Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar, bu dersimiz de kürenin hacmi ve kürenin yüzey alanıyla ile ilgili örnekler çözmeye devam edeceğiz.
İlk sorumuz la başlayalım.
Diyor ki hacmi 36 pi birim küp olan kürenin alanı kaç birim karedir?
Hemen kürenin hacmini hatırlayalım.
Neydi?
4.
3 çarpı pi re küp demiştik.
Siz bunu eğer gidip 36 piyasa eşit derseniz buradan apar piller kısalır.
Sevgili gençler hemen 30 6'yı dörde bölüm 9 3 yere 9 27 yani rakip eşittir yirmi yedi olmuş oldu ve buradan üç birim olarak bulunur değil mi?
Bana neyi soruyor alanı kürenin alanı.
Hemen şöyle yazalım yani yüzey alanı aslında dört pi r kare formülüyle bulunuyordu da 3'ün karesi 9 4'e çarptık.
Otuz altı pi birim kare olarak küre mizin alanı bulunmuş olur.
Sevgili gençler diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Yarıçapı r birim olan bir kürenin yarıçapı bir dik silindirin taban yarıçapı na eşittir.
Kürenin ve silindirin hacimleri de eşit olduğuna göre ne diyor silindirin yüksekliğini r türünden buluruz.
Şimdi sevgili arkadaşlarım, kürenin hacmi 4 bölü 3 pi rakip formülüyle bulunur.
Şimdi silindirin hacmi ise pi r kare haç formülüyle bulunur ve her ikisinin de tabanı yarı çapına r dedim.
Aslında ben o şekilde re re yazdık.
Birinde rakip diğerine r kare benden istediği şey has r türünden nedir acaba diyor.
Hemen bulmaya çalışalım.
Bakın piller kısa olsun mu?
Burada şuradaki r kare iki tanesini götür burada bir tane r kalmış oldu.
Dolayısıyla hemen aşağıda elde etmiş olduk.
Arkadaşlar neymiş?
4 r bölüğü 3 birim olarak sevgili arkadaşlar has r türünden hesaplanmış oldu.
Harç dediğimiz şeyde silindirin yüksekliği dir.
Bu arada tekrar hatırlatalım diyelim bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki taban yarıçapının uzunluğu 6 birim.
Ana doğrusunun uzunluğu 10 birim olan şekildeki dik kolinin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç birim küp dür diye sormuş.
Hemen bakınız orada bir küre çizmiş.
Aslında konunun içine en büyük hacimli olabilmesi için de bazı noktalardan teğet olmalı.
Konuya bu küre işte bakın şu noktada teğet olmuş bir bu noktada teğet olmuş.
2 Buradan da tabana teğet.
3.
Peki hemen bakalım şimdi burada yarı 6 diyelim.
Hatta buradaki merkezle, şuradaki aynı tabandaki daireden, merkezinden bahsediyorum, isterseniz ona m merkezi diyelim, m.
A uzunluğuna da hemen 6 diyelim.
Sevgili gençler, ana doğrusunun uzunluğu yani tbt tb.
Her isteğin ate da aynı şekilde.
Ana doğrunun uzunluğunu ifade 10'dur biliyorsunuz değil mi?
Dolayısıyla şimdi başlıyoruz.
Bana sorulan şey kürenin hacmi.
Kürenin neyine geçmem lazım.
Yarı çapına geçmem lazım.
Şuradaki teğet hemen bir tane dik indirelim buraya.
Büyük R diyelim benzerlik yapacağım.
Şu açı alfa bakın tamam 90 var.
Şuraya 90 x alfa ya da beta kullanabilirsiniz.
Ben beta diyeyim.
Sonrasında burada bir dikdik daha var.
A m t üçgenine bakın 90 var alfa var.
Dolayısı şu a köşesinde bulunan içene kaldı beta kaldı sevgili gençler ve biliyorsunuz şuradaki o m d r kadardır.
Bir tane de pisagor yapmam lazım orada.
M?
B?
T üçgenine lütfen bakalım.
Burada Pisagor yazılırsa Seeger 6'nın karesi artı metrenin karesi eşittir.
Onun Karesi eşitliği elde edilir.
Uzunlukları 6 8 10 üçgeninden tanıdım.
M t eşittir 8 birim olarak bulunur.
Malatya'nın tamamı 8.
Eee o m r olduğuna göre yukarıdaki ote dediğimiz bölüme ne kaldı?
Gençler 8.
Ekstra lik bir uzunluk kaldı.
Bakınız burdan buraya.
