x ekseninin Altında veya Üstünde Kalan Alan

Merhaba arkadaşlar, integralde alan sorularıyla devam ediyorum.
Şekilde taraflı bölgenin alanını integral yardımıyla bulacağız.
Öncelikle fonksiyonumuzun kuralını bilmemiz gerekiyor değil mi?
2x eksi 3y artı 6 verilmiş y f(x) şeklinde kuralımızı bulmalıyız.
Y'yi yalnız bırakalım.
Burada 2x eksi 3y artı 6 eşittir 0 ise 3y'yi sağa attım.
Artı 3y olarak 2x artı 6.
Her iki tarafı üçe böldüğümüzde y eşittir 2x artı 6 bölü 3 olur.
Bunu şöyle yazalım.
Y eşittir 2x bölü 3 artı 6 bölü 3 yani iki.
Evet fonksiyonumuzun kuralını bulduk.
İntegral alanı bulmak için integral sınırların 2'den 5'e, fonksiyonumuzun kuralı da 2x bölü üç artı iki.
Bu integrali aldığımızda taralı alanı bulmuş oluyoruz arkadaşlar.
2x bölü üçün integrali şöyle iki bölü üç katsayımız.
x'in integrali de x kare bölü iki.
Artı ikinin integrali de 2x şu ikiyi de şöyle götürelim.
Şimdi biz buraya ne yazacağız?
2'den 5'e integral alıyorduk.
x kare bölü 3 düzenleyelim.
Hatta onu x kare bölü üç artı 2x sınırlarımızı da ikiden beşe bunları yerine yazarak cevabımızı bulacağız.
Beşi yerine yazdığımda 25 bölü üç artı on eksi 2'yi yine yazdığımızda 4 bölü üç artı 4.
Eksiyi dağıtalım.
25 bölü üç artı on eksi 4 bölü üç eksi 4.
25 bölü 3 ve 4 bölü üç çıkardığınızda ne olur?
21 bölü 3 yani yedi olur 10 ve eksi 4 var.
Buradan da 6 gelir arkadaşlar cevabımız 13 olmalıdır.
İkinci örneğimize bakalım.
A1, A2, A3 bulundukları bölgelerin alanı olmak üzere bize üç tane integral vermiş.
Buna göre A1, A2, A3'ün toplamını arıyoruz.
Şimdi A1 alanı nedir?
Burada A1 eşittir integral eksi 4'ten eksi 1'e sınırlanmış f(x) dx'dir.
Bize de zaten bu verildi.
Bakın 6 olarak verildi A1 altıdır o halde.
A2 için integral eksi 1'den 3'e f(x)dx'dir.
Ama ne olacak başına eksi koymalıyım.
Çünkü x ekseninin altında eksi 1'den 3'e f(x)dx'den eksi 9 olduğu verilmiş.
O zaman a2 dokuz birim karedir arkadaşlar.
A3'e bakalım.
Bu da integral 3'ten 6'ya f(x)dx'dir.
Bunu da bize 6'dan 3'e f(x)dx olarak verilmiş.
6'dan 3'e f(x)dx eksi 8 ise 3'ten 6'ya f(x)dx 8'dir değil mi?
Sınırlar yer değiştiğinde başına eksi koyuyorduk.
Evet, A1, A2 A3'ü bulduk.
Cevabımız 6 artı dokuz artı 8 oldu.
15 23 tür sorunuzun cevabı arkadaşlar.
Bir örneğimiz daha var.
A1 ve A2 bulundukları tarafı bölgenin alanları yine bu sefer alanları verdi.
A1 ve A2 alanlarını verip bu integralin sonucunu istiyor.
Bizden o integrali şöyle ayıralım mı?
Eksi 4'ten 7'ye 2x dx artı integral eksi 4'ten 7'ye f(x)dx.
Burası zaten 2x'in integrali x karedir ve sınırların eksi 4'ten 7'ye.
Ne oldu 49 eksi on altı olur.
Buradan da cevabımız 33tür.
Ilk kısım 33 şurayı buldum ben şimdi.
Evet burası için arkadaşlar bir parça almamız lazım bu integrali bakın ikiye kadar x ekseninin üzerinde ikiden sonra altında.
O zaman şöyle diyelim integral eksi 4'ten 7'ye f(x)dx.
Şu şekilde yazabiliriz integral eksi 4'ten 2'ye f(x)dx.
Artı 2'den 7'ye f(x)dx olarak yazabilirim ve eksi 4'ten 2'ye f(x)dx ne demektir?
A1 alanını ifade eder zaten A1 alanının da 12 olduğunu soru verdi bize.
2'den 7'ye f(x)dx.
Bakın şu A2 alanı nedir?
Integral 2'den 7'ye f(x)dx ama başında eksi var değil mi?
Bunun biz 9 olduğunu biliyoruz.
O halde 2'den 7'ye f(x)dx.
X nedir?
Eksi dokuz olur.
O zaman buradan cevabımız da üç gelir.
Buranın da 3 olduğunu buldunuz arkadaşlar diğerinde 3 bulmuştuk.
Bunların toplamı lazım bize.
Cevabımız 36 olmalıdır.