İki Eğri Arasında Kalan Alan

Merhaba sevgili arkadaşlar, bu videomuzda integralde alan bulma ile ilgili bir özellikten daha bahsedeceğiz.
Burada iki eğri arasında kalan alanı inceleyeceğiz.
Arkadaşlar grafiğimize bakalım y eşittir f(x) fonksiyonu, y eşittir f(x) eğrisi, y eşittir g(x) eğrileri verildi.
Bu ikisinin arasında kalan alan A1 olsun.
Burada yapacağınız tek şey sınırları a'dan b'ye kadar taranmış integrali a'dan b'ye kadar alıp üstteki eğri eksi, alttaki eğri şeklinde yazmamız gerekiyor.
Neden bunu yaptık?
Şimdi f(x) dediğimizde eksi sadece f(x) yazdığımızda bakın şu alanı buluruz.
Bu alandan burayı çıkartmamız gerekiyor.
Bu taradım yer neresi?
Bu da g(x)'in belirttiği alan.
O yüzden sadece f(x)'i yazdığımız alandan yani integral f'ten integral g'yi çıkartmamız gerekiyor.
Bunları da birleştirdiğimizde bu integral ortaya çıkıyor zaten.
Yani ne yapmamız gerekiyormuş?
Üstteki eğriden alttaki eğriyi çıkartmamız gerekiyor alanı bulmak için.
Bakın Şekil 2'de de a'dan b'ye aldım yine integrali.
Bu sefer üstteki g alttaki f olduğu için burada g eksi f yazdık.
Arkadaşlar bunu karıştırır iseniz yanlışlıkla f eksi g yazarsanız ne olur integralin sonucu negatif çıkar zaten.
Üstekinden alttakini çıkartmamız gerekiyor arkadaşlar.
Bakalım sorumuza y eşittir 3x kare eğrisi, y eşittir x doğrusu verildi.
Doğrusunun sınırladığı alanı bulalım dedi.
Şimdi sınırladığı alan nereden nereye kadar taramış önce onu bulmamız gerekiyor.
Yani bu kesiştikleri nokta bize lazım.
İki eğrinin, bir eğri bir doğrunun nasıl kesiştiği noktayı nasıl buluruz arkadaşlar?
Birbirini eşitleyince.
3x kare eşittir x diyerek kesiştikleri noktanın apsisini bulabiliriz.
Buradan 3x kare eksi x eşittir sıfır elde ederiz.
x parantezin aldığımızda 3x eksi 1 eşittir 0.
Her iki çarpan sıfıra işlediğinde x eşittir 0 ve x eşittir bir bölü üç elde ederim.
e eksinini 1 bölü 3'te kesiyormuşuz arkadaşlar pardon kesiştikleri noktanın apsesi 1 bölü 3'müş ve diğer noktamız da x eşittir 0.
Yani biz integrali nereden nereye almamız gerekiyor?
İntegral sıfırdan bir bölü üçe taranmış.
Üstteki hangisi burada.
Böyle 3x kare, kare var o daha büyük ondan çıkartalım gibi algılamayın.
Üstteki burada ne?
Bakın bu alanda üstte y eşittir x doğrumuz var değil mi?
O yüzden x'ten 3x kareyi çıkartmamız gerekiyor.
dx dediniz ve bu integrali sonucu bize taralı alanı verecek.
İntegrali alalım.
x'in integrali x kare bölü iki.
3x karenin integrali de x küp.
Sınırlarımız bir böl 3'ten 0'a.
Sıfırdan bir bölü 3'e.
Yazalım bu değerleri yerine bir bölü üçü yerine yazarsanız arkadaşlar bir bölü dokuz bölü iki yani bir bölü on sekiz.
Eksi bir bölü üçü burada yerine yazdığınızda eksi bir bölü yirmi yedi elde ederim.
0 yerine yazınca zaten sıfır buldunuz.
O zaman bu işlemi yaptığımızda cevap bulacağız.
Bunda 54'te paydayı eşitlersek buraya üç, buraya iki dedim.
Yani son olarak 3 bölü 54 eksi iki bölü 54'ten oradaki alan arkadaşlar, 1 bölü 54 birim kare olmalıymış.
Bir örneğimiz daha var.
Şekilde y eşittir x kare eksi 4 eğrisi ve d doğrusunu sınırladığı alanı bulunuz.
Bakın d doğrusunun denklemini vermedi.
Bir tarama da yapmadı.
Bahsettiği alan neresi?
Bu sadece bu eğri ve doğrudan bahsetti.
Bakın y eşittir x kare eksi 4 eğrisi ve d doğrusu bu ikisinin arasında kalan alan şu kısımdır arkadaşlar.
Biz buranın alanını bulmaya çalışıyoruz.
O zaman kesiştikleri noktaları bulmalıyız.
Bir kere parabolümüz x kare eski 4 ise x'e 0 verdiğinizde y eşittir eksi 4.
Yani şurası eksi 4'tür arkadaşlar.
y'ye 0 verirseniz x kare eksi 4 sıfıra eşitledi.
Bu da x eksi 2 çarpı x artı 2'dir.
O halde x eşittir 2 ve x eşittir eksi 2 elde ederiz.
Yani x eksenini eksi 2 ve 2'de kesiyormuş.
d doğrusunun denklemini vermedi.
Ama bulmamız için her şey var şimdi değil mi?
Eksenleri kestiği nokta bilinen doğrunun denklemi nasıl bulunuyordu?
x bölü x'i kestiği nokta artı y bölü y'yi kestiği nokta eşittir bir diyerek denklemi buluyorduk.
O zaman burayı eksi birle burayı da ikiyle payda eşitlerseniz 2x eksi y bölü 4 eşittir 1.
Yani 2x eksi y eşittir 4.
Buradan y'yi yalnız bıraktığımızda denklemimiz arkadaşlar 2x eksi 4'müş, d doğrusunun denklemi bu.
O zaman üstekinden, üsteki ne burada yine d doğrusu değil mi, üstekinden integral nereden nereye taramışız 0'dan 2'ye kadar tarandı.
Bakın 0'dan 2'ye üstteki doğrumuz yani 2x eksi 4 bundan x kare eksi 4'ü çıkartmamız gerekiyor.
Evet bu integrali sonucu bize alanı verecek arkadaşlar bunu da düzenleyelim.
0'dan 2'ye eksi x kare artı 2x eksi 4 artı 4 onlar da birbirini götürdü.
Evet bu integral de alalım.
Eksi x karenin integrali eksi x küp bölü 3.
2x'in integrali x kare.
Sınırlarımız 0'a 2.
Şuradan devam edelim 2'yi yerine yazarsam eksi 8 bölü 3 artı 4.
0 yerine yazımızda zaten 0 elde ediyoruz.
Cevabımız bu o halde.
Bu da payda eşitler deseniz 3'le payda eşit dedim.
Eksi 8 bölü 3 artı o12 bölü 3'ten arkadaşlar, cevabımız 4 bölü 3'tür.
Taralı alan 4 bölü 3 birim kare olmalıymış.