Sayısal Mantık Nedir

Merhabalar arkadaşlar, şimdi sayısal mantık içeren problemleri inceleyeceğiz, yani farklı soru tiplerine bakacağız problemlerle alakalı.
Şimdi ilk x, y, z ve t gerçek sayıları için arkadaşlar bakınız her bir bölmeye x, y, z ve t eden biri yazılmış ve daha sonra bu eşittir denmiş.
x z'ye bölünecek artı y eklenecek.
Daha sonra en son üsse de t koyulacak.
Yani arkadaşlar şu kutucuktakileri takip ederek biz bunları yazacağız.
Daha sonra bu şekilde bir işlem tanımlanmış.
Daha sonra içine satılar yazılarak bunlar ve birbirine eşitlenmiş.
Tabii burada değişkenler var.
Buna göre a kaçtır?
Şimdi arkadaşlar o zaman demek ki buradaki ifadeyi biz takip ederek buradaki sayıları yerleştireceğiz.
Şimdi ne yapıyor x'i z'ye bölüyor, yani en soldakileri birbirlerine bölüyor.
O zaman demek ki 16'yı 8'e böleceğim.
16'yı 8'e bölersem 2 eder arkadaşlar.
Daha sonra artı diyor y ekleniyor y'de çaprazdaki kutu.
Yani bunların çaprazında ki sağ üstteki kutu yani bu ek deniyormuş o zaman 2 ekleniyor.
Daha sonra üssüne de geliyormuş arkadaşa sağ alttaki kutu, yani t.
O zaman demek ki a artı üçü de ben buraya yazacağım.
Daha sonra eşittir diyorum artık buradan sonra.
Daha sonra burada bakınız soldakileri birbirlerine böl, sekizi bire böldüğünüzde 8 gelecek gelecek.
Daha sonra artı y'yi ekle.
Yani sekize ekle burada.
Daha sonra üssüne de 2a eksi üçü yaz.
Bu elde edildikten sonra buradaki denklem çözülecek.
Şimdi bunu olmuş olduk.
Dört üzeri a artı üç olmuş oldu.
Burası da bu sefer 16 üzeri 2a eksi 3 olmuş oldu.
Şimdi baktığımızda tabanlar 4 ve 16.
O zaman demek ki bu tabandan iki tabanında yazılabilir.
Şimdi burası 2'nin karesi.
Bu da 2 üzeri 4 olduğu için üssün üssü kuralından burası iki üzeri 2a artı 6 olacaktır.
Yani 2'nin karesi geldi, ikiyi dağıttım.
Burası da 2 üzeri 4'ten dördü bu sefer de attığımızda iki üzeri 8a eksi 12 elde ediyoruz.
Yani dört ile bunları çarptım.
Üslü sayılarda tabanları aynı ise üsler birbirine eşittir.
O zaman buradan 2a artı 6'ya ben 8a eksi 12 eşit diyorum.
2a'yı sağ tarafa aldım.
Eksi 12'y de sol tarafa aldım.
Burası 18 yaptı.
Burası da 6a yaptı.
O zaman her tarafı 6 ile sadeleştirdiğimde a'yı buradan 3 olarak buluyorum.
Zaten bize de a' sorulmuştu.
Peki şimdi diğer bir örneğimiz.
Burada bir şekil var bakalım yanda birbirlerine birleştirilmiş üçgenlere aşağıdan yukarıya doğru artacak şekilde doğal sayılar yazılacaktır.
Buna göre x artı z toplamı kaç farklı değer alabilir.
Şimdi arkadaşlar burayı incelediğimizde iki tane şekil olduğunu görüyoruz.
Üçgenler var, bu sefer aşağıdan yukarıya doğru artacak.
Kuralımız bu olacak ve bunlara doğal sayı yazılacak.
Şimdi arkadaşlar burada bakınız sınırlayanlar var x ve z'yi.
Nasıl sınırlıyorlar?
Alt tarafa biz en küçük üç yazabilmişiz arkadaşlar ve daha sonra üst tarafa da en büyük 10 yazabilmişiz ve bakınız arada bir bağlantı var.
x'ler burada konumlandırılmış.
O zaman demek ki ben şöyle yapıyorum.
x en küçük ne alır?
x arkadaşlar 3'ten büyük olan çünkü aşağıdan yukarıya doğru artacak şekilde yazacaktı.
Üçten büyük olan bir doğal yazıyorum.
Yani x'in yanına ben burada 4 yazmak istiyorum.
Peki z'nin yerine arkadaşlar neler gelebilir?