Şimdi şöyle diyorum.
Buradaki benzerliği yazarken aynı ağaçlara bakacağım.
Mesela şurada şuradaki küçük olan dik üçgen de Alfa'nın karşısında ne var?
R var.
Büyük olan dik üçgen de Alfa'nın karşısında altı var tamam.
Sonra büyük olan ve küçük olana önce küçük, sonra bir de baktım küçük de 90'ın karşısında 8 x r var.
Büyük de ise 90 ın karşısında ana omuz belediyeye kadar olan.
Yani 10 birimlik bir uzunluk var burada.
Hemen kısaltmaları yapalım.
2 ye bölümü iç içe bölüm.
5 Ne olur arkadaşlar?
5'e X 3 de öbür taraftan geldi.
Eksi 3 ve öbür tarafa atlama artı 3 r 8 r oldu herhalde.
5 artıştan şûrası 8 lira oldu.
Üç kere 8'de 24 oldu.
R eşittir buradan yanına yazalım 3 birim geldi.
Sevgili arkadaşlar, bu ne biliyor musunuz?
Kürenin yarıçapı bana hacmini soruyordu.
Aşağıya sıkıştırmaya çalışalım.
Hacim eşittir 4.
3 çarpı pi çarpı R'nin küpü yani 3 üzeri üç şu birer tane üçler sadece üçün karesi 9 4'le çarptım 36 pi birim küp olarak.
En son süremizin hacmi bulunmuş olur.
Kıymetli arkadaşlarım diyelim bir sonraki sorumuza geçmiş olalım şekildeki diyor.
Küre içine yerleştirilmiş silindirin yüksekliğine emiş 4 müş arkadaşlar hemen 4 olarak yazalım ve hacmi bu silindirin hacmi neymiş?
16 Bir silindirin hacmi nasıl bulunur?
Şekli taban merkezini işaret diyelim.
Buraya gelelim r.a.
Diyelim.
Peki BİLİYORSUNUZ nedir?
Rekora.
Çarpı has yani dört eşittir on altı iyiymiş.
Piller kısa alsın.
On altı, dörder bölüm dört rek arayışıdır.
4'ten eştir, iki santimetre geldi.
Bakın silindirin nesi bu?
Sevgili gençler.
Taban yarıçapının uzun mu?
Evet.
Şimdi ben ne yapacağım?
Burada reyi bulduk, kürenin hacmine geçmek için ya da yüzey alanına geçmek için bana 100 yalan sorulmuş ama her ikisi için de lazım.
Buradaki kürenin merkezini işaret dedikten sonra şu şekilde büyük re deyip yarı çapını bulmamız lazım, öyle değil mi?
Evet, bakın için olmazsa bulacağım.
Sevgili arkadaşlarım hemen şurada bir tane dik üçgen elde etmeye çalışıyorum.
Ve ben biliyorum ki buradaki şuraya ne diyelim isterseniz tepe noktası diyelim ben şûrası a noktası olsun.
Ate uzunluğu nedir?
Aslında silindirin taban yarıçapı uzunluğuna eşit ve iki santim midir?
Şu nokta B olsun AB 4 olduğuna göre o TED onun yarısı olmuş olacak tam.
Çünkü orta noktası o kimin orta noktası biliyorsunuz r.
C diyelim cephenin orta noktası demek ki burada 2 2 olmuş oldu.
2 2 2 kök işi diyebilirsiniz.
Ya da işte 2'nin karesi artı 2'nin karesi eşittir r'nin karesi.
Buradan kürenin yarıçapı olan büyük r iki kök 2 santimetre olarak bulundu.
Buradan sonra şöyle devam edeyim.
Yüzey Alanı Kimin Küre'nin nasıl bulunur?
4 Pi R'nin Karesi demiştik.
Yani 2 kök 2'nin karesi.
Bakın 2'nin karesi, 4 2'nin karesi.
2 çarptık onları 8 4 çarparsa 32 pi santimetre kara olarak.
Sevgili arkadaşlar, bu kürenin yüzey alanı hesaplanmış olur.
Diyelim bir sonraki sorumuza geçelim.
Yarıçapı r birim olan bir küre ile taban yarı çapları r birim olan yine bir dik dairesel silindir ve dik dairesel kolinin üçünün de hacimleri eşit olduğuna göre cisimlerin yükselttiklerini R cinsinden bulunurlar.
Şimdi arkadaşlar hemen burada diyorum.
Taban yarıçapı r olan bir küre nedir?
Kürenin hacmi 4 3 çarpı pi çarpı metreküptür.
