Sayı Kümeleri

Merhabalar arkadaşlar, şimdi sayı kümelerini inceleyeceğiz.
İlk olarak doğal sayılar kümesine bakalım.
Doğal sayılar sonra sonsuza kadar gidecektir ve hiçbir zaman bitmeyecektir.
Biz doğal sayıları nasıl gösteririz?
N sembolü ile göstermiş oluruz.
Daha sonra tam sayılar kümesi buradan zaten sağ taraftaki sayılar bize vardı tam sayılar artık ne olmuş oluyor?
Eksiler de eklenmiş oluyor.
Eksi 1, eksi 2, eksi 3, eksi 4, eksi 5.
Buradan sonra eksi sonsuza kadar gidecek ve tam sayıları da biz büyük z harfi ile göstermiş olacağız.
Eğer bu büyük z'nin üstüne artıyı koyarsak buradan anlayacağımız pozitif tamsayılar demektir yani bu sefer birden başlar ve artı sonsuza kadar gider.
Eğer bu artının yerine eksi gelirse bu sefer bu da negatif tam sayılar gösterir ki bu da zaten eksi birden başlar ve eksi sonsuza kadar gider.
Bakınız dikkat ederseniz 0 bunların ikisinde de yok ve biz burada ne diyeceğiz?
0 işaretsiz bir sayıdır diyeceğiz çünkü 0'ın herhangi bir işareti yoktur ne negatiftir ne de pozitif bir sayıdır.
Peki daha sonra rasyonel sayılar, a ve b tam sayılar ve b de sıfırdan farklı olmak üzere a bölü b şekilde yazılabilen sayılara biz rasyonel sayılar diyeceğiz yani kesirli sayılar olacak arkadaşlar bunlar ve paydaya sıfır gelmeyecek.
Bakınız b çünkü sıfırdan farklı diyoruz, tabi burada hep kesri göreceğiz diye bir şey yok rasyonel sayılarda mesela 5 sayısı değil mi 5 sayısı da bir rasyoneldir.
Neden rasyoneldir?
Çünkü bunun altında aslında 1 vardır ama biz 5 bölü 1 yazmayız direkt olarak biz bunu 5 olarak kabul ederiz yani rasyonel sayı olduğunu bu şekilde de göstermiş oluruz.
Peki bunları birkaç tane örnek yazmak istiyorum ben, mesela 4 bölü 5 bu bir rasyonel sayıdır mesela eksi 3 bölü 7 Bu da bir rasyonel sayıdır ve bu şekilde gider.
Biz rasyonel sayıları Q simgesiyle gösteririz.
Eğer bu Q'nun üstüne eksi gelirse negatif rasyonel sayıları gösterirken tam sayılardaki gibi artı gelirse bu sefer pozitif rasyonel sayıları gösterecek.
Peki daha sonra irrasyonel sayılar.
Bu sefer irrasyonel sayılara ne diyeceğiz?
Rasyonel olmayan sayılar diyeceğiz yani a ve b tam sayı, b de sıfırdan farklı olursa a bölü b şeklinde yazamıyorsak biz bu sayıyı bu sayıya irrasyonel sayılar deriz ve bakınız rasyonelin aslında dışındakilerden bahsettiğimiz için Q'nun üstüne burada tümleyen gelecektir ve bu şekilde göstereceğiz biz bunu.
Mesela onlara birkaç tane örnek verecek olursak kök 2, eksi kök 3.
Kök 3 bölü 7.
Bu tarz sayılar irrasyonel sayılardır.
Hep bu şekilde olmak zorunda değil yani hep köklü sayı olmak zorunda değil, mesela pi sayısı özel bir sayıdır değil mi?
Ne yapar?
3,14 diye başlar ve bundan sonra hiç bitmez ve hiç aynı şekilde devam etmez yani çok karışık bir şekilde devam eder.
Biz buna irrasyonel sayı deriz, mesela e sayısı.
Bu da özel bir sayıdır.
Bu 12.
sınıftaki bir konu içerisinde geçer, şöyle bu da 2,71 diye başlar ve bu da yine sonsuza kadar giden sayılardan oluşur.
Daha sonra reel sayılar.
Reel sayılarda işte bu zamana kadar gördüğümüz rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşiminden oluşur.
Yani bütün hepsini içine alan bir kümedir bu.
Bunu da nasıl gösteririz?
R harfi ile gösteririz ve üstüne sadece eksi simgesi koyarsak negatif gerçek sayıları gösterirken artı koyduğumuzda pozitif gerçek sayıları gösterecektir.
Şimdi buradaki gördüğümüz bütün sayı kümelerini Venn şemasında ben göstermek istiyorum.
Bakınız burada her şey çok daha açık olacak.
İlk önce doğal sayılar, bakınız doğal sayıları gördük 0,2,3 daha sonra bunun dışında bir küme var, tam sayılar.
Bakınız alt kümesi oldu doğal sayılar tam sayıların çünkü doğal sayıların içinde ne varsa tam sayıların içinde de var.
Daha sonra eksiler girmiş oldu.
Doğal sayılardan farklı olarak bir iki örnek buraya yazdık.
Daha sonra tam sayıların da dışında yani bunu da kapsayan bir rasyonel sayılar oldu yani buraya da artık kesirli sayılar girmeye başladı.
Yani -2 bölü 3 ki bundan harici olarak irrasyonel sayılar vardır ve bunu artık bununla bağlantılı çizemeyiz, herhangi bir kesişim oluşturamayız.
