Dik Piramit

Merhabalar, piramitlerdeyiz.
Bir düzlemde aldığınız bir çokgenin köşeleri ve çokgenin düzlemi dışında alınan bir noktanın birleşimiyle oluşan şekle piramit denir.
Düzlemde bir ABCD dörtgeni aldınız.
İşte bunun köşeleri ve dışarıdan seçtiğiniz bir nokta birleştirilirse AT, BT, CT.
Bu oluşan şekil bir piramittir, dostlar.
Bu piramidin tepe noktası vardır.
Nedir bu tepe noktası?
Aldığınız çokgenin dışarısında seçtiğiniz o nokta, bu sizin tepe noktanızdır.
Daha sonra bir yüksekliğiniz olmalıdır.
Bu piramite ait yüksekliğiniz olmalıdır.
Bu yüksekliğim nasıl bulunuyor?
Piramit yüksekliği dediğim şey bu seçtiğiniz noktadan alttaki seçtiğiniz çokgene indiğiniz dik.
Bu düzleme indiğiniz dikten bahsediyorum.
İşte TP diktir, PE diyelim buna, TP diktir PE ise alttaki düzlemde olduğu için ve bu dik ise işte TP dediğim şey piramidin yüksekliğidir.
TC dediğim, TB dediğim, TA dediğim, TD dediğim bunlar yanal ayrıtlardır.
Burada gördüğünüz köşelerle bileşimlerden bahsediyorum.
Bu sizin yanal ayrıtınızdır.
Piramit tabanı dediğiniz şey, alttaki çokgenin düzleminden bahsediyoruz.
Bu piramit nasıl isimlendirilir peki?
Piramidin isimlendirilmesi ilk başta tepe noktanızın harfine karşılık gelen harf, daha sonra alttaki düzlemi yani çokgeninizi tanımlamamız gerekir.
Nedir o?
Benim çokgenim bir dörtgen, hangi dörtgen?
ABCD dörtgeni.
Beşgen mi oldu?
ABCDE beşgeni diyecektim oraya.
Buraya bir de E harfini ekleyecektim.
Tamam, devam edelim.
Altta çizdiniz şekle göre belirttiğiniz çokgene göre piramidin çeşidini belirlersiniz dostlar.
Tabanı üçgen mi?
Şurada gördüğünüz ABC üçgeninden bahsediyorum.
O zaman üçgen piramit çizmişsinizdir.
Bir dörtgen tabanı mı çizdiniz o zaman dörtgen piramit, beşgen mi çizdiniz o zaman beşgen piramit, altıgen mi altıgenden devam edebilirsiniz böyle.
Şimdi burada sizin piramitinizin yüksekliği, yani tepe noktasından tabandaki çokgenin düzlemine dik inince eğer çokgeninizin ağırlık merkezinden geçiyorsa bu piramit dik bir piramittir.
İşte ABC üçgeni çizdim.
G noktasını da buldum.
Bu üçgenin ağırlık merkezi tamam.
İşte burada gördüğünüz T'den indiğim dik eğer G'den geçiyorsa bu bir dik piramittir.
Ya da demeliyim ki dik bir piramit ise ben T noktasından yani tepeden ineceğim dik kesinlikle alttaki bulunan şeklin, çokgenin ağırlık merkezinden geçecektir.
Üçgen ise ağırlık merkezi bu şekilde bulunuyor.
Nasıl bulunuyordu ağırlık merkezini?
Kenarortayları çiziyorduk.
C'den kenarortay, B'den kenarortay, A'dan kenarortay çiziyorum.
Kenarortayların kesişim merkezi benim ağırlık merkezinde bir üçgen için herhangi bir üçgen için.
Dörtgen olunca böyle düzgün bir dörtgende gördüğünüz gibi ne yapıyordum, köşegenlerimi çiziyordum.
Köşegenleri çizdiğim anda ağırlık merkezini bulabiliyordum dikdörtgende.
Paralelkenar daha ne ise ağırlık merkezimizi karede ya da bu şekilde bulabiliyordunuz.