Bu kürenin hacmi ayrıca dik silindirin hacmi de buna işitmiş.
Şimdi dik silindirin hacmi nasıl bulunur?
Pire, kare, taban alanı.
Çarpı Yükseklik.
Kaş, 2.
Sonra geldik konuya.
Kol linki nasıl bulunacak?
Arkadaşlar bunun bir bölümü var.
Pire kara gene taban yarıçapı idi ya taban alanı çarpı yine yüksekliği burada birinci haşhaş silindir diyelim silindirin haşir.
Bu da hoş koni diyelim.
Şöyle halka şeklinde gösterelim.
Bunların hepsi birbirine eşit imiş.
Yani şuna ne dedik aslında biz ve küre yani kürenin hacmi bu ise ve silindir silindirin hacmi.
Son olarak bu şu en sondaki kısımda ve koni.
Sevgili arkadaşlar, evet ilk 2 eşitliğe bakalım.
Mesela şu ikisine baktık burada ne olur?
4 3 çarpı pi r küp eşittir pi r kare hash silindir.
Tekrar yazmamın sebebi şu saat eleştireceğim üzerinden silmek istemedim.
Şunlar geçti, şu da gitti bir kaldı.
Yani bu durumda ne oldu biliyor musunuz?
Silindirin yüksekliği yani Haşd silindir 4 R 3 oldu.
Bu bir geldik şu ikisine üstünde bunu sadeleştirme yapabiliriz.
Karışmayacak da herhalde artık.
Pilar yine gitti.
Sevgili gençler burada şimdi r kareleri de ben sadeleştirilmiş, hemen onlar da gitmiş olsun.
Ne oldu biliyor musunuz?
Aslında koloninin yüksekliği üç tane silindir yüksekliği oldu.
Silindir yüksekliğini 4 3 yazıyorum.
Yani koni kolinin yüksekliği üçler gidecek orada üç çarpı dört üçten şeklinde.
Sağa eleştirim konunun yüksekliğinin olsun 4 R olarak bulunmuş olsun sevgili gençler.
Evet bana cisimlerin yükseklikten direğe cinsinden bulunuz diyordu.
Yüksekliği olan zaten bir silindir var, bir koni var, ikisinin de yüksekliğini R türünden bulmuş olduk diyelim.
Ve bu sorumuz da birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.
İlk sorumuz la başlayalım.
Diyor ki hacmi 36 pi birim küp olan kürenin alanı kaç birim karedir?
Hemen kürenin hacmini hatırlayalım.
Neydi?
4.
3 çarpı pi re küp demiştik.
Siz bunu eğer gidip 36 piyasa eşit derseniz buradan apar piller kısalır.
Sevgili gençler hemen 30 6'yı dörde bölüm 9 3 yere 9 27 yani rakip eşittir yirmi yedi olmuş oldu ve buradan üç birim olarak bulunur değil mi?
Bana neyi soruyor alanı kürenin alanı.
Hemen şöyle yazalım yani yüzey alanı aslında dört pi r kare formülüyle bulunuyordu da 3'ün karesi 9 4'e çarptık.
Otuz altı pi birim kare olarak küre mizin alanı bulunmuş olur.
Sevgili gençler diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Yarıçapı r birim olan bir kürenin yarıçapı bir dik silindirin taban yarıçapı na eşittir.
Kürenin ve silindirin hacimleri de eşit olduğuna göre ne diyor silindirin yüksekliğini r türünden buluruz.
Şimdi sevgili arkadaşlarım, kürenin hacmi 4 bölü 3 pi rakip formülüyle bulunur.
Şimdi silindirin hacmi ise pi r kare haç formülüyle bulunur ve her ikisinin de tabanı yarı çapına r dedim.
Aslında ben o şekilde re re yazdık.
Birinde rakip diğerine r kare benden istediği şey has r türünden nedir acaba diyor.
Hemen bulmaya çalışalım.
Bakın piller kısa olsun mu?
Burada şuradaki r kare iki tanesini götür burada bir tane r kalmış oldu.
Dolayısıyla hemen aşağıda elde etmiş olduk.
Arkadaşlar neymiş?
4 r bölüğü 3 birim olarak sevgili arkadaşlar has r türünden hesaplanmış oldu.
Harç dediğimiz şeyde silindirin yüksekliği dir.
Bu arada tekrar hatırlatalım diyelim bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki taban yarıçapının uzunluğu 6 birim.
Ana doğrusunun uzunluğu 10 birim olan şekildeki dik kolinin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç birim küp dür diye sormuş.
