Eşkenar Üçgen ve Özellikleri

Merhabalar, herkese eşkenar üçgen konusundayız.
Tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgenden bahsediyoruz.
Kenarları eşit olduğu için her bir iç açısı da eşittir.
İç açılar toplamı 180 derece ise her bir iç açısı 180 bölü 3'den 60 derecedir.
Şimdi ikizkenardan ikiz olan kenarlarının birbirine ait yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları eşittir demiştik.
Burada ise tüm kenarlara ait yüksekliği, kenarortay, açıortay uzunlukları birbirine eşittir.
Bu ne demek peki?
Yani ben bir kenara ait kenarortayı aynı zamanda bir kenara ait kenarortayı çizersem.
Aynı zamanda o üçgenin açı ortayını ve yüksekliğini de çizmiş oluyorum arkadaşlar.
Yani ben burada AD'yi çizersem burasını açıortay dersem hem kenarortay olacaktır hem de yüksekliğim olacaktır.
Burada açıortay olduğu için 30'a 30 yani iç açıyı 60 olduğu için 30 30 bölecek.
Bir iç açım 60.
Burada özel bir üçgen olan 30 60 90 üçgenim oluşuyor.
Dik üçgende de üstünden geçilecektir.
Fakat eşkenar üçgen sorularında da sıkça danışıldığı için anlatmakta fayda var.
30, 60, 90 üçgen özel bir üçgendir.
30 derecenin karşısı A uzunluğu ise 60 derecenin karşısı 30 derecenin karşısının kök 3 katı, 90 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısınnın iki katıdır.
Yani ben 30'un karşısına A dersem 60'ın karşısı yani AD dediğim yükseklik açıortay kenarortayın uzunluğu A kök 3, A'nın kök 3 katı, 30 derecenin kök 3 katı, 90'nın karşısı ise 30 derecenin karşısının iki katı olmakta.
Arkadaşlar bu uzunlukları bilmekte fayda var.
Bazı eşkenar üçgen sorularında tabii ki de sıkça sorulmaktadır.
Şimdi biraz özel durumlardan bahsedelim.
İç bölgede herhangi bir yerde bir nokta alıp her bir kenara çizdiğimiz paralellerin uzunlukları toplamı arkadaşlar.
Burada gördüğünüz gibi BC'ye paralel çektim, AC'ye paralel çektim, AB'ye paralel çektim.
Bütün kenarlara paralel çektim, uzunlukları harf olarak atadım böyle.
Dedim ki a artı b artı c yani bu içeride çizdiğim paralellerin toplamı eşittir bir kenar uzunluğu.
AB ya da AC ya da BC.
Mevzumuz bu kadar.
İçeride bir nokta alıyorum.
Kenarlara paraleller çekiyorum işte bu paralel uzunlukların toplamı bir kenar uzunluğuna eşit.
Çevreye falan demiyoruz arkadaşlar.
Bir tane kenar uzunluğumuza eşittir diyeceğiz.
Şimdi havada kalmasın.
Bir örnekle üstünden geçelim.
ABC eşkenar üçgenini veriyorum.
AE'yi on bir santim olarak diyelim ve 15 santim olarak verelim BE'yi.
Şu gördüğünüz yeri de 4 kök 3 olarak versin.
Şimdi ben üstte size içeride aldığım bir noktadan kenarlara paralel çizerek bir kural gösterdim.
Burada BC kenarına paralel var, AC kenarına da paralel var ama AB kenarına paralel yok.
Demek ki onu çizmem lazım.
Şimdi burada dikme vermiş bana.
Dik değil ama üstteki kuralı uygulayabilmek için bir paralel daha lazım.
Vermediğim kenar bu.
O zaman buna bir paralel atarsam böyle bir şekil elde edeceğim.
Şimdi eşkenar üçgen ise bütün kenarları eşit ve her bir iç açısının 60 derece olduğunu biliyorum.
Buradan 60 dereceleri yazabilirim.
Şimdi burada da paralel çektiğimiz için arkadaşlar şu paralelliği şöyle 3 tane ile gösterelim.
Hatta burada yöndeş açılar kuralıyla eğer burası 60 derece ise bu altmışı buraya da taşıyabiliyorum.
Böyle biraz daha yaklaşıp rahatça görmek açısından 60 derece, 90 derece.
O zaman buradaki açım 30 derece oldu.
Arkadaşlar burada gördüğünüz PDK diyelim.
PDK üçgeninde 30 60 90 üçgenini yakaladık.
İşte burada 60'ın 60 derecenin karşısı 4 kök 3 ise 30 derecenin karşısı yani KD uzunluğu arkadaşlar 60 derecenin kök 3'e bölünmüş hali.
Yani 4 santime eşittir.
O zaman 30'un karşısı 4 ise 90'ın karşısı bunun iki katı yani 8 diyeceğim.
Yani ben burada yeni çizdiğim paralelin uzunluğunu 8 santimetre buldum arkadaşlar.
Bu verdiği dikme 30 60 90 üçgeni yaratıyor ve bunun sayesinde buradaki bu paralel uzunluğunu hesaplayabildim.
Soru çeşidi olarak aktarıldı bize.
Şimdi ne demişti kuralda?
İçeride çizdiğim paralellerin toplamı x artı y artı diğer paralel.
8 eşittir bir kenar uzunluğu, bir kenar uzunluğu zaten sorunun başında verilmiş.
Yazılmış 11 artı 15 yani yirmi altı.
O zaman x artı y dediğim yirmi altı eksi 8'den on sekiz olarak bulabiliriz arkadaşlar.
Şimdi tekrar eski düzene dönüp devam edelim.
Bir başka özelliğimiz de arkadaşlar yine üçgen içindeki herhangi bir yerden alınan noktadan her kenara atılan dikmeleri toplamı üçgenin bir kenarına ait yüksekliği kadar olur.
Yani zaten bütün köşelerden attığım yükseklikleri eşit olduğu için isterseniz ha deyin, isterseniz hb isterseniz hc deyin.
İşte bu içeride aldığım noktalardan kenarlara dikmeler atıyorum.
Birinin uzunluğuna x diyorum, birinin uzunluğuna Y ve Z diyorum.
x artı y artı z kural gereği x artı y artı z dediğimiz A'dan B'den ya da C'den atılan herhangi bir yüksekliğin uzunluğu kadardır.
Arkadaşlar bu eşitliği yine soru tarzları içerisinde göreceksiniz.
Çünkü yine bahsettiğim gibi 30 60 90 üçgeni yaratılmaktadır.
İşte bu toplam bize rahat bir görüş sağlamamakta.
Fakat böyle üçgenin içerisinde bir köşeden atılan dikme yarattığı için 30 60 90 üçgeni bize açı olarak ya da kenar uzunluğu olarak çok kullanılabilirlik sağlıyor arkadaşlar.