Z'nin yerine bakınız buraya 4'ü yazdığınız anda artık buraya da 4 yazmış oluyorsunuz.
Buraya 4 yazdığınızda artık z 4'ten büyük olan ama 10'dan küçük olan sayılar olacak.
Peki birkaç tane değer var orada.
4'ten büyük olacaksa 5 olabilir, 6 olabilir.
Bunları direk yan yana virgül olarak yazayım.
7 olabilir, 8 olabilir, bir de 9 olabilir arkadaşlar.
Yani x 4 olduğunda z'nin alabildiği değerler burada.
Peki daha sonra devam eder.
Çünkü x sadece 4'ü almaz bu sefer.
X bundan büyük olan 5 alır.
Beşe aldığımızda artık bire 5 yazmış olduk.
5 ile 10 arasındaki z doğal sayıları o zaman demek ki 5'ten büyük olacak, 6, 7, 8, 9 şeklinde gidecek.
Arkadaşlar artık buradan fark ettiysek şunu yapabiliriz.
Bakınız 5 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9.
Demek ki bu bu şekilde azalarak gelecek, x'te büyüyerek gidecek.
O zaman x'i 6 aldığımızda z 6'dan farklı olan 9'a kadar olan sayılar olacak.
Yani 7, 8 ve 9 alacak.
Daha sonra hızlıca devam edelim.
x buradan 7 iken z buradan 8'de 9 daha sonra en son x buradan artık 8'i aldın da z ye sadece 9 alır.
x burada dokuzu alamaz çünkü 9'u aldığında z'ye herhangi bir doğal sayı kalmıyor.
Peki x artı z toplamı kaç farklı değer alabilir?
Bunlara da bakalım.
Şimdi şu ilk ifade de x ve z'nin toplamı yani aslında x'i 4 seçtiğimiz de z burada da 5, 6, 7, 8, 9 seçiliyor.
O zaman 4'e 5, 6, 7 ve 8 ve 9 eklediğimizde neler elde ediyoruz ona bakalım.
Dörde 5 eklediğimizde 9 elde diyoruz.
Daha sonra altı eklediğimizde 10, yedi eklediğimizde o zaman buradan 11 olacak, 8 eklediğimizde 12 ve 9 eklediğimizde buradan 13 elde diyoruz.
Şimdi burada da bir bağlantı gelecek.
Şimdi ikinciye geçelim.
Beşe altı eklediğimizde 11 elde diyoruz.
Yedi eklediğimizde buradan 12 elde diyoruz.
Bakınız bunlar farklı değil.
x artı z toplamı kaç farklı değer alır diyor.
Şu an hala daha aynı şeyleri sayıyorum.
Beşe 8 eklediğimizde buradan 13 elde ediyorum ve 5'e 9 eklediğimde 14 elde ediyorum.
Bakınız sadece farklılığı oluşturan şu oldu.
x burada büyüdüğünde z'nin de en büyük olan 9 eklediğimizde farkındalık oluştu bir öncekine göre.
Çünkü bu 9, 10, 11, 12, 13'a kadar gitti.
Bu ise 11 12 13'e kadar zaten aynı geldi.
Sadece 14 eklendi.
14'te bu sefer x'in aldı değer ve z'nin aldığı en büyük değerle geldi.
O zaman bu saatten sonra ben şunları yok edebilirim.
Çünkü bunlar farklı değer değil.
Burada zaten sayıldı.
Bu saatten sonra artık hep tek gelecektir.
Yani 6'nın üstüne 9 koyduğumuzda 15 gelecek.
Buradan öncekiler aynı zaten.
Burada da 7'nin üstüne 9 koyduğumuzda 16, burada da 8'le 9'u zaten direk olarak topladığımızda 17 olacak.
Bakınız kaç farklı değer oldu.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Yani burada toplamda dokuz tane farklı değerin geldiğini söyleriz.
Peki farklı bir örneğimiz.
Yukarıda üçgensel sayıların ilk üç adımı verilmiştir.
Buna göre bu dizinin on beşinci adımında kaç tane nokta vardır?
Arkadaşlar bunlar örüntü olarak devam ediyorlar.
Şimdi bu şekilde görerek yapmak zor.
O yüzden bunları yazmamız lazım ve sayılar arasında bir bağlantı bulmamız lazım.
Şimdi ben diyorum ki birinci adımda bir tane nokta var.
Daha sonra ikinci adımda buradan üç tane nokta olduğunu söylerim.
Ama şöyle yazmak istiyorum fark edebilmek için bir vardı ya birin üstüne iki koyduğunu söylüyorum üç tane olduğunu.
