Mutlak Değer Fonksiyonun İntegrali Bölüm 1

Merhaba arkadaşlar, bu videomuzda mutlak değer fonksiyonunun integraline başlıyoruz.
Biliyoruz ki mutlak değer fonksiyonların tamamı bir parçalı fonksiyon gibi yazılabilir.
Mutlak değerin içini 0 yapan ifadeye göre parçalara ayrılabilir fonksiyonumuz.
O yüzden integralini alırken de parçalı fonksiyonun integrali nasıl alıyorsak mutlak değer fonksiyonunda da aynı şekilde alacağız.
Kritik noktayı belirleyin.
İntegralimizi buna göre gerekiyorsa parçalayıp alacağız.
Bakalım örneğimize.
A'da demişiz ki birden beşe, integral mutlak x eksi 3 dx.
O zaman x eksi 3'ü sıfıra eşitlediniz önce, x eksi 3'ü sıfıra eşitlersem x eşittir 3.
Yani bu fonksiyonun kritik noktası üçtür.
Bizden de birden beşe integral istediği için birden üçe ve üçten beşe olarak integralimizi parçalamamız gerekir.
1'den 3'e dediğinde arkadaşlar nedir?
3'ten küçük değerlerden bahsediyoruz değil mi?
Buraya üçten küçük değerleri koyduğunuzda mutlak değerin içi negatif yapar, içi negatif ise dışarıya nasıl çıkartıyorduk?
Tamamını içeride ne varsa her şey eksi ile çarparak çıkartıyorduk.
Mutlaktan kurtuluyor.
Bu durumda x eksi 3 negatiftir.
Birle üç arasında negatif olduğu için mutlak değer dışına eksi x artı 3 olarak çıkartarak mutlak değerden kurtulabiliriz.
Artı 3'ten 5'e yani 3'ten büyük değerler yazdığınızda buraya bakın ne olur pozitif olur.
Pozitif bir sayı mutlak değer dışına zaten aynen çıkardı.
O yüzden dokunmadan yani x eksi 3 olarak dışarıya çıkardım.
Şimdi integral alacağım.
Eksi x'in integrali eksi x kare bölü 2.
Üçün 3x'tir ve sınırlarım 1'den 3'e artı x eksi 3 için x kare bölü iki eksi 3x.
Sınırlarımız üçten beşe bunları yerine yazalım.
Üçü yerine yazarsanız eksi dokuz bölü iki.
Artı dokuz, eksi 1 yerine yazarsam eksi 1 bölü iki artı üç artı 5'i yine yazıyorum 25 bölü iki.
Eksi 15, eksi 3'ü yerine yazdığınızda da dokuz bölü iki eksi dokuz.
Evet şuradan payda eşitlediğinizde paydayı iki ile eşitlediniz.
Eksi dokuz bölü iki artı on sekiz bölü ikiden buradan dokuz bölü iki gelir.
Bu kısımdan payda eşitlediğimizde eksi bir bölü iki artı altı bölü ikiden artı beş iki gelir.
Başındaki eksi ile eksi beş bölü iki olur.
25 bölü iki eksi 15.
Payda eşitlediğinizde 25 bölü 2 eksi 30 bölü iki yani eksi 5 bölü iki gelir buradan da.
9 bölü ikiden dokuzu çıkardığınızda payda eşitlediğinizde dokuz bölü iki eksi on sekiz bölü iki yani eksi dokuz bölü iki olur burası.
Başında da eksi var, artı dokuz bölü iki elde edilir.
Son hali arkadaşlar, paydaları hepsinin iki zaten.
O zaman dokuz eksi 5 4 yaptı, eksi 5 de oradan eksi 1 yaptı.
Dokuz da buradan 8 bölü iki.
Yani cevabımız bu soruda 4'tür arkadaşlar.
Evet bu a'nın çözümüydü.
B'ye bakalım şimdi.
Mutlak değerin içini sıfıra eşitledim.
2x eksi dördü sıfıra eşitlerseniz buradan x'in iki olduğunu bulduk.
Kritik noktamız ikidir ama bize sorulan integralin sınırlarına bakın.
2 bu aralığın içinde değil zaten.
