Öncelikle fonksiyonun tanımını yapalım.
A ve B boş olmayan iki küme olsun.
A kümesindeki her elemanı B kümesinde bir ve yalnız bir elemanı eşleyen ilişkiye A'dan B'ye bir fonksiyon denir.
Öncelikle biz iki tane küme çizelim.
Biri A kümesi olsun, diğeri ise B kümesi olsun.
Boş olmayan dediği için elemanlarını yazalım, A kümesine a, b, B kümesine de 1, 2, 3 diyelim.
A kümesindeki her elemanı B kümesinde bir ve yalnız bir elemanı eşleyen ilişkiye demiş o halde a, 1'e gitsin b 2'ye gitsin.
A'daki her eleman B'ye gitmek zorunda.
Fonksiyonlar genellikle f,g,h gibi küçük harflerle gösterilir.
A'dan B'ye bir fonksiyonun gösterimi f A'dan B'ye gidecek şekildedir yani A'dan B'ye ben bir tane f fonksiyonu tanımlıyorum burada A kümesine fonksiyonun tanım kümesi hemen yazalım tanım kümesi A, B kümesine fonksiyonun değer kümesi B kümesine ise değer kümesi denir.
f A eşittir f x elemanıdır A kümesine, A kümesinin f altındaki görüntü kümesi denir.
Bu ne demek?
A'daki değerler B'deki giden değerlere biz f(A) diyoruz yani a 1'e, b de 2'ye gitmiş.
3 burada boşta.
O zaman sadece bu 1 ve 2 ye bize f(A) diyoruz.
Yani bu nedir?
Görüntü kümesidir.
O halde bu görüntü kümesi daima değer kümesinin alt kümesidir.
Evet burada görüntü kümem 1 ve 2'dir, değer kümem ise 1, 2, 3 tür ve alt kümesi olduğunu görüyoruz f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.
Tanım kümesinin A kümesi x elemanı değer kümesinin yani B kümesi y elemanına f fonksiyonu ile bağlı ise x virgül y elemanıdır f.
Hemen başlayalım şimdi x dediğim neymiş benim?
Tanım kümem yani a nereye gitmiş?
1'e.
O zaman şöyle öncelikle biz x virgül y yazacağız, x dediğim benim tanım kümem y dediğim benim görüntü kümem.
O halde a nereye gitmiş burada?
nereye gitmiş?
2'ye veya b virgül 2 yazabiliriz.
Devam edelim, veya y eşittir f(x).
Bu şekilde gösterilebilir veya y eşittir f(x) şekilde de gösterilmiş, önce bakalım x benim tanım kümemdi yani f(a) nereye eşit olacak?
1'e.
Görüntü kümesine, x tanım kümem y görüntü kümem yani f(a) eşittir 1 şeklinde gösterebiliriz veya f(b) burada önce tanım kümesi yazıyoruz.
Evet f(b) eşittir burada 2 şeklinde yazabiliriz veya f, x'ten y'ye gidecek biçimde gösterilir.
Öncelikle burası tanım kümem.
y'si görüntü kümem.
Her zaman önce tanım kümesi gelir.
y eşittir f(x) ise x elemanıdır A, f(x) elemanıdır B'dir.
Zaten bunun biz görüntü kümesi olduğunu biliyoruz.
Şimdi ise örnekler üzerinden konuyu pekiştirelim.
Örnek: Aşağıda verilen f, g, h ilişkilerinde hangisinin fonksiyon olduğunu bulunuz.
D'den E'ye bir f fonksiyonu tanımlanmış.
O halde f fonksiyonum D'den E'ye gitmiş.
D kümesine biz ne diyorduk?
D kümesine biz tanım kümesi E kümesi ise değer kümesidir.
Şimdi E fonksiyonu tanımından f(a) nereye gitmiş değer kümesinde kümesinde bir elemana gitmemiş.
Fonksiyonun tanımında neydi?
Tanım kümesinde hiçbir şekilde boşta eleman kalmayacak.
Boşta eleman kalıyorsa bu bir fonksiyon değildir.
Şimdi gelelim g fonksiyonuna.
g fonksiyonu ise K'dan L'ye tanımlanmış.
O halde g(a), a elemanı nereye gitmiş?
g(a), c'ye gitmiş.
Peki g(1) nereye gitmiş?
g(1) b'ye.
g(2) nereye gitmiş?
g(2) de c'ye gitmiş.
Tanım kümesindeki iki farklı eleman aynı değere sahip olabilir ve aynı zamanda değer kümesinde boşta eleman kalabilir.
O halde bu bir fonksiyondur Şimdi gelelim h fonksiyonuna.
h fonksiyonu ise m'den n'ye gitmiş.
O halde h(a) hangi elemanı almış?
h(a), 2 elemanına gitmiş.
h(b) ise 1'e gitmiş.
Devam ediyorum, h(3) ise c'ye gitmiş fakat h(3) aynı zamanda d'ye de gitmiş yani tanım kümesindeki bir eleman iki farklı yere gidemez.
Bir tanım kümesindeki bir eleman iki değer alamaz.
O halde bu bir fonksiyon değildir.
Fonksiyon tanımı nedir?