Hemen bakınız orada bir küre çizmiş.
Aslında konunun içine en büyük hacimli olabilmesi için de bazı noktalardan teğet olmalı.
Konuya bu küre işte bakın şu noktada teğet olmuş bir bu noktada teğet olmuş.
2 Buradan da tabana teğet.
3.
Peki hemen bakalım şimdi burada yarı 6 diyelim.
Hatta buradaki merkezle, şuradaki aynı tabandaki daireden, merkezinden bahsediyorum, isterseniz ona m merkezi diyelim, m.
A uzunluğuna da hemen 6 diyelim.
Sevgili gençler, ana doğrusunun uzunluğu yani tbt tb.
Her isteğin ate da aynı şekilde.
Ana doğrunun uzunluğunu ifade 10'dur biliyorsunuz değil mi?
Dolayısıyla şimdi başlıyoruz.
Bana sorulan şey kürenin hacmi.
Kürenin neyine geçmem lazım.
Yarı çapına geçmem lazım.
Şuradaki teğet hemen bir tane dik indirelim buraya.
Büyük R diyelim benzerlik yapacağım.
Şu açı alfa bakın tamam 90 var.
Şuraya 90 x alfa ya da beta kullanabilirsiniz.
Ben beta diyeyim.
Sonrasında burada bir dikdik daha var.
A m t üçgenine bakın 90 var alfa var.
Dolayısı şu a köşesinde bulunan içene kaldı beta kaldı sevgili gençler ve biliyorsunuz şuradaki o m d r kadardır.
Bir tane de pisagor yapmam lazım orada.
M?
B?
T üçgenine lütfen bakalım.
Burada Pisagor yazılırsa Seeger 6'nın karesi artı metrenin karesi eşittir.
Onun Karesi eşitliği elde edilir.
Uzunlukları 6 8 10 üçgeninden tanıdım.
M t eşittir 8 birim olarak bulunur.
Malatya'nın tamamı 8.
Eee o m r olduğuna göre yukarıdaki ote dediğimiz bölüme ne kaldı?
Gençler 8.
Ekstra lik bir uzunluk kaldı.
Bakınız burdan buraya.
Şimdi şöyle diyorum.
Buradaki benzerliği yazarken aynı ağaçlara bakacağım.
Mesela şurada şuradaki küçük olan dik üçgen de Alfa'nın karşısında ne var?
R var.
Büyük olan dik üçgen de Alfa'nın karşısında altı var tamam.
Sonra büyük olan ve küçük olana önce küçük, sonra bir de baktım küçük de 90'ın karşısında 8 x r var.
Büyük de ise 90 ın karşısında ana omuz belediyeye kadar olan.
Yani 10 birimlik bir uzunluk var burada.
Hemen kısaltmaları yapalım.
2 ye bölümü iç içe bölüm.
5 Ne olur arkadaşlar?
5'e X 3 de öbür taraftan geldi.
Eksi 3 ve öbür tarafa atlama artı 3 r 8 r oldu herhalde.
5 artıştan şûrası 8 lira oldu.
Üç kere 8'de 24 oldu.
R eşittir buradan yanına yazalım 3 birim geldi.
Sevgili arkadaşlar, bu ne biliyor musunuz?
Kürenin yarıçapı bana hacmini soruyordu.
Aşağıya sıkıştırmaya çalışalım.
Hacim eşittir 4.
3 çarpı pi çarpı R'nin küpü yani 3 üzeri üç şu birer tane üçler sadece üçün karesi 9 4'le çarptım 36 pi birim küp olarak.
En son süremizin hacmi bulunmuş olur.
Kıymetli arkadaşlarım diyelim bir sonraki sorumuza geçmiş olalım şekildeki diyor.
Küre içine yerleştirilmiş silindirin yüksekliğine emiş 4 müş arkadaşlar hemen 4 olarak yazalım ve hacmi bu silindirin hacmi neymiş?
16 Bir silindirin hacmi nasıl bulunur?
Şekli taban merkezini işaret diyelim.
Buraya gelelim r.a.
Diyelim.
Peki BİLİYORSUNUZ nedir?
Rekora.
Çarpı has yani dört eşittir on altı iyiymiş.
Piller kısa alsın.
On altı, dörder bölüm dört rek arayışıdır.
4'ten eştir, iki santimetre geldi.
Bakın silindirin nesi bu?
Sevgili gençler.
Taban yarıçapının uzun mu?
Evet.
Şimdi ben ne yapacağım?