O yüzden bunu da dışına çizdik ve burada Q'nun tümleyeni yani irrasyonel sayılar oldu.
kök 2 , eksi kök 3 gibi sayılardan bahsettik ve en son olarak reel sayılardan bahsettik.
Reel sayılar da buradaki işte tüm hepsini kapsayan sayılardan oluşur.
Bunun da aslında üstünde bir sayı kümesi var.
Ona da karmaşık sayılar denir ama şu anlık sizi bu durum ilgilendirmiyor.
Peki, gerçek sayılar kümesinin toplama ve çarpma işleminin özellikleri.
Aslında biz bu özellikleri hep kullanıyoruz ama bu özellikleri kullanırken özelliğin ismini söyleyerek kullanmıyoruz yani aslında hep yaptığımız işlemlerde olan şeyler bunlar ama aslında farkında olmadan yapıyoruz.
Biz yine de bunları bir anlamlandıralım Mesela her a virgül b elemanı reel sayılar için a artı b elemandır reel sayılar diyor yani seçtiğimiz tüm reel sayılarda bakınız değişken olarak vermiş yani genelleme demektir bu.
Tüm reel sayılarda toplarsan yine reel sayılar olur diyor.
Yani aslında reel sayıların içinde kalırsın demeye çalışıyor.
İçinde kalmak demek o kümenin içinde kalmak demek kapalılık demek yani bu küme kapalı dışına bir şey sarkıtmıyor içinden seçtiğin elemanlarla yaptığın toplama işlemi dışarıya çıkartmıyor demektir.
Daha sonra her a virgül b elemandır reel sayılar için a artı b, b artı a bakınız yerlerini değiştirmiş, değil mi?
Değiştirme kelimesini kullandığım için bu da değişme özelliğidir.
Buraya özellik yazmıyorum, benim sadece ismini yazıp geçeceğim.
Daha sonra seçtiğimiz üç elemanda bakınız a artı b artı c, a artı b parantezi kapatmış artı c var.
Yani parantezlerin yeri değişmiş sadece.
O zaman demek ki bu da birleşme özelliğidir bakınız değişme birleşme ve kapalılık özellikleri reel sayılarda var.
Daha sonra her a elemandır reel sayılar için seçtiğimiz bütün reel sayılar için düşününüz a ile 0'ı toplasak da 0'la a'yı toplasak sonuç yine a'dır.
Yani bu toplamaya herhangi bir etkisi olmuyor bu 0'ın.
Etkisi olmadığı için biz buna etkisiz eleman deriz.
Etkisiz eleman yani etkisiz elemandan kastımız 0 buradaki a değil 0 etkisiz elemandır burada ve en son olarak her a elemandır reel sayılar için a ile eksi a'yı veya eksi a ile a'yı topladığımızda 0'ı elde ediyoruz.
Yani aslında burada toplamaya göre tersinden bahsediyoruz yani seçtiğim bir a elemanının tersi eksi a'dır.
Biz buna ters eleman deriz.
Ters eleman yukarıda da aynı şekilde etkisiz eleman.
Peki buradaki şeylere dikkat edecek olursak yani a ile 0'ı, 0 ile a'yı toplayıp a'ya eşitliyor.
Arkadaşlar matematikte her iki yönü de göstermeliyiz.
Yani a ile 0'ı toplamakla 0 ile a'yı toplamayı her ikisini de gösterdikten sonra biz bunu kabul ederiz.
Bu da Matematikteki ispatlardan biridir.
Daha sonra çarpma işleminin özellikleri, seçtiğimiz tüm reel sayılarda iki tane seçtiğimiz tüm reel sayılarda çarpımları reel sayıdır yani yine aslında kapalılık özelliğinden bahsediyoruz.
Ama bu sefer çarpma işlemindeki kapalılık.
a çarpı b, b çarpı a ise değişme özelliği bunlar zaten aynı şeyler.
Bakınız parantez değiştirmiş bunda.
O zaman demek ki birleşme özelliği de var çarpmada.
Daha sonra a çarpı 1, 1 çarpı a eşittir a yani herhangi bir etkisi olmadı.
O zaman demek ki burada etkisiz eleman diyeceğiz bakınız toplamaya göre etkisiz eleman 0 iken çarpmaya göre etkisiz eleman 1 oluyor buradaki dikkat etmemiz gereken nokta bu.
Daha sonra seçtiğimiz sıfırdan farklı bir reel sayı için a çarpı 1 bölü a, 1 bölü a çarpı a sonucu ve bakınız 1'i elde ediyoruz yani etkisiz elemanı elde ediyoruz burada.
O zaman demek ki biz burada bunun ters eleman olduğunu söylemiş oluruz, yani a'nın tersi çarpmaya göre tersi götürüyor burada, daha sonra seçtiğimiz herhangi bir reel sayı için a ile 0'ı, 0 ile a'yı çarptığımızda sonuç 0 gelir.
Bunu biliyorsunuz.
Bu ne demektir?
Yutan eleman demektir yani buradaki yutandan kastımız sıfır sayısı ve seçtiğimiz üç tane reel sayı için a çarpı b artı c, ab artı ac'dir.
Yani aslında dağıtıyor değil mi?
Bakınız soldan dağıtmış bunu elde etmiş bu aynı şekilde sağdan dağıtmaya da eşittir.
O yüzden bu şekilde 3 eşitlik var burada ve dağıttığımızda biz buna ne demiş oluyoruz artık?
Dağılma özelliği demiş oluyoruz.