Daha sonra üç olduğunda bu sefer ne olmuş?
Bu sefer bir üç altı olmuş oldu.
Yani aslında bir iki üç eklenmiş oldu.
Bakınız altı altı sağlıyor.
O zaman demek ki mantığı gördüğümüzü düşünüyorum.
O zaman 4'ü de biz yazalım.
Bakınız 1, 1 2, 1 2 3.
O zaman demek ki bu saatten sonra bir, iki, üç ve dört olacak.
Peki kural artık bu şekilde devam edecek, bozulmayacak bu kural.
Peki bu kural aşağıya doğru gitti.
En son 15'inci adıma geldi.
Peki 15.
adımda ne olacak?
Bakınız arkadaşlar inceledim.
Birinci adımda bir nokta.
İkinci adımda 1'den 2'ye kadar olanlar, üçüncü adımda 1'den 3'e kadar olan sayılar.
Dördüncü adımda birden dörde kadar olan sayıların toplamı geldi.
O son on beşinci adımda da birden başlayacaktır.
Iki, üç, dört şeklinde gidecek.
En son kaça kadar ulaşacak?
15'e kadar ulaşacaktır.
On beşinci adımda en son 15 tane buraya eklenmiş olacak.
O zaman aslında 15'inci adım da 1'den 15'e kadar olan sayıların toplamı olacak.
O zaman 1'den 15'e kadar olan sayıların toplamını biz nasıl buluyoruz arkadaşlar?
Son terim son terimin bir fazlasıyla çarpıp ikiye bölünecek.
O zaman böyle sadeleştirdiğimizde 8, 15'i de sekizle çarptığımda burada 120 tane noktanın olduğunu söyleriz.
Peki son örneğimiz arkadaşlar.
Doğukan bir ok atma yarışmasına katılmıştır.
Bu yarışmadaki bilinmesi gerekenler aşağıda verilmiştir.
Toplam 30 atış yapılacaktır.
Hedef vurulursa 2 puan kazanılacak.
Hedef vurulmazsa 1 puan kaybedilecektir.
Doğukan bu yarışmadan 27 puan aldığına göre kaç atışta hedefi uğramamıştır?
Şimdi vurulamayanları arıyoruz burada.
Şimdi burada değişken vererek çözeceğiz arkadaşlar.
Hedef vurulursa 2 puan kazanılıyor ama kaç hedef vurulduğunu bilmiyoruz.
O zaman ben diyorum ki ilk hedef vurulmuş olsun.
Burada ve hedef kurulamazsa da 1 puan kaybediyoruz.
Kaç tane hedefi de vurduğumuzu vuramadığımızı bilmediğimiz için ona da y tane demiş oluyorum.
Peki sonuçta bütün atışları yapıyoruz.
Yani aslında vurulanlarla vurulmayanların toplamlarının 30 olduğunu söylüyoruz burada.
Yani x artı y eşittir 30 dur.
Çünkü toplam 30 atış yapılıyor.
Peki bunlardan gelen puanlar ne?
Bir tanesinden vurulanlardan bir tanesinden 2 puan geliyorsa x tanesinden o zaman demek ki 2x puan gelecektir.
Vurulamayanlardan bir tanesinden bir puan kaybediyorsa o zaman demek ki Y tanesinden arkadaşlar Y tane kaybedilecek.
Ama ben bunu toplam puan olana etkisini eksi y olarak göstermeliyim.
Çünkü onları çıkartacağız.
Bir puanı kaybediyoruz.
O zaman demek ki işte buradaki bize toplam puanı verir.
Toplam puan da arkadaşlar 27 olarak verilmiş.
Aslında normal bir problem o zaman demek ki alt alta toplayarak burada arkadaşlar eksileri artıya götürelim ve x'i bulalım.
O zaman 3x elde etmiş oluyoruz.
Burada 3x 30'la 27 topladığımızda 57 oluyor.
O zaman her tarafı üçe böldüğümde x eşittir buradan 19 elde etmiş oluruz.
x burada vurulanlardı arkadaşlar bize vurulmayanlar lazım.
Vurulmayanlar arkadaşlar tamamından, 19'u çıkartmakla veya buradaki denklemlerinin herhangi birinde x yerine 19 koymakla bulunabilir.
O zaman demek ki 30'dan burada 19'u çıkartıyorum.
Bu çıkartma işlemini yaptığımızda 11 tane vurulamayan olduğunu söyleriz.
Yani y'nin burada 11 olduğunu söyleriz.