O zaman integralimizi parçalamaya gerek yoktur değil mi?
x eşittir ikinden iki bu aralığın içinde değil.
O halde 4 ile 5 aralığında nedir?
İki eksi 4 pozitiftir değil mi?
O zaman dışarıya aynen çıkar.
Yani 4 5 bunu dışarıya iki eksi eksi 4 olarak çıkardınız, mutlaktan kurtuldunuz.
Şimdi integralini alacağım.
İkisinin integrali x kare eksi 4x oldu.
Sınırlarım da 4 ve 5.
5'i yerine yazdığımda 25 eksi yirmi eksi dördü yerine yazdığımda on altı eksi on altı.
Burası beş yaptı, burası da sıfır yaptı.
Cevabımız beştir arkadaşlar.
Geçelim diğer örneğimize.
Bakın burada iki tane mutlak değer var, o zaman ikisinin de kritik noktasına bakacağım.
x eksi 2 sıfıra eşitlediğinizde kritik noktası buranın iki.
x artı biri sıfıra eşitlediğinizde kritik noktası eksi birdir.
O zaman ikiye ve eksi 1'e göre parçalamak lazım.
Bakalım bu iki değer de bize integrali sorulan sınırların aralığında mı?
X 3'ten dörde 2'de eksi bir de bunun için nedir?
O zaman eksi 3'ten eksi 1'e kadar.
Sonra biraz daha ileriye yazalım.
Eksi 1'den nereye kadar bu sefer?
İkiye kadar.
En sonda ikiden dörde kadar integral alacağım.
Eksi 1'den 3'e, eksi 3'ten eksi bire integral aldığımda eksi 1'den küçük değerleri yerine yazıyoruz.
Bakın bu negatiftir değil mi?
O zaman dışarıya eksi x artı 2 olarak çıkardım.
x artı bire baktığınızda eksi 1'den küçük değerler veriyorsanız yine negatiftir.
Yine eksi ile çarpıp bunu da dışarı çıkardım.
Mutlaktan kurtuldum dx yazdım.
Eksi bir 2.
O halde eksi bir iki aralığında nedir x eksi ikimiz bakın 2'den küçük değerlerden bahsediyoruz.
Negatiftir.
Eksi x artı iki eksi ile çarparak dışarı çıkardım.
Eksi 1 2 aralığında yani eksi 1'den büyük değerler yazdığınızda x artı bir pozitiftir.
O zaman dışarıya aynen çıkar arkadaşlar.
x artı 1 olarak çıkardım ve sonuna da eksi koydunuz.
2 ile 4 aralığında x eksi iki pozitiftir.
O zaman aynen çıkardım.
x artı bir de pozitiftir.
Onu da aynen çıkardım eksi artı bir dx.
Şimdi bunları tekrar düzenleyip integralimizi alalım.
Eksi 3'ten eksi 1'e, eksi 2 x artı bir dx.
Artı eksi 1'den 2'ye x'ler gitti zaten.
3dx artı ikiden dörde 2x eksi bir dx.
Evet bu integralleri aldığımızda sorumuz çözülecek.
Eksi iki x'in integrali eksi x karedir.
Birin integrali x'tir.
Buraya eksi 3 ve eksi 1 yazacağım.
Artı 3'ün integrali 3 x dir.
Buradaki sınırlarım da eksi 1 2'dir.
Artı iki x'in integrali x kare, eksi birin integrali eksi x ve sınırlarım iki 4.
Hemen hızlıca yine yazalım.
Eksi 1 yerine yazdığınızda arkadaşlar eksi bir eksi bir.
Eksi eksi üçü yerine yazdığımda eksi dokuz eksi 3.
En son bunları düzenlerim yine.
İkiyi yerine yazdığınızda 6.
Eksi biri yerine yazdığınızda eksi 3.
Dördü yerine yazalım 16 eksi 4'ten 16 eksi 4'ten burası 12, eksi 2 yerine yazdığınızda da 4 eksi 2'den 2.
Evet, şu kısımdan eksi 2, burası eksi 12, burası.
Başında da eksi var, buradan artı on geldi.
Buradan dokuz geldi, buradan da on geldi.
Cevabımız yirmi dokuzdur arkadaşlar.