Merhabalar arkadaşlar şimdi ardışık sayıları inceleyeceğiz.
Ardışık sayılar nedir?
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılardır.
Biz bu sayılara ardışık sayılar diyoruz, ardışık sayılar.
Şimdi mesela bunlara örnek vermek gerekirse 1,2,3,4,5,6 bu şekilde giden sayılar olabilir.
Çünkü bakınız bunların aralarındaki kural hep nedir?
Birer fazlası şeklinde gider ve bu hiçbir zaman bozulmaz.
Biz ardışık sayılar diyebiliyorsak aralarındaki kural hiçbir zaman bozulmasın isteriz veya farklı olarak ardışık çift doğal sayılardan örnek verecek olursak mesela 2 4 6 8 ve bu şekilde giden sayılar olabilir.
Bunların da aralarındaki fark hep iki veya ardışık tek doğal sayılar bakınız onlar da 1,3,5,7 bu şekilde giden sayılar olabilir.
Bakınız burada ardışık çift doğal sayı da olsa ardışık tek doğal sayı olsa aralarındaki farkın 2 olduğunu görebiliriz.
Burada şimdi bu artık sayıların terim sayısını, ortanca terimini ve toplamını bulabiliyoruz.
İlk önce terim sayısını bulacaksak nasıl olacak?
Son terimden ilk terimi çıkartacağız yani ulaşabildiğimiz son sayıdan bize verilen ilk sayıyı çıkartıp biz aralarındaki artış miktarına böleceğiz kaçar kaçar artıyorsa, daha sonra yanına 1 ekleyeceğiz.
Bu bize orada ne kadar terim olduğunu yani ne kadar sayı olduğunu gösterir.
Ortanca terimde ise son terimini ekleyip bu sefer toplayıp ikiye böleceğiz.
Toplamlarını peki nasıl buluyoruz?
İşte bu bulduğumuz iki tane sayıyı biz çarparsak eğer toplamlarını bulmuş oluruz.
Mesela buradan kastettiğimiz nedir?
Şu gibi sayılar mesela 6'dan başladı ve 6 artı 12 artı 18 artı bu şekilde en son 96'ya kadar gidiyor.
Şimdi biz burada ne kadar sayı olduğunu bulamayız, sayarak bulmak imkansızdır ve toplamları da bizi çok uğraştırır ama sol taraftaki formüller bize buna çok kolay bir şekilde bulduruyor.
Mesela terim sayısını bulalım ilk başta, ne yapalım terim sayısını bulurken şöyle yapmamız gerekecek son terimden ilk terimi çıkartacağız yani 96'dan 16'yı çıkartacağız ve daha sonra bakınız hep ekleyeceğiz.
Bu işlemi yaptığımızda terim sayısı gelecektir veya ortanca terim ortanca terimi de nasıl buluruz, son terimle ilk terimi toplayıp ikiye böl diyor.
Son terimle ilk terimi toplayıp ikiye bölersek de o zaman demek ki ortanca terimi bulmuş oluruz.
İşte bu bulduğumuz iki sayıyı bu işlemlerin sonucunda sayıları elde edeceğiz sonuçta, çarparsak eğer buradaki toplama sonucunu bulmuş oluruz.
Şimdi bu formüllerden bizim kolay bir yöntemlerimiz var.
Eğer sayılar 1'den başlayıp birer birer artarak n'ye kadar gidiyorsa biz kısa yöntem olarak n çarpı n artı 1 bölü veya bunu unuttuk yani bunu unuttuk diyelim, biz yine aynı şekilde terim sayısını ortanca terimi de bulduğumuzda zaten yine aynı sonucu verecektir veya sayılar ikişer ikişer ilerliyorsa ve 2 artı 4 artı 6 artı şeklinde en son 2n'e kadar gidiyorsa o zaman demek ki biz bunu n çarpı n artı 1 ile buluruz, yani aslında üst taraftakinin 2 katı.
Bakınız tek sayılar olursa 1,3,5 ve bu şekilde en son 2n eksi 1'e kadar giderse o zaman burada en son oluşturulan terimi biz 2n eksi 1'e eşitleriz ve oradan bulduğumuz n değerinin eğer karesini almış olursak biz buradaki toplamları bulmuş oluruz.
Bu unutulabilir doğaldır unutulursa da burada kesin unutmayacağımız iki tane formül var: Terim sayısıyla ortanca terim.
Bunları da zaten yapıp çarptığımızda yine aynı şekilde bu üçünü bulabiliriz.
Evet şimdi geldik bu örneğimize.
a, b ve c ardışık çift sayılardır.
a küçüktür b küçüktür c olduğuna göre buradaki işlemin sonucu kaçtır diye bize sorulmuş.
