Merhabalar arkadaşlar, ardışık sayılarla alakalı örneklerimize devam ediyoruz.
Şimdi oradaki toplamlarla alakalı örnekler çözeceğiz, şimdi aşağıdaki toplamları hesaplayınız demiş.
Dört tane var burada ilk önce a'yı yapalım, şimdi a'ya baktığımızda 1,2,3,4 bu şekilde 30'a kadar giden sayılar var.
O zaman biz nasıl yaparız bunu?
Sonuncu sayıya n diyecek olursak o zaman formül gereği n çarpı n artı 1 bölü 2 olacak.
Yani aslında 30 çarpı iş bitmiş demektir, ikiye böldük şurası ikincisi b'ye bakalım.
b'de de 2 4 6 8 bu şekilde sayılar.
Şimdi bakacak olursak biz burada iki farklı şekilde yapabiliriz şimdi ilk önce şurada bir tanesini çözeyim, ikinciye direkt olarak formülden çözeyim.
Bunu 2 parantezine alacak olursak yani tüm terimlerini 2 parantezine alacak olursak şöyle olur: 2'yi aldık 1, bunu 2'ye alırsak 2, bunu da 2 alırsak 3, dağıttığımızda bakınız aynı şeyler veriyor.
Artı daha sonra en son 58'i de ikiye bölecek olursak yani iki parantezine alacak olursak 29 gelir.
Bakınız bu artık iç tarafı 1'den 29'a kadar olan doğal sayıların toplamı olmadı mı?
Evet o zaman demek ki dışarıda bir 2 çarpanı var, içeride de son terime n diyecek olursak n çarpı n artı 1 bölü 2 yapacağız.
Yani 29 çarpı 30 bölü 2, bakınız burada da en son bir 0 gelecek 3 ile 9'u çarparsak 27, elde var 2, 3 kere 2 6, 870.
Aslında bunu elde edebiliyoruz ya da direkt olarak nasıl yaparız?
Bu 2 4 sayısına burada şöyle yapalım 58 sayısına burada 2n diyecek olursak o zaman demek ki biz n'i burada ikiye böldüğümüzde toplamını biz nasıl buluyorduk?
n çarpı n artı 1 olarak buluyorduk yani 29 çarpı yine 30 gelecek bakınız aynı şeyin verdiğini görüyoruz.
Yine aynı şekilde zaten 29 ile 30'u çarptığımızda c'de de 1,3,5 ve en son 45'e kadar giden ardışık tek doğal sayılar var.
O zaman biz de ne yapmıştık?
Bu son terime 2n eksi 1 diyecek olursak yani 45, 2n eksi 1 olacaksa eğer buradaki n'i ne bulmuş oluruz?
Eksi 1 attık karşıya 46, ikiye böldük 23.
İşte bu bulduğumuz 23 sayısının biz karesini aldığımızda direkt olarak buradaki sayıların toplamını bulmuş oluyoruz.
O zaman 23'ün karesini alacak olursak burada 23'ün karesi kaç gelecek?
Evet bunu çarpalım çünkü 23'ün karesini şu an bilemiyorum aklıma gelmedi, şöyle çarpalım daha sonra şurası 9, 12 elde var 1, 529.
O zaman demek ki tamam, şurayı artık ben siliyorum ve direkt olarak cevabın 529 olduğunu söylüyorum.
d'de artık bizim üst taraftakiler gibi kolay yöntemlerimizi kullanamayacağız çünkü bakınız 16,21,26 en son 61'e kadar gitmiş burada beşer beşer arttığını görüyoruz ama maalesef üst taraftaki şeyler yok.
O zaman demek ki terim sayısı çarpı ortanca terim yapacağız.
Şimdi ilk olarak terim sayısı çarpı ortanca terimleri burada bulayım, daha sonra burada en son toplamını elde etmiş oluruz şimdi ilk olarak terim sayısını bulmak istiyorum.
Terim sayısı son terimden ilk terim çıkartılıp son terimden ilk terim çıkartılıp artış miktarına bölünecek.
Yani 5'e bölünecek, daha sonra artı 1 eklenecek.
O zaman buradan terim sayısı kaç geliyor?
61'den 16'yı çıkartırsak 45, 45'i 5'e böldük 9, 1 ekledik 10.
Tamam, terim sayısını 10 elde ettik.
Bir de ortanca terim lazım bize onu da bulalım, ortanca terim de ne olacak?
İlk terimle son terimi toplayıp ikiye böleceğiz, yani 61 ile 16'yı toplayıp ikiye böleceğiz.
Yani buradan ne geliyor tam bölünmediğini görüyoruz ama önemli değil sonuçta çarpılınca sadeleşecek.
61 ile 16'yı toplarsak 77 bölü 2 gelecek bu kalsın sorun değil.
