Merhabalar sevgili arkadaşlar, integral yardımıyla alan bulma ile ilgili bir özellikten daha bahsedeceğim.
f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
A1, a2 A3 bulundukları bölgelerin alanlarını belirtiyor.
İntegral A'dan D'ye f(x)dx sorulursa bu ne demektir aslında?
İntegral A'dan B'ye f(x), artı B'den C'ye f(x)dx.
X artı integral C'den D'ye f(x)dx olarak üç parça halinde yazılabilir.
Integral A'dan B'ye f(x)dx ne demektir?
A'dan B'ye yazılan alanı ifade eder, x ekseninin üzerinde olduğu için burası A1'dir.
B'den C'ye bakın A2 alanı oluyor ama x ekseninin altında olduğu için eksi A2 demektir.
Bu integralin sonucu C'den değeri x ekseninin üzerinde A 3 demektir.
O yüzden A'dan D'ye f(x)dx eksi alanımız budur.
Oradaki eksi dikkat edin burada mutlak değer verdiğinde arkadaşlar gördüğünüz taralı alanların hepsini topluyoruz mutlak f(x)dx'in integrali sorulduğunda A'dan D'ye kadar gördüğümüz bütün Taralı alanları topluyoruz.
Ama bu şekilde normal integral olarak sorulduğunda A 2'deki eksiyi unutmayın.
x ekseninin altında kalıyor çünkü.
Bakalım örneklerimize.
ABC yine bulundukları bölgelerin alanlarını ifade ediyor.
Bize Y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
A'dan D'ye 2 f(x)dx.
Şunu bulalım integral A'dan D'ye 2 dışarıya çıkartabiliriz.
X dx.
Bakın bu aslında nedir?
Mutlak değer yok burada.
A'dan B'ye, B den C'ye, C'den D'ye olacak şekilde üç parça halinde yazabiliriz bu integrali.
A'dan B'ye integralimizin sonucu A'dır.
B eden c'yi integralimizin sonucu eksi B'dir.
C'den D'ye de x ekseninin üzerinde olduğu için c nedir?
Yani buranın sonucu 2a eksi 2B artı 2C'dir ve integral A'dan D'ye mutlak değer f(x)dx sorulduğunda neydi?
A'dan D'ye gördüğünüz bütün alanları toplayacaktınız A artı B artı C demektir.
O zaman sorunuzun cevabı bunları toplamamız isteniyor.
2A eksi 2B artı 2 C ile A artı B artı C'yi topladığımızda elde ettiğimiz sonuç üç A, eksi B, artı üç c dir arkadaşlar.
Geçelim diğer örneğimize.
Farklı renkte taranmış bölgelerin alanları 3a, a ve 4 birim kare olduğuna göre bize eksi 3'ten 7'ye f(x)dx'in 36 olduğu verilmiş.
Eksi 3'ten 7'ye mutlak değere f(x)dx'in kaç olduğu soruluyor.
Evet, integral eksi 3'ten 7'ye f(x)dx Nedir?
Aslında şöyle parçalayalım yine bunu.
Eksi üçten bire f(x)dx artı 1'den dörde f(x)dx artı 4'ten 7'ye f(x)dx olacak şekilde üç parça halinde yazdınız.
Eksi üçten bire f(x)dx nedir?
Arkadaşlar x ekseninin üzerinde bakın 3A'dır.
Birden dörde f(x)dx x ekseninin altında olduğu için burası eksi A olmalıdır.
4'ten 7'ye de 4A'dır.
Bunların toplamı 36 olmalıymış ve 6 a eşittir 36 olduysa cevabımız buradan A'nın değeri 6'dır.
Şimdi bize sorulana gelelim.
Eksi 3'ten 7'ye mutlak değer f(x)dx.
Burada da ne yapacaktık?
Gördüğümüz bütün alanları x 3'ten 7'ye kadar olan bütün alanları toplayacaktık.
Yani 3 A artı A artı 4A.
Yani sorunuzun cevabı 8A'dır arkadaşlar.
A'nın 6 olduğunu bulduk biz az önce o zaman A yerine 6 yazdığınızda cevabımız 48 olmalıdır.
Evet, son örneğimiz yandaki şekilde taraflı bölgelerin içindeki sayılar o bölgenin alanlarını belirtiyor muş.
Buna göre aşağıdaki integrallerin değerlerini bulun.
Eksi 4'ten dörde f(x)dx.