Şimdi şöyle biz bunları tek değişkene düşürelim.
Çünkü bu işlem o şekilde yapılmak zorundadır.
a, b ve c diyorum.
Şimdi a'ya ediyorum ki en küçük sayı olduğu için n olsun, n gibi bir sayı.
O zaman demek ki b ne olacak?
Ardışık çift doğal sayılarsa bunlar Aralarındaki fark 2 olacağı için n artı 2 olacaktır.
b'den de sonra demek ki bir 2 eklediğimizde c'yi n artı 4 olarak bulmalıyız.
Şimdi o zaman demek ki bunları buradaki yerlerine koyarak çözebiliriz şimdi 4 çarpı diyorum, a'nın yerine bakınız n koydum daha sonra orta tarafta eksi var, b'nin yerine de n artı 2 koyuyorum ama eksiyi direkt dağıttığımızda eksi n eksi 2 olacaktır, daha sonra bölü alt tarafta da c'den a'yı çıkart diyor.
c burada n artı 4 daha sonra a'nın da eksi n olduğunu burada görüyoruz.
Tamam buradaki işlemi yapacak olursak bakınız burada n'ler gitti aşağı tarafta da n'ler gitti.
Ne kaldı?
buradaki cevabımız eksi 2 gelecektir.
Evet diğer bir örneğimiz, 5x eksi 3 ve 4x artı 7 ardışık iki tek tam sayıdır diyor.
Buna göre x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Şimdi bunlar ardışık iki tek tam sayıysa demek ki aralarındaki fark iki olacaktır ama 5x eksi 3 mü büyük iki ihtimali incelememiz lazım zaten o yüzden ikisinin alabileceği değerler demiş.
Yani farklı değerler gidecek.
O zaman demek ki ben diyorum ki 5x eksi 3 küçük olsun bunun üstüne 2 eklediğimizde 4x artı 7 olan büyük olan sayı bulalım.
Daha sonra ikinci ihtimalde de bu sefer 4x artık 7 küçük olsun bu 4x artı 7'ye de yine 2 eklediğimizde büyük olan 5x eksi 3'ü elde edelim.
Peki sol taraftakini çözecek olursak burası artı 7, o zaman 4x'i buraya aldığımızda x kalacak, eksi 1'i buraya aldığımızda 8 olacak.
Yani bir tane x değeri 8.
İkinci x değerinde burası 4x artı 9 olur.
Daha sonra sağ tarafta 5x eksi 3 olacak.
Eksi 3'ü böyle 4x'i de böyle alırsak burası 12 burası da x olacaktır.
O zaman demek ki x'in alacağı değerler toplayacak olursak biz burada 12 ile 8'i topladığımızda 20'yi elde etmiş oluruz.
Evet diğer bir örneğimiz, 5'in katı olan ardışık 5 sayıdan ilk üçünün toplamının 3 katı son ikisinin toplamının toplamı kaçtır?
Şimdi 5'in katı olan ardışık sayılardan bahsediyorsak o zaman demek ki bunların en küçüğüne bizim 5n dememiz lazım çünkü n yerine bir sayı koyduğumuzda 5 ile çarptığımız anda burası 5'in katı olmuş olur.
Daha sonra buradan sonra da artık beşer beşer üstüne eklemeliyiz.
Çünkü bu 5'in katıysa üstüne 5 eklediğimizde daima 5'in katı olma durumu korunur.
O zaman devam ediyorum böyle beş tane yazacağım, 5n artı 10 olacak burası.
Şimdi 5 tane elde ettik, ilk üçünün toplamının 3 katını alalım yani şunların 3 katını alacağız ve daha sonra ikisinin de toplamların yani son ikisinin de toplamının dört katını alıp eşitleyeceğiz, bunları topladığımızda burada 15n artı 15'i elde ediyoruz.
Bunun dört katı.
Topladım bunları da 10n artı 35 oldu bunu da 4 ile çarpalım.
Buradaki denklemden n'yi bulabiliriz.
Dağıtıyorum 45n artı oldu.
4 ile 35'i çarparsak, 40n'i böyle alalım zaten 5n 95 değil mi?
Biz de en küçüğü zaten burada 5n demiştik.
O zaman demek ki sayılarımız şöyle oldu: En küçüğü daha sonra 110, 115.
Kaç tane oldu?
4-5 tane oldu yani demek ki 95 ile 115 ile arasındaki buradaki sayılarmış.
Bunların toplamları soruluyor, toplarsak 5,5,5 sonra 5 olacak.
