Merhaba sevgili arkadaşlar, İntegral yardımıyla alan bulma örneklerine devam ediyorum.
Yanda y f x fonksiyonunun grafiği vеrіldі.
Taralı alanın 6 birim kare olduğu söylenmiş ve biz bu integralin sonucunu alıyoruz.
Öncelikle 2 fx'i içeriye dağıtarak yeni bir integral bulacağım arkadaşlar.
2 fx çarpı f türev x bu integrali parçalayarak yazacağım.
Artı iki f x'i bir de ikiye dağıttığımızda 4 f x dx elde edelim.
Sınırlarımız da eksi ikiden dörde.
Eksi 2 4.
Birinci integrali bulmak için ne yapmalıyız?
F x var, f türevi var, o halde f x'e değişken verelim değil mi?
f x eşittir u derseniz diferansiyel aldığınızda f türevi x dx eşittir du elde ederi̇m.
Sınırları da değiştirelim.
X yerine eksi iki yazdığımda bu eşittir bakın burada yerine yazın.
U eşittir f eksi iki olur.
Eksi 2'nin de 5 olduğu grafikte söylenmiş.
Eksi 2 de 5'e eşittir.
Eksi yerine 4'e yazarsanız u eşittir f 4 olur.
f 4 de bakın x eksenini 4'te kesiyor.
f dört de sıfırdır.
Yani birinci integral için dönüştürülmüş hali eksi 2'den 4'e idi integralim.
Artık eksi 2 yerine 5 yazdım.
4 yerine 0 yazdın.
2 f x yerine bu f türev x dx yerine de du yazdım.
Bu integrali alırsanız iki bunun integrali u karedir.
Sınırlarımız 0'dan beşe.
Sıfırı yerine yazdım, beşi yerine yazdım ve bunların farkını aldığımda bu integralin sonucu eksi 25 dir arkadaşlar.
Birinci integral tamam.
İkinci integral için grafiğe tekrar dönmek istiyorum.
Bakın taralı alan eksi ikiden dörde kadar taranmış.
O halde eksi ikiden dörde f x dx bize bu taralı alanı ifade eder.
Taralı alanın da 6 birim kare olduğu söylenmiş.
Yani bu integralin sonucu altıdır.
Arkadaşlar bizden istenen ikinci integralde bakın kat sayısı var.
4.
Bu dördü dışarıya çıkartabiliyorduk.
Eksi ikiden dörde f x deyip ikinci integralimiz buranın altı olduğunu biliyorsak arkadaşlar bunun sonucu da 24'tür.
Evet bu iki integrali birinci integrali eksi 25 beş buldum, ikinci integrali de yirmi dört buldum.
Cevabımız eksi yirmi beş artı 24'ten cevabımız eksi bir olmalıdır.
Bakalım diğer sorumuza.
Evet, bu soruda bize grafik vermedi x kare eksi 2x eğrisi bu doğrular ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı isteniyor.
Burada şunu yapmayın arkadaşlar integral işte eksi 1 ile 4 aralığında integral soruluyor deyip buraya da f x'i yazıp x kare eksi 2x dx dediğinizde her zaman alanı bulamayabilirsiniz.
Çünkü istenen aralıkta fonksiyon eğrimiz x ekseninin altına inebilir.
x ekseninin altındaki alanı bulurken de orayı ifade eden integral başına eksi yazmamız gerekiyordu.
Yani bu integrali parçalayarak bazılarının önüne eksi koymamız gerekebilir.
Bunun sonucu size her zaman alanı vermeyebilir.
Direkt bunu yazmıyoruz.
Ne gerekiyor?
Eğri görmemiz gerekiyor.
Bu bir paraboldur.
Parabol için x ekseni veya ekseni kestiği noktalara bakacağım.
X eşittir 0 ise Y eşittir sıfırdır.
Y'ye 0 verelim.
Bu durumda x kare eksi 2x eşittir sıfır denklemini çözmeliyim.
x parantezinde x eksi 2 eşittir sıfır.
Her iki çarpanı sıfıra eşitlerseniz, x eşittir sıfır ve x eşittir iki elde ederiz.