Bakın burada eksi 4'ten 2'ye gittiniz.
Oradaki alanınız arkadaşlar 4 eksi 2'den sıfıra x ekseninin altında olduğu için oraya eksi 3 yazacağım.
Sonra sıfırdan dörde alanımız da x ekseninin üzerinde artı 10.
Buradan cevabımız 11 olur.
Arkadaşlar eksi ikiden dörde mutlak değer demiş.
O zaman eksi ikiden dörde kadar olan gördüğünüz bütün alanları toplayacak iseniz yani üç artı on cevabımız 13 olmalıdır.
Eksi 4'ten dörde bakın.
Burada mutlak değeri dışarıya değil, içine x'e mutlak değer koymuş.
Peki f mutlak x dediğimizde grafiğimiz nasıl oluyordu?
Arkadaşlar ben şimdi bu f(x)'in grafiği size f mutlak x'in grafiğini çizeceğim.
f mutlak x dediğinde bu ne demektir?
x yerine eksi bir yazsanız da bu 1 olarak gözükecek.
Yani bir neyle eşleşiyorsa eksi bir de onunla eşleşecek.
4 neyle eşleşiyorsa eksi 4 de onunla, üç neyle eşleşiyorsa eksi 3 de onunla eşleşecek.
Yani grafiğin sağ tarafının görüntüsünün aynısı sol tarafta da olmalıdır.
Arkadaşlar burası 4'te kesiyordu, burada eksi 4'te kesecek.
Bunlar birbirinin simetriği.
Buranın on olduğunu söylemiştik.
O zaman burası da 10'dur.
Bize eksi 4'ten dörde f mutlak x.
Şimdi yeni bir fonksiyonumuz var bu y eşittir f mutlak x'in şöyle bir parantez de koyalım.
f mutlak x'in grafiği ve eksi 4'ten dörde integral soruluyor.
Yani eksi 4'ten dörde alan soruluyor, ikisi de x ekseninin üzerinde olduğu için cevabımız on artı ondan yirmi olmalıdır arkadaşlar.
f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
A1, a2 A3 bulundukları bölgelerin alanlarını belirtiyor.
İntegral A'dan D'ye f(x)dx sorulursa bu ne demektir aslında?
İntegral A'dan B'ye f(x), artı B'den C'ye f(x)dx.
X artı integral C'den D'ye f(x)dx olarak üç parça halinde yazılabilir.
Integral A'dan B'ye f(x)dx ne demektir?
A'dan B'ye yazılan alanı ifade eder, x ekseninin üzerinde olduğu için burası A1'dir.
B'den C'ye bakın A2 alanı oluyor ama x ekseninin altında olduğu için eksi A2 demektir.
Bu integralin sonucu C'den değeri x ekseninin üzerinde A 3 demektir.
O yüzden A'dan D'ye f(x)dx eksi alanımız budur.
Oradaki eksi dikkat edin burada mutlak değer verdiğinde arkadaşlar gördüğünüz taralı alanların hepsini topluyoruz mutlak f(x)dx'in integrali sorulduğunda A'dan D'ye kadar gördüğümüz bütün Taralı alanları topluyoruz.
Ama bu şekilde normal integral olarak sorulduğunda A 2'deki eksiyi unutmayın.
x ekseninin altında kalıyor çünkü.
Bakalım örneklerimize.
ABC yine bulundukları bölgelerin alanlarını ifade ediyor.
Bize Y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
A'dan D'ye 2 f(x)dx.
Şunu bulalım integral A'dan D'ye 2 dışarıya çıkartabiliriz.
X dx.
Bakın bu aslında nedir?
Mutlak değer yok burada.
A'dan B'ye, B den C'ye, C'den D'ye olacak şekilde üç parça halinde yazabiliriz bu integrali.
A'dan B'ye integralimizin sonucu A'dır.
B eden c'yi integralimizin sonucu eksi B'dir.
C'den D'ye de x ekseninin üzerinde olduğu için c nedir?
Yani buranın sonucu 2a eksi 2B artı 2C'dir ve integral A'dan D'ye mutlak değer f(x)dx sorulduğunda neydi?
A'dan D'ye gördüğünüz bütün alanları toplayacaktınız A artı B artı C demektir.
O zaman sorunuzun cevabı bunları toplamamız isteniyor.
2A eksi 2B artı 2 C ile A artı B artı C'yi topladığımızda elde ettiğimiz sonuç üç A, eksi B, artı üç c dir arkadaşlar.