Elde var bir iki üç daha sonra bunları da toplayacak olursak 2 gelecektir, daha sonra elde var
Ardışık sayılar nedir?
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılardır.
Biz bu sayılara ardışık sayılar diyoruz, ardışık sayılar.
Şimdi mesela bunlara örnek vermek gerekirse 1,2,3,4,5,6 bu şekilde giden sayılar olabilir.
Çünkü bakınız bunların aralarındaki kural hep nedir?
Birer fazlası şeklinde gider ve bu hiçbir zaman bozulmaz.
Biz ardışık sayılar diyebiliyorsak aralarındaki kural hiçbir zaman bozulmasın isteriz veya farklı olarak ardışık çift doğal sayılardan örnek verecek olursak mesela 2 4 6 8 ve bu şekilde giden sayılar olabilir.
Bunların da aralarındaki fark hep iki veya ardışık tek doğal sayılar bakınız onlar da 1,3,5,7 bu şekilde giden sayılar olabilir.
Bakınız burada ardışık çift doğal sayı da olsa ardışık tek doğal sayı olsa aralarındaki farkın 2 olduğunu görebiliriz.
Burada şimdi bu artık sayıların terim sayısını, ortanca terimini ve toplamını bulabiliyoruz.
İlk önce terim sayısını bulacaksak nasıl olacak?
Son terimden ilk terimi çıkartacağız yani ulaşabildiğimiz son sayıdan bize verilen ilk sayıyı çıkartıp biz aralarındaki artış miktarına böleceğiz kaçar kaçar artıyorsa, daha sonra yanına 1 ekleyeceğiz.
Bu bize orada ne kadar terim olduğunu yani ne kadar sayı olduğunu gösterir.
Ortanca terimde ise son terimini ekleyip bu sefer toplayıp ikiye böleceğiz.
Toplamlarını peki nasıl buluyoruz?
İşte bu bulduğumuz iki tane sayıyı biz çarparsak eğer toplamlarını bulmuş oluruz.
Mesela buradan kastettiğimiz nedir?
Şu gibi sayılar mesela 6'dan başladı ve 6 artı 12 artı 18 artı bu şekilde en son 96'ya kadar gidiyor.
Şimdi biz burada ne kadar sayı olduğunu bulamayız, sayarak bulmak imkansızdır ve toplamları da bizi çok uğraştırır ama sol taraftaki formüller bize buna çok kolay bir şekilde bulduruyor.
Mesela terim sayısını bulalım ilk başta, ne yapalım terim sayısını bulurken şöyle yapmamız gerekecek son terimden ilk terimi çıkartacağız yani 96'dan 16'yı çıkartacağız ve daha sonra bakınız hep ekleyeceğiz.
Bu işlemi yaptığımızda terim sayısı gelecektir veya ortanca terim ortanca terimi de nasıl buluruz, son terimle ilk terimi toplayıp ikiye böl diyor.
Son terimle ilk terimi toplayıp ikiye bölersek de o zaman demek ki ortanca terimi bulmuş oluruz.
İşte bu bulduğumuz iki sayıyı bu işlemlerin sonucunda sayıları elde edeceğiz sonuçta, çarparsak eğer buradaki toplama sonucunu bulmuş oluruz.
Şimdi bu formüllerden bizim kolay bir yöntemlerimiz var.
Eğer sayılar 1'den başlayıp birer birer artarak n'ye kadar gidiyorsa biz kısa yöntem olarak n çarpı n artı 1 bölü veya bunu unuttuk yani bunu unuttuk diyelim, biz yine aynı şekilde terim sayısını ortanca terimi de bulduğumuzda zaten yine aynı sonucu verecektir veya sayılar ikişer ikişer ilerliyorsa ve 2 artı 4 artı 6 artı şeklinde en son 2n'e kadar gidiyorsa o zaman demek ki biz bunu n çarpı n artı 1 ile buluruz, yani aslında üst taraftakinin 2 katı.
Bakınız tek sayılar olursa 1,3,5 ve bu şekilde en son 2n eksi 1'e kadar giderse o zaman burada en son oluşturulan terimi biz 2n eksi 1'e eşitleriz ve oradan bulduğumuz n değerinin eğer karesini almış olursak biz buradaki toplamları bulmuş oluruz.
Bu unutulabilir doğaldır unutulursa da burada kesin unutmayacağımız iki tane formül var: Terim sayısıyla ortanca terim.
Bunları da zaten yapıp çarptığımızda yine aynı şekilde bu üçünü bulabiliriz.
Evet şimdi geldik bu örneğimize.
a, b ve c ardışık çift sayılardır.
a küçüktür b küçüktür c olduğuna göre buradaki işlemin sonucu kaçtır diye bize sorulmuş.
