Parabol Modelleri

Şimdi ise yeni bir özellikle devam edelim.
Tepe noktası T(r,k) olan f(x) eşittir ax kare artı bx artı c parabolü f(x) eşittir a çarpı x eksi r'nin karesi artı k şeklinde de ifade edilebilir.
Yani biz tepe noktasını bulmayı öğrendik.
R'yi ve k'yı verilen fonksiyonda eksi b bölü 2a yerine yazıp R'yi sonra denklemde yerine yazıp k'yı buluyorduk.
Bunun yerine diyor ki bana f(x) fonksiyonu bu şekilde gösterilirse direkt r'yi ve k'yi buluruz.
Örneğin f(x) eşittir üç çarpı x artı 4'ün karesi eksi 5 parabolünün tepe noktasını bulunuz.
Mesela burada x sayısı 4'ün karesini açıp tek tek düzenlemek yerine direkt verilen ifadeden bunu şöyle düzenleyebiliriz.
Üç çarpı x eksi eksi dördün şöyle karesi eksi 5.
İşte buradan direk r'si ne gelmiş oldu?
Eksi 4.
K'sı ne gelmiş oldu?
Eksi 5.
Artık tepe noktasında eksi 4 eksi 5 bulmuş olduk.
Örnek.
Y eşittir eksi 2 çarpı x artı birin karesi eksi 3.
Y eşittir x kare eksi 6x artı 9 parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Şimdi önce verilen ifadeyi düzenleyecek olursak eksi iki çarpı x eksi eksi 1'in karesi eksi 3.
Buradan r'si ne gelmiş oldu r'si eksi bir k'sı ne gelmiş oldu?
K'sı da eksi üç.
O halde tepe noktası ne olmuş oldu?
Eksi bire eksi üç.
Aynı şekilde burada da yine x'e x diyelim çarpanlara ayıralım bir düzenleyelim eksi 3'e eksi üç.
Yani x eksi 3'ün karesi gelmiş oldu verilen ifade.
Peki burada artık r'si ne gelmiş oldu?
Eksi üç dediği için yani x eksi r'nin karesi olacağı için r'si buradan direkt Üç gelmiş oldu.
Peki k'sı nedir?
Yanına artı k eklememiz gerekir ama k burada olmadığı için yani.
Sıfır.
Demek ki verile ifadenin tepe noktası ne olmuş oldu?
3'e sıfır.
Tepe noktaları arasındaki uzaklığı sormuş.
O halde iki nokta arasındaki uzaklığı nasıl bulacağız?
Neydi kuralımız?
x'lerin farkının karesi, artı y'lerin farkının karesi.
Bir de şöyle kök içerisinde o halde Eksi bir eksi bir eksi üçün karesi artı y'lerin farkı eksi 3'ten sıfırı çıkaralım karesi.
Sonra kök içerisine alalım.
Eksi 4'ün karesi 16 artı eksi 3'ün karesi.
Yani dokuz.
Kök içerisine aldık.
Buradan kök 25, cevabımız bizim 5 gelmiş oldu.
Yeni bir özellikle devam edelim.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar x1'e 0 ve x2'ye 0 verilmişse y eşittir a çarpı x eksi x1 çarpı x eksi x2 denklemi kullanılır.
Yani verilen parabolde kökleri verilmişse köklerden yola çıkarak bu formül ile denklemi oluştururuz.
Hemen bakalım.
Örnek.
Aşağıda x eksenini x 2'ye 0, 3'e 0 ve y eksenini 0'a eksi 6 noktasında kesen Y eşittir f(x) parabolü çizilmiştir.
Buna göre Y eşittir x fonksiyonunu bulunuz.
Şimdi öncelikle başlayalım.
f(x) eşittir a çarpı x eksi kökü kök burada nedir?
Eksi iki.
Çarpı x eksi Diğer Kök Nedir?
Üç.
Yani x eksenini kesen noktaları vermiş.
Peki bir de bir nokta daha vermiş bu nokta nedir?
Grafik grafiğin üzerinde sıfıra eksi 6 noktasıdır.