Matematikte değişkenleri girdi olarak kabul eden ve her bir girdiden yalnızca bir çıktı oluşmasını sağlayan kurala fonksiyon denir. Fonksiyon matematiğin temel konularından biridir. Bunun yanında günlük hayatımızda da fonksiyon kavramını fark etmeden sıkça kullanmaktayız. Örneğin bir manava gittiğinizde aldığınız ürünün miktarına göre ödenecek tutar da değişir. Ürün miktarı ve ödenecek tutar arasındaki ilişkiyi bir örnekle inceleyelim. Bir kilo elmanın 10 TL olduğunu varsayarsak bir kilo elma alan kişi 10 tl öderken, 3 kilo elma alan biri ise 30 TL ödeme yapar. Bu örnekte alınan elma miktarı girdi iken, ödenecek tutar ise çıktıdır.
- Örneğimizi incelediğimiz de her bir girdi için bir çıktı hesaplayabiliyoruz.
- Alınan elma miktarına göre ödenecek ücret yani çıktımız ise yalnızca bir tanedir.
Fonksiyon kavramının matematiksel tanımına geçmeden önce, fonksiyonların iki çokluk arasında bu iki şartı sağlayabilen bağıntılar olduğunu söyleyebiliriz.
Fonksiyon nedir?
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elamanı B’nin yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A’dan B’ye tanımlı bir fonksiyon denir.
f : A → B biçiminde gösterilir.
Fonksiyon formülü nedir?
A kümesinden B kümesine tanımlanmış bir fonksiyon bağıntısı;
şeklinde gösterilir.
Tanım kümesi ve değer kümesi nedir?
f : A → B biçiminde verilen bir fonksiyon için A tanım kümesi iken, B kümesi fonksiyonun değer kümesidir.
Fonksiyon nerelerde kullanılır?
Fonksiyonlarla günlük yaşantımızın pek çok yerinde karşılaşırız. Matematiğin yanı sıra fizik, mühendislik, mimarlık gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Özellikle bilgisayar programcılığında fonksiyonlar sıkça kullanılmaktadır.
Fonksiyon olma şartı nedir?
f : A → B biçiminde tanımlanmış bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için;
- A kümesi, yani tanım kümesinin, her bir elamanı değer kümesinde bir elemana gitmelidir. A kümesinde açıkta bir elaman kalmamalıdır.
- A kümesinin bir elamanı B kümesinden yalnızca bir eleman ile eşlenmiş olmalıdır.
Fonksiyon çeşitleri nelerdir?
- Birebir fonksiyon
- Örten fonksiyon
- İçine fonksiyon
- Sabit fonksiyon
- Birim fonksiyon
- Çift ve Tek fonksiyon
- Ters fonksiyon
- Bileşke fonksiyon
Birebir fonksiyon nedir?
Bir fonksiyonda tanım kümesindeki elemanların görüntüleri de birbirinden farklıysa buna bire bir fonksiyon deriz.
Kural olarak göstermemiz gerekirse: ∀ a,b ∈ A için, f(a) = f(b) iken, a = b oluyorsa f fonksiyonu bire birdir.
Örten fonksiyon nedir?
Görüntü kümesiyle değer kümesinin aynı olduğu fonksiyonlara örten fonksiyon deniyor, yani f : A → B biçiminde tanımlanmış fonksiyonumuzda B kümesinin eşi olmayan eleman olmaması gerekiyor!
İçine fonksiyon nedir?
f : A → B biçiminde tanımlanmış fonksiyonumuzda değer kümesinde, yani B kümesinde, eşi olmayan eleman varsa bunu içine fonksiyon deriz.
Sabit fonksiyon nedir?
Birim fonksiyonla birlikte hatırlaması en kolay olan fonksiyon sabit fonksiyondur. Sabit fonksiyonda A kümesindeki her bir eleman B kümesindeki tek bir elemana eştir. Sabit fonksiyon:
∀x ∈ A ve c ∈ B için, f : A → B f(x) = c şeklinde tanımlanır. Buradaki “c” değeri sabit değeri ifade eder.
Birim fonksiyon nedir?
Tanım kümesindeki her eleman B kümesinde kendisiyle eşlenirse buna birim fonksiyon deriz. Birim fonksiyon “I“ ile gösterilir.
Çift ve tek fonksiyon nedir?
Çift fonksiyonlar f(x) = f(-x) fonksiyonlardır. Mesela f(2)’nin f(-2)’ye eşit olması gibi.
Eğer f(x) = -f(x) ise bu durumda da tek fonksiyon deriz. Mesela f(2)’nin -f(2)’ye eşit olması gibi.
Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetrik iken, tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir.
Ters fonksiyon nedir?
Elimizde yukarıda bahsettiğimiz gibi birebir ve örten bir fonksiyon olması gerekiyor: şayet öyle bir fonksiyonumuz var ve f: A → B’ye tanımlanmış ise;
Tanım kümesini B, değer kümesini A olarak ters çevirerek ters fonksiyon elde edebiliriz. Böylelikle fonksiyonun tersini alma işlemi uygulanmış olur.
Fonksiyonun tersi;
f-1 : B → A ve f-1(y) = x şeklinde gösterilir.
Bileşke fonksiyon nedir?
İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek tek fonksiyon yapmaya bileşke fonksiyon denir.
f : A → B ve g : B → C tanımlı fonksiyonlar verilsin.
Bu iki f ve g fonksiyonlarının bileşkesi gof : A → C üzere
gof(x) = g(f(x)) şeklinde gösterilen fonksiyonlara f ve g fonksiyonlarını bileşkesi denir.