Biz ne yapacağız artık terim sayısıyla ortanca terimi çarpacağız.
Onu da burada çarpmış olalım, 10'la 77 bölü 2'yi çarpıyorum, bakınız zaten bu 770 bölü 2 olmaz mı?
770 bölü 2.
770'i de biz ikiye bölecek olursak ne olacak?
Burada 3 kere var türlü elde etmeliyiz zaten burası kesirli gelmesi hani korkutmasın, bunlar tam sayı olduğu için bunları topladığımızda böyle kesirli bir şeyin zaten gelmemesi gerekiyor.
Şimdi diğer bir örneğimiz, ardışık göre en büyük sayı kaçtır?
Şimdi şöyle yapalım biz birinci sayıya mesela n diyecek olursak ikinci sayı o zaman ne olacak?
Pozitif tek sayılar olduğu için n artı 2 olacak.
Üçüncü sayımız n artı 4 olacak.
Bunun hepsini yazmakla uğraşmayalım, en son artık onuncu sayıya gelmek istiyorum ben, onuncu o zaman ne olacak?
n artı bir şey olacak ama o ne?
Şimdi bakınız 1'den 2'ye geçerken bir tane 2 ekliyoruz, daha sonra 1'den 3'e geçerken iki tane 2'yi ekliyoruz.
Daha sonra demek ki böyle devam edecek bu.
Ne yapıyoruz sayı hangisi ise hangi sayıyı bulursak onun bir eksiği kadar iki ekleniyor, yani tane 2.
2 bulursak birinci terime bir tane 2 ekliyoruz O zaman demek ki en son onuncuyu bulacak olursak bunun bir eksiği olan 9 tane 2 eklemeliyiz buradaki n'e.
9 tane 2 eklemek demek 18 eklemek demektir.
Peki bunların hepsinin toplamı neler var?
Bunların hepsinde n olduğu için 10 tane n gelecek burada artı bir de yanında bakınız, 2, 4, 6, 8 ve en son 18'e kadar giden doğal sayıların toplamı olacak.
Onu da şurada bulup tekrardan işlemi buraya yazalım.
2 artı 4 artı 6 artı en son 18'e kadar gidecek ve bunların toplamımı bulacağız biz.
O da nasıl bulunuyordu?
Şu eğer 2n olacak olursa biz n çarpı n artı 1 yapıyorduk.
2n 18 ise o zaman demek ki n'in buradan artı 1'den 9 çarpı 10'dan buradan cevabımız oldu, bu işlemin sonucu 200'müş.
Ben burada 90'ı karşıya atmak istiyorum.
10n burada 110 olacak olursa n'i burada biz sayı 11 ama bize en büyük sayıyı sordu.
En büyük sayı n artı 18'dir yani 11'in yerine cevabımızı 29 olarak bulmuş oluruz.
Peki en son örneğimiz, Gökhan bir kitabı her gün bir önceki günden 10 sayfa fazla okuyarak 10 günde bitiriyor.
Kitap 550 sayfa olduğuna göre Gökhan beşinci gün kaç sayfa okumuştur?
Peki şimdi birinci gün diyelim ki biz n sayfa okusun, o zaman ikinci gün buradan Üçüncü gün o zaman buradan da 10 fazla okuyacaksa n artı 20, demek ki böyle gidiyor.
Bir beşinciyi yazalım çünkü onu en son soracak.
Beşinci ne olacak?
Bakınız yine aynı şekilde ikinciye baktığımızda 10 ekliyoruz, üçüncüye baktığımızda 20 ekliyoruz yani sayının bir eksiği kadar 10 ekliyoruz.
O zaman 5'e de ne olacak bir eksiği olan 4 tane 10 eklemiş olacak.
Yani n artı 40 olacak, en son böyle devam ettiğinde onuncu da yine aynı şekilde n artı 90 olmuş olur.
Bunun bir eksiği kadar 10 eklemiş olduk.
Peki bunların hepsinin toplamı 550 sayfayı vermeli.
Çünkü kitabı bitiriyor yine aynı şekilde burada hepsi 10'un katı olduğu için 10 parantezine alacak olursak burada 1 artı 2 artı en son 9 gelmeyecek midir?
Evet.
O zaman demek ki içerisi artık 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı oldu.
10 çarpı 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı 9 çarpı 10 bölü 2'dir.
Buradaki 2 ile 10'u sadeleştirdiğimizde burada 450 elde etmiş oluyoruz.
O zaman demek ki 10n artı 450 burada 550 sayfa yapacak, 450'yi karşıya attığımızda 10n buradan 100.
O zaman n'i burada 10 olarak bulmuş oluyoruz.
Bize beşinci gün kaç sayfa okuduğunu soruyor.