Yani f(0) neye eşit burada?
Eksi 6'ya.
O halde verilen denklemde direkt x gördüğümüz yere sıfır yazıp eksi 6'ya eşitleyeelim.
A çarpı sıfır yazarsam dedik iki gelir sıfır yazarsam direkt eksi 3 gelir.
Buradan eksi 6 eşittir a çarpı eksi 6 her tarafı eksi altıya bölecek olursak a buradan bir gelmiş olur.
Artık benim f(x) fonksiyonunu şöyle düzenleyecek olursak.
A gördüğümüz yere bir yazalım.
F(x) eşittir.
A gördüğümüz yere bir yazdık etkisiz yani etkisi yok.
X artı 2 çarpı x eksi 3.
Bunu şöyle düzenleyelim.
f(x) artık neye eşittir?
x kare eksi 3x artı 2x'ten eksi x eksi 6.
Verilen fonksiyonun denklemi bu şekilde bulunur.
Yeni bir özellikle devam edelim.
F(x) eşittir ax kare artı bx c parabolünde a büyüktür sıfır ise parabolün en küçük değeri f(r) eşittir k'dır.
Parabolde a büyüktür sıfır ise kollar yukarı.
O halde kollar yukarı ise en küçük değer bulunur.
En küçük değer ise k değeridir.
A küçüktür 0 ise parabolün en büyük değeri f(r) eşittir k'dır.
A sıfırdan küçükse kollar aşağı.
O halde en büyük değer bulunur.
En büyük değer ise k d eğeridir.
Şimdi bununla ilgili bir örneğe bakalım.
Örnek A eşittir a kare eksi 4a artı bir.
B eşittir eksi B kare artı 6b artı 5 olduğuna göre A'nın alabileceği en küçük değer ile b'nin alabileceği en büyük değerin toplamı kaçtır?
Şimdi A'nın alabileceği en küçük değer demiş.
Verilen A ifadesinde a karenin katsayısı nedir?
Burada bir yani pozitif olduğu için kollar yukarı olacak o halde.
O yüzden en küçük değeri sormuş oluyor.
Böyle bakacak olursak b karenin katsayısı nedir burada?
Negatif.
Negatif olduğu için nedir?
Kollar yukarı.
O yüzden neyi sormuş bana en büyük değeri.
İkisi için de ne ihtiyacım var?
K değerine ihtiyacım var.
K neye eşit?
f(r)'ye.
Peki r'yi nasıl buluyoruz?
Eksi B bölü 2a peki eksi b'si ne burada?
a'nın katsayısı eksi 4 iki çarpı a'sı ne?
a karenin katsayısı.
Yani bir.
Buradan cevabımız iki gelmiş oldu.
Artık r'yi bulduk.
Yani k neye eşit?
f(2)'ye.
Peki A gördüğümüz yere 2 yazacağız.
2'nin karesi eksi 4 çarpı iki artı bir buradan dört eksi 8 artı Birden cevabımız eksi 3 gelmiş oluyor.
Şimdi B'ye bakalım şu a için bir de B ye bakalım.
Yine B de en büyük değeri bulabilmek için k'ya bakmam lazım.
K neye eşitti?
F(r)'ye.
Devam ediyorum.
f(r) neye eşitti?
Eksi b bölü 2 a, buradan eksi b'si dediğim ne b'nin katsayısı 6.
İki çarpı a'sı dediğim ne?
B karenin katsayısı yani eksi bir eksi 6 bölü eksi 2'den cevabımız buradan üç gelmiş oldu.
Yani burada r'yi bulduk üç diye.
O halde k neye eşit oldu f(3)'e.
O halde b gördüğümüz yere üç yazıyoruz buradan eksi 3'ün karesi artı 6 çarpı üç, artı 5.
Buradan eksi 9, artı 10, 8 artı 5.
Cevabımız buradan 9 artı 5'ten 14 gelmiş oluyor.
Peki bu da b'nin en büyük değeri.
Bana en büyük değer ile en küçüklerin toplamı demiş.
14 eksi 3'ten cevabımız 11 gelmiş oluyor.