İşte diyorum ki siz eğer dik bir piramitten bahsediyorsanız indiğiniz dik ağırlık merkezinin, altta bulunan çokgenin ağırlık merkezinden geçmelidir.
Şimdi devam edelim.
Burayı tanımladık.
Dik piramitlerin hepsinde geçerli kurallarımızı aktarmak istiyorum.
Hacmi mi hesaplamak istiyorsunuz dostlar?
Taban alanı çarpı piramidin yüksekliği bölü 3.
Bakın prizmalarda ne yapıyorduk?
Taban alanı çarpı yükseklik diyorduk, bırakıyorduk.
Ama burada üçe bölüyoruz, unutmayalım.
Yüzey alanı nedir?
Yüzey alanı dediğim, dışarıda kalan, dışarıyla temas eden bütün yüzeylerden bahsediyorum.
Bunların toplamından bahsediyoruz.
Yani bir taban var ve bu tabana ait yan yüzeyler var.
Bu tabanın kenarlarına ait yan yüzeyler diyelim.
Ben bunları toplasam bütün yüzey alanını bulmuş oluyorum, ondan bahsediyorum.
Yan yüz alanı dediğim nedir?
Taban alanı hariç, yani tabanda bulunan çokgenimin alanı hariç yan yüz alanı dediğim budur.
Prizmada da buna benzer bir şey yapıyordum.
Taban çevresi çarpı yükseklik diyorduk ama burada durum farklı.
Taban çevresi çarpı yan yüz yüksekliği diyoruz.
Çünkü yan yüz yüksekliğim ve piramit yüksekliği farklı şeylerdir.
Bunları karıştırmamak lazım.
Yan yüz yüksekliğimi alarak yani yüz alanımı hesap diyebilirim.
Tamam mı?
Yani yüz yüksekliğini almamın sebebi o çünkü.
Yani yüz alanını hesaplıyorum.
O zaman yan yüzdeki üçgeninim alanı hesaplamak istersem ne yapacağım?
Öncelikle yan yüzeyinin yüksekliği, oraya inen kenar, oranın indiği kenar bölü iki tamam çevresini almamın sebebi de bütün yanlardaki o üçgensel alanların toplamını bulabilmek dostlar.
Şimdi düzgün piramitlere geçelim.
Düzgün piramidin tabanını oluşturan çokgen düzgün bir çokgendir.
Yani mesela herhangi bir beşgen ya da altıgenden söz etmiyoruz.
Düzgün piramit ise tabanı düzgün beşgen ya da altıgen falan olmalı.
Onu demek istiyorum.
Herhangi bir beşgenden söz etmiyoruz.
Burada gördüğünüz mesela eğer bu bir düzgün piramit ise dostlar bu altta gördüğünüz şekil beş kenarlı mı, o zaman kesinlikle düzgün bir beşgendir.
Dörtgen mi?
O zaman düzgün bir dörtgendir.
Düzgün dörtgen dediğim nedir?
Düzgünlüğün şeyi nedir?
İç açıları eşit ve kenar uzunlukları aynı.
O zaman karedir dörtgenden bahsediyorsak.
Yan yüzler eş ve yanal ayrıtlar eşittir gördüğünüz gibi.
Şimdi burada yan yüzler eş olduğu için yanal ayrıt uzunlukları da eşittir.
Yanal yüzeylerdeki yükseklikler de eşittir ve düzgün piramidin yüksekliği tabandaki düzgün çokgenin ağırlık merkezinden geçer dostlar.
Çok önemli, tekrarlıyorum.
Düzgün piramidin yüksekliği tabandaki düzgün çokgenin ağırlık merkezinden geçer.
Devam edelim.
Şimdi Düzgün Piramit'te alanla devam edelim.
Düzgün piramitte alanın nasıl buluyorduk dostlar?
Eee yani yüzey alanı ya da yanal alan olarak ifade ediyorduk bunları.
Yüzey alanını nasıl hesaplıyoruz?
Taban alanı çarpı yan yüz alanları diyorduk.
Taban alanı dediğim alttaki dörtgen, çokgen ne ise onu hesaplıyorduk.
Artı yani yüz alanları.
Yüzey alanının mantığı odur.