X eksenini kestiği noktalar bunlardır ve bulmuşken tepe noktasını da hatırlayalım.
Tepe noktası r k olduğunda r'yi nasıl buluyorduk?
Eksi b bölü 2 a b'miz eksi 2.
O halde eksi b'miz iki.
A'sı da bir.
O zaman 2a yerine de iki yazdım.
R'nin bir olduğunu buldum.
K'yı bulurken de fonksiyonunda yerine yazıyorduk.
Biri yerine yazarsanız birin karesi eksi iki çarpı birden k'nın da eksi 1 olduğunu buldum.
Şimdi parabolumuzu çizelim y ekseni x ekseni.
Ve parabolümüz x eksenine x eşittir 0 ve x eşittir 2 de kesilecekti, tepe noktası da bire eksi bir noktasıymış, tepe noktası da burası.
O zaman parabol yukarıdan gelir, x eşittir 0'da keser.
Tepe noktasında döner ve x eşittir ikide keserek yukarı çıkar.
Parabolümüzü çizdik.
Şimdi istenen alanı gösterelim.
x eşittir eksi bir doğrusu bu olsun ve x eşittir 4 doğrusu da şurası olsun.
Şimdi bu doğrular x ekseni ve eğri arasında kalan alan burasıdır.
Arkadaşlar bir, iki ve üç tane alandan oluşur.
Şimdi birinci alanı bulurken peki burayı ifade eden integrali yazalım.
İntegral şurası eksi birdi.
Eksi 1'den sıfıra eğrimiz.
x Kare eksi iki xdx.
Artı bakın burada artı demeyeceğiz.
x ekseninin altında kalmış.
İkinci bölge x ekseninin altında kalmış.
Eksi integral 0'dan 2'ye x kare eksi 2x dx yazdınız.
Artı ikiden dörde x kare eksi iki x.
Evet bu alanı ifade eden integrali bulduk.
Bu integralin sonucu bize cevabı verecek.
x kare eksi 2x'in integralini köşeye yazın.
x Karenin integrali x küp bölü üç eksi 2.
x'in integrali eksi x kare.
Evet, integralimiz buymuş.
Şimdi birinci integralde 0 ve eksi 1 değerlerini yazıyorum.
Sıfırı yazdığımızda 0 yaptı.
Eksi biri yazıyorum şimdi.
Eksi 1 bölü 3 ve eksi 1.
Ikinci integrale geçtim şu başındaki eksi yazalım.
Şöyle yaptınız şimdi 2 yerine yazıyoruz.
İntegralimiz buydu.
İntegralimizde iki yerine yazarsak 8 bölü üç eksi 4.
0 yerine yazınca da sıfır geldi zaten.
Artı 4 ve 2'yi yerine yazıyorum.
Dördü yerine yazdığınızda arkadaşlar 64 bölü üç eksi on altı elde ettim.
Eksi iki yerine yazdığınızda sekiz bölü üç eksi dört elde ettim.
Evet bunların sonucunu bulalım.
Şimdi hepsini dağıtalım mı bir önce?
Bu eksiyi içeriye dağıttığımda bir bölü üç artı bir paydası üç olanları tek işlemde yapacağım.
Eksi burada içeriye dağıtır iseniz eksi sekiz bölü üç artı dört.
Burası 64 bölü üç, eksi on altı.
Bu eksiyi de içeriye dağıttığınızda eksi sekiz bölü üç artı dört ve üç.
Tam sayı olanları bir bulalım bir dört de buradan beş yaptı.
Eksi on altı da buradan eksi on bir yaptı.
Dört de oradan eksi on bir artı 4'ten eksi yedi tam sayılardan geldi.
Rasyoneller bir bölü üç var sekiz bölü üç eksi yedi bölü üç yaptı buradan.
Artı elli yedi bölü üç yaptı.
Buradan da 49 bölü üç yaptı.
Artı 49 bölü üç paydayı eşitlerseniz eksi yirmi bir bölü 3 oldu.
Artı 49 bölü üç oldu.