Şimdi şöyle biz bunları tek değişkene düşürelim.
Çünkü bu işlem o şekilde yapılmak zorundadır.
a, b ve c diyorum.
Şimdi a'ya ediyorum ki en küçük sayı olduğu için n olsun, n gibi bir sayı.
O zaman demek ki b ne olacak?
Ardışık çift doğal sayılarsa bunlar Aralarındaki fark 2 olacağı için n artı 2 olacaktır.
b'den de sonra demek ki bir 2 eklediğimizde c'yi n artı 4 olarak bulmalıyız.
Şimdi o zaman demek ki bunları buradaki yerlerine koyarak çözebiliriz şimdi 4 çarpı diyorum, a'nın yerine bakınız n koydum daha sonra orta tarafta eksi var, b'nin yerine de n artı 2 koyuyorum ama eksiyi direkt dağıttığımızda eksi n eksi 2 olacaktır, daha sonra bölü alt tarafta da c'den a'yı çıkart diyor.
c burada n artı 4 daha sonra a'nın da eksi n olduğunu burada görüyoruz.
Tamam buradaki işlemi yapacak olursak bakınız burada n'ler gitti aşağı tarafta da n'ler gitti.
Ne kaldı?
buradaki cevabımız eksi 2 gelecektir.
Evet diğer bir örneğimiz, 5x eksi 3 ve 4x artı 7 ardışık iki tek tam sayıdır diyor.
Buna göre x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Şimdi bunlar ardışık iki tek tam sayıysa demek ki aralarındaki fark iki olacaktır ama 5x eksi 3 mü büyük iki ihtimali incelememiz lazım zaten o yüzden ikisinin alabileceği değerler demiş.
Yani farklı değerler gidecek.
O zaman demek ki ben diyorum ki 5x eksi 3 küçük olsun bunun üstüne 2 eklediğimizde 4x artı 7 olan büyük olan sayı bulalım.
Daha sonra ikinci ihtimalde de bu sefer 4x artık 7 küçük olsun bu 4x artı 7'ye de yine 2 eklediğimizde büyük olan 5x eksi 3'ü elde edelim.
Peki sol taraftakini çözecek olursak burası artı 7, o zaman 4x'i buraya aldığımızda x kalacak, eksi 1'i buraya aldığımızda 8 olacak.
Yani bir tane x değeri 8.
İkinci x değerinde burası 4x artı 9 olur.
Daha sonra sağ tarafta 5x eksi 3 olacak.
Eksi 3'ü böyle 4x'i de böyle alırsak burası 12 burası da x olacaktır.
O zaman demek ki x'in alacağı değerler toplayacak olursak biz burada 12 ile 8'i topladığımızda 20'yi elde etmiş oluruz.
Evet diğer bir örneğimiz, 5'in katı olan ardışık 5 sayıdan ilk üçünün toplamının 3 katı son ikisinin toplamının toplamı kaçtır?
Şimdi 5'in katı olan ardışık sayılardan bahsediyorsak o zaman demek ki bunların en küçüğüne bizim 5n dememiz lazım çünkü n yerine bir sayı koyduğumuzda 5 ile çarptığımız anda burası 5'in katı olmuş olur.
Daha sonra buradan sonra da artık beşer beşer üstüne eklemeliyiz.
Çünkü bu 5'in katıysa üstüne 5 eklediğimizde daima 5'in katı olma durumu korunur.
O zaman devam ediyorum böyle beş tane yazacağım, 5n artı 10 olacak burası.
Şimdi 5 tane elde ettik, ilk üçünün toplamının 3 katını alalım yani şunların 3 katını alacağız ve daha sonra ikisinin de toplamların yani son ikisinin de toplamının dört katını alıp eşitleyeceğiz, bunları topladığımızda burada 15n artı 15'i elde ediyoruz.
Bunun dört katı.
Topladım bunları da 10n artı 35 oldu bunu da 4 ile çarpalım.
Buradaki denklemden n'yi bulabiliriz.
Dağıtıyorum 45n artı oldu.
4 ile 35'i çarparsak, 40n'i böyle alalım zaten 5n 95 değil mi?
Biz de en küçüğü zaten burada 5n demiştik.
O zaman demek ki sayılarımız şöyle oldu: En küçüğü daha sonra 110, 115.
Kaç tane oldu?
4-5 tane oldu yani demek ki 95 ile 115 ile arasındaki buradaki sayılarmış.
Bunların toplamları soruluyor, toplarsak 5,5,5 sonra 5 olacak.
Elde var bir iki üç daha sonra bunları da toplayacak olursak 2 gelecektir, daha sonra elde var