Temas ettiğim dışarıdaki her yüzeyden bahsediyorum.
Yanal alan dediğim nedir?
Bu alttaki çokgen hesaba dahil değil.
Yani yan yüzeyde kalan, şurada gördüğünüz üçgensel şekillerden.
Bunun toplamını nasıl buluyorum?
Bir sürü kenar olduğu için taban çevresi olarak parantez almışım.
Kısaltmışım yani.
Taban çevresi çarpı yanal yüz yüksekliği.
Taban çevresi almamızın kısaltmasının en önemli nedeni düzgün olabilmesi, düzgün olduğu için böyle bir toplamayı çarpmaya çevirebilmişiz dostlar.
Bir kısaltma olmuştur yani.
Şimdi buradan bazı şeyleri tanımlamak istiyorum.
Burada TG dediğim şey, bu arada G dediğim şey de ağırlık merkezi alttaki dörtgenimizin ağırlık merkezi, TG dediğim şey piramidin yüksekliğidir.
Tepe noktasından alttaki ağırlık merkezini birleştirdiğim yükseklik.
TH dediğim şey burada gördüğünüz yan yüzey.
Yani şurada gördüğünüz TBC üçgeninden bahsediyorum.
Bu üçgenin yan yüzeyi TBC üçgeni şöyle bir üçgendir.
Yan yüz yüksekliği bunu ait bir yükseklik.
Burada gördüğünüz havada bir şey değil.
Yüzeyde olan bir yükseklikten bahsediyoruz dostlar.
Bunu da h2 olarak ifade ettik.
Burada tabii şuradan dikliği sağladığımız için bu içerde bir Pisagor yaratabiliyoruz.
Bu TG dediğim şey alttaki düzleme dik olduğu için şu TGH üçgeni içerisinde Pisagor yapabiliyoruz.
O zaman dik kenarların kareleri toplamı h1'in karesi artı a/2'nin karesi, a/2 de şurada düzgünlükten dolayı, ağırlık merkezini düzgünlüğünden dolayı bir kenara a dersem buraya gelen uzunluk a/2 olmakta.
Buradan Pisagor ile bu eşitliği sağlayabiliyoruz.
Şimdi Düzgün Dörtgen Piramit'e geçelim.
Düzgün Dörtgen Piramit'te yüzey alanını nasıl hesaplıyoruz?
Yüzey alanı dediğim bütün bu gördüğünüz bu açılımdır tabii ki de piramidin.
Bu alanların toplamı.
Bir tane kare var ortada.
Karenin alanı a^2'dir.
Bir kenar uzunluğunun karesi artı 4 tane gördüğünüz bu ikiz kenar üçgen şekillerinin alanıdır ve 4 tanedir.
Bir yanal yüz yüksekliğin burada da onu tanımladık tabiki de.
Yanal yüz yüksekliğim h ise bu üçgenin alanını nasıl hesaplıyorum, yükseklik çarpı kenar bölü iki.
a çarpı h bölü iki ama bundan dört tane var 4 ile çarparsak a^2 artı 2ah bizim toplam yüzey alanımız oluyor.
Peki yanal alanı nasıl hesaplıyorum.
Yanal bu alana taban alanı dahil değil.
Gördüğünüz 4 tane ikizkenar üçgenin alanı 4 çarpı ah/2, 2 tane ah bize bunu vermektedir.
Düzgün beşgen piramitten bahsedersek ne yapacağız?
Bu ortadaki şekil düzgün bir beşgendir.
Yani kenar uzunlukları eşittir.
Burada hepsini gösterelim.
Tabi ki de düzgünlüğün mantığı odur.
İç açılarımız tabi ki de eşit düzgün beşgenden bahsediyoruz.
Yüzey alanı eşittir yüzey alanı dediğim hepsinin toplamı.
Yani şu düzgün beşgenin alanı herhangi bir çokgen ne olursa olsun.
Düzgün çokgenin alanı artı yan yüzey alanları toplamı.
Yanal alan dediğim nedir?
Ortası dahil değil.
Yanda gördüğünüz ikizkenar üçgenlerin toplamı 5 tane ah/2'dir.