Cevabımız 28 bölü üç olmalıdır arkadaşlar.
Yanda y f x fonksiyonunun grafiği vеrіldі.
Taralı alanın 6 birim kare olduğu söylenmiş ve biz bu integralin sonucunu alıyoruz.
Öncelikle 2 fx'i içeriye dağıtarak yeni bir integral bulacağım arkadaşlar.
2 fx çarpı f türev x bu integrali parçalayarak yazacağım.
Artı iki f x'i bir de ikiye dağıttığımızda 4 f x dx elde edelim.
Sınırlarımız da eksi ikiden dörde.
Eksi 2 4.
Birinci integrali bulmak için ne yapmalıyız?
F x var, f türevi var, o halde f x'e değişken verelim değil mi?
f x eşittir u derseniz diferansiyel aldığınızda f türevi x dx eşittir du elde ederi̇m.
Sınırları da değiştirelim.
X yerine eksi iki yazdığımda bu eşittir bakın burada yerine yazın.
U eşittir f eksi iki olur.
Eksi 2'nin de 5 olduğu grafikte söylenmiş.
Eksi 2 de 5'e eşittir.
Eksi yerine 4'e yazarsanız u eşittir f 4 olur.
f 4 de bakın x eksenini 4'te kesiyor.
f dört de sıfırdır.
Yani birinci integral için dönüştürülmüş hali eksi 2'den 4'e idi integralim.
Artık eksi 2 yerine 5 yazdım.
4 yerine 0 yazdın.
2 f x yerine bu f türev x dx yerine de du yazdım.
Bu integrali alırsanız iki bunun integrali u karedir.
Sınırlarımız 0'dan beşe.
Sıfırı yerine yazdım, beşi yerine yazdım ve bunların farkını aldığımda bu integralin sonucu eksi 25 dir arkadaşlar.
Birinci integral tamam.
İkinci integral için grafiğe tekrar dönmek istiyorum.
Bakın taralı alan eksi ikiden dörde kadar taranmış.
O halde eksi ikiden dörde f x dx bize bu taralı alanı ifade eder.
Taralı alanın da 6 birim kare olduğu söylenmiş.
Yani bu integralin sonucu altıdır.
Arkadaşlar bizden istenen ikinci integralde bakın kat sayısı var.
4.
Bu dördü dışarıya çıkartabiliyorduk.
Eksi ikiden dörde f x deyip ikinci integralimiz buranın altı olduğunu biliyorsak arkadaşlar bunun sonucu da 24'tür.
Evet bu iki integrali birinci integrali eksi 25 beş buldum, ikinci integrali de yirmi dört buldum.
Cevabımız eksi yirmi beş artı 24'ten cevabımız eksi bir olmalıdır.
Bakalım diğer sorumuza.
Evet, bu soruda bize grafik vermedi x kare eksi 2x eğrisi bu doğrular ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı isteniyor.
Burada şunu yapmayın arkadaşlar integral işte eksi 1 ile 4 aralığında integral soruluyor deyip buraya da f x'i yazıp x kare eksi 2x dx dediğinizde her zaman alanı bulamayabilirsiniz.
Çünkü istenen aralıkta fonksiyon eğrimiz x ekseninin altına inebilir.
x ekseninin altındaki alanı bulurken de orayı ifade eden integral başına eksi yazmamız gerekiyordu.
Yani bu integrali parçalayarak bazılarının önüne eksi koymamız gerekebilir.
Bunun sonucu size her zaman alanı vermeyebilir.
Direkt bunu yazmıyoruz.
Ne gerekiyor?
Eğri görmemiz gerekiyor.
Bu bir paraboldur.
Parabol için x ekseni veya ekseni kestiği noktalara bakacağım.
X eşittir 0 ise Y eşittir sıfırdır.
Y'ye 0 verelim.
Bu durumda x kare eksi 2x eşittir sıfır denklemini çözmeliyim.
x parantezinde x eksi 2 eşittir sıfır.
Her iki çarpanı sıfıra eşitlerseniz, x eşittir sıfır ve x eşittir iki elde ederiz.
