiği a noktasında kesiştiğine göre a kaçtır?
Şimdi öncelikle ben kesişim noktasında bulabilmem için bu fonksiyonların ortak noktasına bakmam lazım.
yani birbirine eşit demem lazım.
x artı 2 eşittir 4 eksi x eşittir 2x eksi a.
O halde öncelikle ilk iki denkleme bakalım.
x artı 2 eşittir 4 eksi x, karşıya attık oldu?
1 gelmiş oldu yani fonksiyonda x gördüğüm yere 1 yazarsam 3, yine 1 yazarsam yine 3 olduğunu görüyorum.
Demek ki benim noktam yani bu y olacak.
O halde benim a noktası nedir?
1'e 3 noktası.
Yani bu üç fonksiyon 1'e 3 noktasında kesişir.
O halde h'a bakacak olursak artık h(x)'in ben ne olduğunu biliyorum?
2x eksi a olduğunu biliyorum, x gördüğümüz yere 1 yazalım a ne gelmiş oluyor?
-1 olmuş oluyor.
Örnek f(x) çarpı f(x-1) eşittir 9x kare eksi 21x artı n olduğuna göre n kaçtır?
Şimdi verilen iki fonksiyonu çarpmış ve sonucum ikinci dereceden olmuş.
O halde ikinci dereceden olması için fonksiyonların 1.
dereceden olması lazım.
1.
dereceden biz fonksiyonlara ne diyorduk?
Doğrusal fonksiyon diyorduk.
O halde f(x)'e şöyle birinci dereceden ax artı b gibi bir ifade diyelim.
O halde f(x-1) ne olacaktır?
f(x-1), a çarpı x gördüğümüz yere eksi 1 yazacağız.
x eksi 1 artı b.
a'yı dağıtıp buradan ax eksi a artı b.
Şimdi bu iki fonksiyonu çarpmamızı söylemiş.
O halde ax artı b ve ax eksi a artı b, yan yana çarpalım.
ax ile ax'i çarptım a kare x kare ax ile eksi a'yı çarptım eksi a kare x, ax ile b'yi çarptım artı abx sonra b'yi çarpalım artı abx, yine eksi ab olacak.
Buradan da b ile b'yi çarptım artı b kare.
Verilen bu ifade neye eşit olmuş olacak Verilen bu ifade 9x kare eksi 21x artı n olacak.
Dereceleri aynı olanların katsayıları da birbirine eşit olacak yani a kare neye eşit?
9'a.
a'sı ne gelebilir buradan?
3 ve -3 gelebilir.
Peki x'in katsayısına bakalım buradan, x'in katsayısını bulabilmemiz için x parantezine alalım.
Eksi a kare artı ab artı ab yani şu ifade neye eşitmiş?
21x'e.
Şöyle xler birbirini zaten götürür.
Şimdi a için iki değeri de yazalım.
a gördüğümüz yere öncelikle neye eşit?
Eksi 21'e.
Buradan 6b eşittir karşıya attım eksi 12'den b'si ne gelmiş oldu?
b'si eksi 2 gelmiş oldu yani şöyle diyebiliriz: a'sı 3 iken b'si buradan nedir?
Eksi 2'dir.
Peki şimdi ise a gördüğümüz yere eksi 3 yazalım.
Şöyle eksi 3 yazacak olursak eksi 3'ün karesi 9 önündeki var eksi 9 buradan eksi 3 yazdım buraya da eksi 3 yansın eksi 6b gelmiş oldu eşittir eksi 21.
Karşıya attım eksi 6b eşittir eksi 12'den b'si buradan 2 gelmiş oldu.
Peki a eksi 3 iken b'miz de buradan 2.
Son olarak bir de sabitlerin eşit olduğunu biliyorum ve burada n'i bulabilirim.
Eksi a çarpı b artı b kare neye eşitmiş?
n'e.
Şimdi iki değeri de yazalım.
Önce a 3 için yazalım eksi 3 çarpı b'si ne?
Eksi 2, artı b'ye eksi 2 demiştik.
Eksi 2'nin karesi 4, eşittir n.
n buradan ne gelmiş oldu?
10 gelmiş oldu.
Aynı şekilde a gördüğümüz yere eksi 3 yazacağız, önünde de a'nın şöyle eksi var b gördüğümüz yere de 2 yazacağız.
Peki devam ediyorum artık b kare demiş.
2'nin karesi buradan yapar?
4.
Yine buradan şurası eksi eksi artı yaptı 6 artı 4'ten yine 10 gelmiş olacak.
Her türlü n'i biz 10 bulmuş oluyoruz.
Buna göre f(4) artı f(7 bölü 3) toplamı kaçtır?
Şimdi burada f(x)'i bana nx vermiş bana f(4)'ü soruyor.
Yani x gördüğümüz yere 4 yazacağız.
f(4) eşittir 4n fakat n ile ilgili bana bir aralık vermiş yani burada x elemanıdır n eksi 1 ve n demiş x'e ne dedik burada biz?
4 dedik.
4 elemanıdır n eksi 1 ve n.
Şimdi n'e hangi değer verirsem ben eğer 4'ün elemanı olur?
n eksi 1'e ben 4 dersem yani şöyle kapalı aralık 4 ile 5 aralığı dersem ben 4'ü de elemanı olmuş olur.
O halde n buradan nedir?
burası 20 gelmiş oluyor.