Şimdi burada piramit hacminden biraz bahsedelim.
Piramit hacmi dediğim şey neydi?
Taban alanı çarpı piramidin yüksekliği bölü 3 bu kadar.
Yani siz mesela burada bir üçgen piramit aldığınızı düşünün.
Ne yapacağız hacmini hesaplamak için altta gördüğüm üçgenin yani burada çokgen olsa ne yapacaktım, çokgenin alanını hesaplayacaktım.
Alan ABC çarpı yükseklik, piramidin yüksekliği, piramidin yüksekliği nasıl bulunuyordu?
Burada gördüğünüz T noktasından alttaki düzleme dik iniyordum işte TG uzunluğum piramitin yükseklidir.
Alanı ABC çarpı TG uzunluğu bölü 3 size alanı verecektir.
Alan ABC'yi S olarak tanımlamışım, yüksekliği h olarak tanımlamışım.
S.h/3 size burada hacmi verecektir.
Düzgün dörtyüzlüden bi bahsedelim biraz özel bir durum olduğu için bahsetmekte fayda var.
Düzgün dörtyüzlü dostlar dört yüzü de eşkenar üçgen olan cisimdir.
Dört yüzü de eşkenardır.
Adına bakıp bakmayın öyle yani düzgün dörtyüzlü diyoruz da dört tane eşkenar üçgenin birleşimidir.
Böyle oluşan bir Düzgün piramittir.
Tabandaki üçgendeki alanı hesaplayabilir misiniz?
Hesaplarsınız.
Eşkenar üçgen, bir kenarı uzunluğunu biliyor musunuz?
Biliyorum, a yani a diyelim.
Taban alanım eşkenar üçgen.
O zaman a^2 kök 3 bölü 4, eşkenar üçgende bahsedilmişti.
a^2 kök 3 bölü 4.
Size bir taban ait alanı verecektir çünkü eşkenar üçgen.
Siz burada yüzey alanı hesaplayamaz mısınız?
Hesaplarım.
Neden?
Çünkü 4 tane bu yüzeyden var.
4 tane eşkenar yüzey.
4 çarpı şurada bulduğum sistem yani 4 çarpı a^2 kök 3 bölü 4 a^2 kök 3 eder o da yüzey alanınız eder.
Toplam yüzeydeki alandan bahsediyoruz.
Düzgün dörtyüzlünün yüksekliği demişiz.
Düzgün dörtyüzlünün yüksekliği şu formüldür dostlar, a çarpı kök 6 bölü 3.
Şimdi buradaki gördüğünüz yüksekliği nasıl hesaplayacağım?
Alttaki gördüğünüz şekil düzgün bir, bu bahsettiğim şekil düzgün bir şekil olduğu için, ağırlık merkezinden geçecek.
Bunun ağırlık merkezi dediğim şey de eşkenar üçgen için baksaydım dik inseydin ağırlık merkezine geçmeyecek miydi?
Çünkü bu aynı zamanda kenarortay ve açıortaydı.
Burada 30 60 90 üçgeni yapacaktım.
Rahatlıkla ilerleyip gelecektim buradan.
AG'yi de aynı şekilde yapabilirdim.
A'dan da dik çekseydim ve aynı şekilde buraya bir birim oranda, buraya 2 birim oranda gelecekti.
Şu uzunluğu bulacaktım, şu uzunluğu biliyorum zaten eşkenar üçgeni bir kenarı buradan yüksekliği bulabilecektim.
O formül işte buradan gelmekte dostlar.
Son olarak hacim hesaplasaydım ne yapacaktım?
Taban alanı çarpı yükseklik bölü üç.
Taban alın dediğim eşkenar üçgenimin alanı?
Yükseklik dediğim işte buradaki düzgün dörtyüzlünün yüksekliği, onu da yazdım, böyle 3 yaptım, şuna eriştim.
Yani siz bir kenar uzunluğunu bilirseniz rahatlıkla hızlı yolla hacme ulaşabiliyorsunuz.
a'nın küpü çarpı kök iki bölü 12 ile ulaşabilirsiniz.