X eksenini kestiği noktalar bunlardır ve bulmuşken tepe noktasını da hatırlayalım.
Tepe noktası r k olduğunda r'yi nasıl buluyorduk?
Eksi b bölü 2 a b'miz eksi 2.
O halde eksi b'miz iki.
A'sı da bir.
O zaman 2a yerine de iki yazdım.
R'nin bir olduğunu buldum.
K'yı bulurken de fonksiyonunda yerine yazıyorduk.
Biri yerine yazarsanız birin karesi eksi iki çarpı birden k'nın da eksi 1 olduğunu buldum.
Şimdi parabolumuzu çizelim y ekseni x ekseni.
Ve parabolümüz x eksenine x eşittir 0 ve x eşittir 2 de kesilecekti, tepe noktası da bire eksi bir noktasıymış, tepe noktası da burası.
O zaman parabol yukarıdan gelir, x eşittir 0'da keser.
Tepe noktasında döner ve x eşittir ikide keserek yukarı çıkar.
Parabolümüzü çizdik.
Şimdi istenen alanı gösterelim.
x eşittir eksi bir doğrusu bu olsun ve x eşittir 4 doğrusu da şurası olsun.
Şimdi bu doğrular x ekseni ve eğri arasında kalan alan burasıdır.
Arkadaşlar bir, iki ve üç tane alandan oluşur.
Şimdi birinci alanı bulurken peki burayı ifade eden integrali yazalım.
İntegral şurası eksi birdi.
Eksi 1'den sıfıra eğrimiz.
x Kare eksi iki xdx.
Artı bakın burada artı demeyeceğiz.
x ekseninin altında kalmış.
İkinci bölge x ekseninin altında kalmış.
Eksi integral 0'dan 2'ye x kare eksi 2x dx yazdınız.
Artı ikiden dörde x kare eksi iki x.
Evet bu alanı ifade eden integrali bulduk.
Bu integralin sonucu bize cevabı verecek.
x kare eksi 2x'in integralini köşeye yazın.
x Karenin integrali x küp bölü üç eksi 2.
x'in integrali eksi x kare.
Evet, integralimiz buymuş.
Şimdi birinci integralde 0 ve eksi 1 değerlerini yazıyorum.
Sıfırı yazdığımızda 0 yaptı.
Eksi biri yazıyorum şimdi.
Eksi 1 bölü 3 ve eksi 1.
Ikinci integrale geçtim şu başındaki eksi yazalım.
Şöyle yaptınız şimdi 2 yerine yazıyoruz.
İntegralimiz buydu.
İntegralimizde iki yerine yazarsak 8 bölü üç eksi 4.
0 yerine yazınca da sıfır geldi zaten.
Artı 4 ve 2'yi yerine yazıyorum.
Dördü yerine yazdığınızda arkadaşlar 64 bölü üç eksi on altı elde ettim.
Eksi iki yerine yazdığınızda sekiz bölü üç eksi dört elde ettim.
Evet bunların sonucunu bulalım.
Şimdi hepsini dağıtalım mı bir önce?
Bu eksiyi içeriye dağıttığımda bir bölü üç artı bir paydası üç olanları tek işlemde yapacağım.
Eksi burada içeriye dağıtır iseniz eksi sekiz bölü üç artı dört.
Burası 64 bölü üç, eksi on altı.
Bu eksiyi de içeriye dağıttığınızda eksi sekiz bölü üç artı dört ve üç.
Tam sayı olanları bir bulalım bir dört de buradan beş yaptı.
Eksi on altı da buradan eksi on bir yaptı.
Dört de oradan eksi on bir artı 4'ten eksi yedi tam sayılardan geldi.
Rasyoneller bir bölü üç var sekiz bölü üç eksi yedi bölü üç yaptı buradan.
Artı elli yedi bölü üç yaptı.
Buradan da 49 bölü üç yaptı.
Artı 49 bölü üç paydayı eşitlerseniz eksi yirmi bir bölü 3 oldu.
Artı 49 bölü üç oldu.
Cevabımız 28 bölü üç olmalıdır arkadaşlar.