Beşinci gün n artı 40 kadar okuyacak, n yerine 10 yazdığımızda
Şimdi oradaki toplamlarla alakalı örnekler çözeceğiz, şimdi aşağıdaki toplamları hesaplayınız demiş.
Dört tane var burada ilk önce a'yı yapalım, şimdi a'ya baktığımızda 1,2,3,4 bu şekilde 30'a kadar giden sayılar var.
O zaman biz nasıl yaparız bunu?
Sonuncu sayıya n diyecek olursak o zaman formül gereği n çarpı n artı 1 bölü 2 olacak.
Yani aslında 30 çarpı iş bitmiş demektir, ikiye böldük şurası ikincisi b'ye bakalım.
b'de de 2 4 6 8 bu şekilde sayılar.
Şimdi bakacak olursak biz burada iki farklı şekilde yapabiliriz şimdi ilk önce şurada bir tanesini çözeyim, ikinciye direkt olarak formülden çözeyim.
Bunu 2 parantezine alacak olursak yani tüm terimlerini 2 parantezine alacak olursak şöyle olur: 2'yi aldık 1, bunu 2'ye alırsak 2, bunu da 2 alırsak 3, dağıttığımızda bakınız aynı şeyler veriyor.
Artı daha sonra en son 58'i de ikiye bölecek olursak yani iki parantezine alacak olursak 29 gelir.
Bakınız bu artık iç tarafı 1'den 29'a kadar olan doğal sayıların toplamı olmadı mı?
Evet o zaman demek ki dışarıda bir 2 çarpanı var, içeride de son terime n diyecek olursak n çarpı n artı 1 bölü 2 yapacağız.
Yani 29 çarpı 30 bölü 2, bakınız burada da en son bir 0 gelecek 3 ile 9'u çarparsak 27, elde var 2, 3 kere 2 6, 870.
Aslında bunu elde edebiliyoruz ya da direkt olarak nasıl yaparız?
Bu 2 4 sayısına burada şöyle yapalım 58 sayısına burada 2n diyecek olursak o zaman demek ki biz n'i burada ikiye böldüğümüzde toplamını biz nasıl buluyorduk?
n çarpı n artı 1 olarak buluyorduk yani 29 çarpı yine 30 gelecek bakınız aynı şeyin verdiğini görüyoruz.
Yine aynı şekilde zaten 29 ile 30'u çarptığımızda c'de de 1,3,5 ve en son 45'e kadar giden ardışık tek doğal sayılar var.
O zaman biz de ne yapmıştık?
Bu son terime 2n eksi 1 diyecek olursak yani 45, 2n eksi 1 olacaksa eğer buradaki n'i ne bulmuş oluruz?
Eksi 1 attık karşıya 46, ikiye böldük 23.
İşte bu bulduğumuz 23 sayısının biz karesini aldığımızda direkt olarak buradaki sayıların toplamını bulmuş oluyoruz.
O zaman 23'ün karesini alacak olursak burada 23'ün karesi kaç gelecek?
Evet bunu çarpalım çünkü 23'ün karesini şu an bilemiyorum aklıma gelmedi, şöyle çarpalım daha sonra şurası 9, 12 elde var 1, 529.
O zaman demek ki tamam, şurayı artık ben siliyorum ve direkt olarak cevabın 529 olduğunu söylüyorum.
d'de artık bizim üst taraftakiler gibi kolay yöntemlerimizi kullanamayacağız çünkü bakınız 16,21,26 en son 61'e kadar gitmiş burada beşer beşer arttığını görüyoruz ama maalesef üst taraftaki şeyler yok.
O zaman demek ki terim sayısı çarpı ortanca terim yapacağız.
Şimdi ilk olarak terim sayısı çarpı ortanca terimleri burada bulayım, daha sonra burada en son toplamını elde etmiş oluruz şimdi ilk olarak terim sayısını bulmak istiyorum.
Terim sayısı son terimden ilk terim çıkartılıp son terimden ilk terim çıkartılıp artış miktarına bölünecek.
Yani 5'e bölünecek, daha sonra artı 1 eklenecek.
O zaman buradan terim sayısı kaç geliyor?
61'den 16'yı çıkartırsak 45, 45'i 5'e böldük 9, 1 ekledik 10.
Tamam, terim sayısını 10 elde ettik.
Bir de ortanca terim lazım bize onu da bulalım, ortanca terim de ne olacak?
İlk terimle son terimi toplayıp ikiye böleceğiz, yani 61 ile 16'yı toplayıp ikiye böleceğiz.
Yani buradan ne geliyor tam bölünmediğini görüyoruz ama önemli değil sonuçta çarpılınca sadeleşecek.
61 ile 16'yı toplarsak 77 bölü 2 gelecek bu kalsın sorun değil.
Biz ne yapacağız artık terim sayısıyla ortanca terimi çarpacağız.