Geçelim diğer örneğimize.
Farklı renkte taranmış bölgelerin alanları 3a, a ve 4 birim kare olduğuna göre bize eksi 3'ten 7'ye f(x)dx'in 36 olduğu verilmiş.
Eksi 3'ten 7'ye mutlak değere f(x)dx'in kaç olduğu soruluyor.
Evet, integral eksi 3'ten 7'ye f(x)dx Nedir?
Aslında şöyle parçalayalım yine bunu.
Eksi üçten bire f(x)dx artı 1'den dörde f(x)dx artı 4'ten 7'ye f(x)dx olacak şekilde üç parça halinde yazdınız.
Eksi üçten bire f(x)dx nedir?
Arkadaşlar x ekseninin üzerinde bakın 3A'dır.
Birden dörde f(x)dx x ekseninin altında olduğu için burası eksi A olmalıdır.
4'ten 7'ye de 4A'dır.
Bunların toplamı 36 olmalıymış ve 6 a eşittir 36 olduysa cevabımız buradan A'nın değeri 6'dır.
Şimdi bize sorulana gelelim.
Eksi 3'ten 7'ye mutlak değer f(x)dx.
Burada da ne yapacaktık?
Gördüğümüz bütün alanları x 3'ten 7'ye kadar olan bütün alanları toplayacaktık.
Yani 3 A artı A artı 4A.
Yani sorunuzun cevabı 8A'dır arkadaşlar.
A'nın 6 olduğunu bulduk biz az önce o zaman A yerine 6 yazdığınızda cevabımız 48 olmalıdır.
Evet, son örneğimiz yandaki şekilde taraflı bölgelerin içindeki sayılar o bölgenin alanlarını belirtiyor muş.
Buna göre aşağıdaki integrallerin değerlerini bulun.
Eksi 4'ten dörde f(x)dx.
Bakın burada eksi 4'ten 2'ye gittiniz.
Oradaki alanınız arkadaşlar 4 eksi 2'den sıfıra x ekseninin altında olduğu için oraya eksi 3 yazacağım.
Sonra sıfırdan dörde alanımız da x ekseninin üzerinde artı 10.
Buradan cevabımız 11 olur.
Arkadaşlar eksi ikiden dörde mutlak değer demiş.
O zaman eksi ikiden dörde kadar olan gördüğünüz bütün alanları toplayacak iseniz yani üç artı on cevabımız 13 olmalıdır.
Eksi 4'ten dörde bakın.
Burada mutlak değeri dışarıya değil, içine x'e mutlak değer koymuş.
Peki f mutlak x dediğimizde grafiğimiz nasıl oluyordu?
Arkadaşlar ben şimdi bu f(x)'in grafiği size f mutlak x'in grafiğini çizeceğim.
f mutlak x dediğinde bu ne demektir?
x yerine eksi bir yazsanız da bu 1 olarak gözükecek.
Yani bir neyle eşleşiyorsa eksi bir de onunla eşleşecek.
4 neyle eşleşiyorsa eksi 4 de onunla, üç neyle eşleşiyorsa eksi 3 de onunla eşleşecek.
Yani grafiğin sağ tarafının görüntüsünün aynısı sol tarafta da olmalıdır.
Arkadaşlar burası 4'te kesiyordu, burada eksi 4'te kesecek.
Bunlar birbirinin simetriği.
Buranın on olduğunu söylemiştik.
O zaman burası da 10'dur.
Bize eksi 4'ten dörde f mutlak x.
Şimdi yeni bir fonksiyonumuz var bu y eşittir f mutlak x'in şöyle bir parantez de koyalım.
f mutlak x'in grafiği ve eksi 4'ten dörde integral soruluyor.
Yani eksi 4'ten dörde alan soruluyor, ikisi de x ekseninin üzerinde olduğu için cevabımız on artı ondan yirmi olmalıdır arkadaşlar.
Sıkça Sorulan Sorular
Mutlak değer içine alınan bir fonksiyonda taralı alan nasıl bulunur?
Şekildeki fonksiyonda toplam alanı bulalım.
Eğer bize integrali sorulursa toplam alan A1 - A2 + A3 işlemiyle bulunur.
Eğer bize integrali sorulursa toplam alan A1 + A2 + A3 işlemiyle bulunur.
Çünkü mutlak değer fonksiyonunda A2 alanı x ekseninin üstündedir.