Burada reyi bulduk, kürenin hacmine geçmek için ya da yüzey alanına geçmek için bana 100 yalan sorulmuş ama her ikisi için de lazım.
Buradaki kürenin merkezini işaret dedikten sonra şu şekilde büyük re deyip yarı çapını bulmamız lazım, öyle değil mi?
Evet, bakın için olmazsa bulacağım.
Sevgili arkadaşlarım hemen şurada bir tane dik üçgen elde etmeye çalışıyorum.
Ve ben biliyorum ki buradaki şuraya ne diyelim isterseniz tepe noktası diyelim ben şûrası a noktası olsun.
Ate uzunluğu nedir?
Aslında silindirin taban yarıçapı uzunluğuna eşit ve iki santim midir?
Şu nokta B olsun AB 4 olduğuna göre o TED onun yarısı olmuş olacak tam.
Çünkü orta noktası o kimin orta noktası biliyorsunuz r.
C diyelim cephenin orta noktası demek ki burada 2 2 olmuş oldu.
2 2 2 kök işi diyebilirsiniz.
Ya da işte 2'nin karesi artı 2'nin karesi eşittir r'nin karesi.
Buradan kürenin yarıçapı olan büyük r iki kök 2 santimetre olarak bulundu.
Buradan sonra şöyle devam edeyim.
Yüzey Alanı Kimin Küre'nin nasıl bulunur?
4 Pi R'nin Karesi demiştik.
Yani 2 kök 2'nin karesi.
Bakın 2'nin karesi, 4 2'nin karesi.
2 çarptık onları 8 4 çarparsa 32 pi santimetre kara olarak.
Sevgili arkadaşlar, bu kürenin yüzey alanı hesaplanmış olur.
Diyelim bir sonraki sorumuza geçelim.
Yarıçapı r birim olan bir küre ile taban yarı çapları r birim olan yine bir dik dairesel silindir ve dik dairesel kolinin üçünün de hacimleri eşit olduğuna göre cisimlerin yükselttiklerini R cinsinden bulunurlar.
Şimdi arkadaşlar hemen burada diyorum.
Taban yarıçapı r olan bir küre nedir?
Kürenin hacmi 4 3 çarpı pi çarpı metreküptür.
Bu kürenin hacmi ayrıca dik silindirin hacmi de buna işitmiş.
Şimdi dik silindirin hacmi nasıl bulunur?
Pire, kare, taban alanı.
Çarpı Yükseklik.
Kaş, 2.
Sonra geldik konuya.
Kol linki nasıl bulunacak?
Arkadaşlar bunun bir bölümü var.
Pire kara gene taban yarıçapı idi ya taban alanı çarpı yine yüksekliği burada birinci haşhaş silindir diyelim silindirin haşir.
Bu da hoş koni diyelim.
Şöyle halka şeklinde gösterelim.
Bunların hepsi birbirine eşit imiş.
Yani şuna ne dedik aslında biz ve küre yani kürenin hacmi bu ise ve silindir silindirin hacmi.
Son olarak bu şu en sondaki kısımda ve koni.
Sevgili arkadaşlar, evet ilk 2 eşitliğe bakalım.
Mesela şu ikisine baktık burada ne olur?
4 3 çarpı pi r küp eşittir pi r kare hash silindir.
Tekrar yazmamın sebebi şu saat eleştireceğim üzerinden silmek istemedim.
Şunlar geçti, şu da gitti bir kaldı.
Yani bu durumda ne oldu biliyor musunuz?
Silindirin yüksekliği yani Haşd silindir 4 R 3 oldu.
Bu bir geldik şu ikisine üstünde bunu sadeleştirme yapabiliriz.
Karışmayacak da herhalde artık.
Pilar yine gitti.
Sevgili gençler burada şimdi r kareleri de ben sadeleştirilmiş, hemen onlar da gitmiş olsun.
Ne oldu biliyor musunuz?
Aslında koloninin yüksekliği üç tane silindir yüksekliği oldu.
Silindir yüksekliğini 4 3 yazıyorum.
Yani koni kolinin yüksekliği üçler gidecek orada üç çarpı dört üçten şeklinde.
Sağa eleştirim konunun yüksekliğinin olsun 4 R olarak bulunmuş olsun sevgili gençler.
Evet bana cisimlerin yükseklikten direğe cinsinden bulunuz diyordu.
Yüksekliği olan zaten bir silindir var, bir koni var, ikisinin de yüksekliğini R türünden bulmuş olduk diyelim.
Ve bu sorumuz da birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.