Onu da burada çarpmış olalım, 10'la 77 bölü 2'yi çarpıyorum, bakınız zaten bu 770 bölü 2 olmaz mı?
770 bölü 2.
770'i de biz ikiye bölecek olursak ne olacak?
Burada 3 kere var türlü elde etmeliyiz zaten burası kesirli gelmesi hani korkutmasın, bunlar tam sayı olduğu için bunları topladığımızda böyle kesirli bir şeyin zaten gelmemesi gerekiyor.
Şimdi diğer bir örneğimiz, ardışık göre en büyük sayı kaçtır?
Şimdi şöyle yapalım biz birinci sayıya mesela n diyecek olursak ikinci sayı o zaman ne olacak?
Pozitif tek sayılar olduğu için n artı 2 olacak.
Üçüncü sayımız n artı 4 olacak.
Bunun hepsini yazmakla uğraşmayalım, en son artık onuncu sayıya gelmek istiyorum ben, onuncu o zaman ne olacak?
n artı bir şey olacak ama o ne?
Şimdi bakınız 1'den 2'ye geçerken bir tane 2 ekliyoruz, daha sonra 1'den 3'e geçerken iki tane 2'yi ekliyoruz.
Daha sonra demek ki böyle devam edecek bu.
Ne yapıyoruz sayı hangisi ise hangi sayıyı bulursak onun bir eksiği kadar iki ekleniyor, yani tane 2.
2 bulursak birinci terime bir tane 2 ekliyoruz O zaman demek ki en son onuncuyu bulacak olursak bunun bir eksiği olan 9 tane 2 eklemeliyiz buradaki n'e.
9 tane 2 eklemek demek 18 eklemek demektir.
Peki bunların hepsinin toplamı neler var?
Bunların hepsinde n olduğu için 10 tane n gelecek burada artı bir de yanında bakınız, 2, 4, 6, 8 ve en son 18'e kadar giden doğal sayıların toplamı olacak.
Onu da şurada bulup tekrardan işlemi buraya yazalım.
2 artı 4 artı 6 artı en son 18'e kadar gidecek ve bunların toplamımı bulacağız biz.
O da nasıl bulunuyordu?
Şu eğer 2n olacak olursa biz n çarpı n artı 1 yapıyorduk.
2n 18 ise o zaman demek ki n'in buradan artı 1'den 9 çarpı 10'dan buradan cevabımız oldu, bu işlemin sonucu 200'müş.
Ben burada 90'ı karşıya atmak istiyorum.
10n burada 110 olacak olursa n'i burada biz sayı 11 ama bize en büyük sayıyı sordu.
En büyük sayı n artı 18'dir yani 11'in yerine cevabımızı 29 olarak bulmuş oluruz.
Peki en son örneğimiz, Gökhan bir kitabı her gün bir önceki günden 10 sayfa fazla okuyarak 10 günde bitiriyor.
Kitap 550 sayfa olduğuna göre Gökhan beşinci gün kaç sayfa okumuştur?
Peki şimdi birinci gün diyelim ki biz n sayfa okusun, o zaman ikinci gün buradan Üçüncü gün o zaman buradan da 10 fazla okuyacaksa n artı 20, demek ki böyle gidiyor.
Bir beşinciyi yazalım çünkü onu en son soracak.
Beşinci ne olacak?
Bakınız yine aynı şekilde ikinciye baktığımızda 10 ekliyoruz, üçüncüye baktığımızda 20 ekliyoruz yani sayının bir eksiği kadar 10 ekliyoruz.
O zaman 5'e de ne olacak bir eksiği olan 4 tane 10 eklemiş olacak.
Yani n artı 40 olacak, en son böyle devam ettiğinde onuncu da yine aynı şekilde n artı 90 olmuş olur.
Bunun bir eksiği kadar 10 eklemiş olduk.
Peki bunların hepsinin toplamı 550 sayfayı vermeli.
Çünkü kitabı bitiriyor yine aynı şekilde burada hepsi 10'un katı olduğu için 10 parantezine alacak olursak burada 1 artı 2 artı en son 9 gelmeyecek midir?
Evet.
O zaman demek ki içerisi artık 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı oldu.
10 çarpı 1'den 9'a kadar olan sayıların toplamı 9 çarpı 10 bölü 2'dir.
Buradaki 2 ile 10'u sadeleştirdiğimizde burada 450 elde etmiş oluyoruz.
O zaman demek ki 10n artı 450 burada 550 sayfa yapacak, 450'yi karşıya attığımızda 10n buradan 100.
O zaman n'i burada 10 olarak bulmuş oluyoruz.
Bize beşinci gün kaç sayfa okuduğunu soruyor.
Beşinci gün n artı 40 kadar okuyacak, n yerine 10 yazdığımızda