Şimdi f(7/3) sormuş x gördüğümüz yere 7 bölü 3 yazacağız yani x neydi burada 7 bölü 3tü.
7 bölü 3 elemanıdır n eksi 1 ile n aralığı.
7 bölü 3 nedir?
2 virgül küsürat yani 2 ile 3 aralığında olacak.
O halde şöyle kapalı aralık 2 ile 3 diyecek olursak n'imiz buradan ne gelmiş oldu?
n'imiz buradan bulabiliriz.
7 bölü 3 çarpı 3'ten buradan artı f(7/3)ü de 7 bulduk yani buradan cevabımız 27 gelmiş oluyor.
Örnek: f, R'den R'ye f,g ve h fonksiyonları f x artı 2, g 4 eksi x, h 2x eksi a olarak tanımlanıyor.
Bu üç doğrusal fonksiyonun grafiği a noktasında kesiştiğine göre a kaçtır?
Şimdi öncelikle ben kesişim noktasında bulabilmem için bu fonksiyonların ortak noktasına bakmam lazım.
yani birbirine eşit demem lazım.
x artı 2 eşittir 4 eksi x eşittir 2x eksi a.
O halde öncelikle ilk iki denkleme bakalım.
x artı 2 eşittir 4 eksi x, karşıya attık oldu?
1 gelmiş oldu yani fonksiyonda x gördüğüm yere 1 yazarsam 3, yine 1 yazarsam yine 3 olduğunu görüyorum.
Demek ki benim noktam yani bu y olacak.
O halde benim a noktası nedir?
1'e 3 noktası.
Yani bu üç fonksiyon 1'e 3 noktasında kesişir.
O halde h'a bakacak olursak artık h(x)'in ben ne olduğunu biliyorum?
2x eksi a olduğunu biliyorum, x gördüğümüz yere 1 yazalım a ne gelmiş oluyor?
-1 olmuş oluyor.
Örnek f(x) çarpı f(x-1) eşittir 9x kare eksi 21x artı n olduğuna göre n kaçtır?
Şimdi verilen iki fonksiyonu çarpmış ve sonucum ikinci dereceden olmuş.
O halde ikinci dereceden olması için fonksiyonların 1.
dereceden olması lazım.
1.
dereceden biz fonksiyonlara ne diyorduk?
Doğrusal fonksiyon diyorduk.
O halde f(x)'e şöyle birinci dereceden ax artı b gibi bir ifade diyelim.
O halde f(x-1) ne olacaktır?
f(x-1), a çarpı x gördüğümüz yere eksi 1 yazacağız.
x eksi 1 artı b.
a'yı dağıtıp buradan ax eksi a artı b.
Şimdi bu iki fonksiyonu çarpmamızı söylemiş.
O halde ax artı b ve ax eksi a artı b, yan yana çarpalım.
ax ile ax'i çarptım a kare x kare ax ile eksi a'yı çarptım eksi a kare x, ax ile b'yi çarptım artı abx sonra b'yi çarpalım artı abx, yine eksi ab olacak.
Buradan da b ile b'yi çarptım artı b kare.
Verilen bu ifade neye eşit olmuş olacak Verilen bu ifade 9x kare eksi 21x artı n olacak.
Dereceleri aynı olanların katsayıları da birbirine eşit olacak yani a kare neye eşit?
9'a.
a'sı ne gelebilir buradan?
3 ve -3 gelebilir.
Peki x'in katsayısına bakalım buradan, x'in katsayısını bulabilmemiz için x parantezine alalım.
Eksi a kare artı ab artı ab yani şu ifade neye eşitmiş?
21x'e.
Şöyle xler birbirini zaten götürür.
Şimdi a için iki değeri de yazalım.
a gördüğümüz yere öncelikle neye eşit?
Eksi 21'e.
Buradan 6b eşittir karşıya attım eksi 12'den b'si ne gelmiş oldu?
b'si eksi 2 gelmiş oldu yani şöyle diyebiliriz: a'sı 3 iken b'si buradan nedir?
Eksi 2'dir.
Peki şimdi ise a gördüğümüz yere eksi 3 yazalım.
Şöyle eksi 3 yazacak olursak eksi 3'ün karesi 9 önündeki var eksi 9 buradan eksi 3 yazdım buraya da eksi 3 yansın eksi 6b gelmiş oldu eşittir eksi 21.
Karşıya attım eksi 6b eşittir eksi 12'den b'si buradan 2 gelmiş oldu.
Peki a eksi 3 iken b'miz de buradan 2.
Son olarak bir de sabitlerin eşit olduğunu biliyorum ve burada n'i bulabilirim.
Eksi a çarpı b artı b kare neye eşitmiş?
n'e.
Şimdi iki değeri de yazalım.
Önce a 3 için yazalım eksi 3 çarpı b'si ne?
Eksi 2, artı b'ye eksi 2 demiştik.
Eksi 2'nin karesi 4, eşittir n.
n buradan ne gelmiş oldu?
10 gelmiş oldu.
Aynı şekilde a gördüğümüz yere eksi 3 yazacağız, önünde de a'nın şöyle eksi var b gördüğümüz yere de 2 yazacağız.
Peki devam ediyorum artık b kare demiş.
2'nin karesi buradan yapar?
4.
Yine buradan şurası eksi eksi artı yaptı 6 artı 4'ten yine 10 gelmiş olacak.
Her türlü n'i biz 10 bulmuş oluyoruz.
