Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar. Bu dersimizde sizlere kosinüs teoremi ile ilgili farklı örnekler çözmeye devam edeceğim. Birinci örneğimizle başlayalım.
Şekildeki ABCD paralelkenarında A açısı 120 derece, DF uzunluğu 1, AE uzunluğu 4, BC uzunluğu 8 birim olarak verilmiş. Buna göre EF uzunluğu kaç birimdir, diye soruluyor.
Şimdi öncelikle F noktasından AB doğrusuna, AB doğru parçasına doğru AD'ye paralel olacak bir doğru çizelim hemen ve bu doğruyu çizdikten sonra bunun AB'yi kestiği yere bir isim verelim.
İsterseniz T diyelim oraya.
Sonrasında, yine paralellikten DF 1 birimken AT de 1 birim olacak.
Tamamı 4 olduğu için ET uzunluğuna da 3 birim kaldı.
4 dediğimiz yer şurası, dikkat ediniz.
Burada tabii ki TF de 8 olacak, BC'ye paralel ve eşit.
Yöndeş açılardan burası hızlıca bir kosinüs teoremi yazalım.
x'in karesi eşittir 3'ün karesi artı 8'in karesi eksi 2 çarpı 3 çarpı 8 çarpı kosinüs 120 sevgili arkadaşlar.
Kosinüs 120'yi indirgeme bağıntılarında nasıl bulduğumuzu söylemiştik. Kosinüs 180 eksi 60, 180'den geri geliyoruz.
İkinci bölgede kosinüs eksidir.
Kosinüs 60 değeri de birbirlerini artı yapsınlar.
2'ler de birbirlerini götürsün.
Burası ne yaptı arkadaşlar?
9 artı 64, 73. Eksi artı olmuştu.
3 kere 8, 24.
Dolayısıyla, x'in karesi eşittir, şurayı topladığımızda uzunluk.
Geçelim bir sonraki örneğimize. Şekildeki ABC üçgeninin kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilmiştir.
Buna göre kosinüs B artı C değeri kaçtır, diye sormuş.
Şimdi, ilk olarak şunu söyleyelim hemen. Arkadaşlar bu bir üçgen olduğu için, üçgenin iç açıları toplamı biliyorsunuz 180 derecedir.
Dolayısıyla siz burada B artı C yerine 180 derece eksi A ifadesini yazabilirsiniz.
Bunlar tabii ki nedir her biri?
Üçgenin iç açısı olduğu için, şöyle başlarında şapkacıklar var.
Dolayısıyla, B artı C yerine 180 eksi A yazarsak burası ne olur?
Kosinüs aslında bana sorduğu şey 180 eksi A'ymış.
Az önce yaptığımız şeyin aynısı.
180'den geri geliyorum, sevgili arkadaşlar.
O halde yine, kosinüs teoremi yapacağım.
Hangi köşeden yapacağım?
Tabii ki de buradan yapacağım arkadaşlar.
A'nın olduğu köşeden yapacağım.
A'nın gördüğü kenar 4, 4'ün karesi eşittir diğer iki kenarın karelerini topluyorum hızlıca.
-2 çarpı kenarları, diğer iki kenarı çarpıyorum.
Çarpı kosinüs A, şu aradığım şey bana cosA'yı verecek ama unutmayınız lütfen dikkat, bana sorduğu şey eksilisi.
Evet, hemen yapalım.
16 eşittir 4 artı 9 eksi 12 tane kosinüs A açısı oldu, sevgili arkadaşlar.
Buradan -12'yi şöyle karşıya attım.
13, 16'dan çıkarttım -3.
Dolayısıyla 12 tane kosinüs A eşittir -3 ise kosinüs A değeri nedir?
-1/4'tür. Bana sorduğu şey neydi?
Eksi kosinüs A'ydı.
Yani o halde şöyle diyorum ben artık.
Kosinüs B artı C eşittir, eksi eksi 1/4'ten, +1/4 olarak bulunmuş olur sorumuzun cevabı diyelim ve bir sonraki örneğimize geçelim.
Şekilde verilen ABCD bir kirişler dörtgeni ve kenar uzunlukları santimetre cinsinden gösterilmiş.
Buna göre cosA ifadesinin değeri kaçtır, diye soruyor.
Şimdi kosinüs A'yı arkadaşlar, bulabilmek için ne yapıyorum?
Hızlıca burada B ve D'yi birleştiriyorum ki ayrı iki tane uzunlukta hemen kosinüs teoremi yazabileyim ve hatta biliyorum ki ben burası A açısıysa, bu kirişler dörtgeninin özelliğidir.
Karşılıklı köşelerde bulunan açılar birbirlerini 180 dereceye tamamlarlar.
Demek ki burası da eşitini yukarıdan yazmaya çalışalım.
Daha doğrusu, karesi.
BD'nin karesi neye eşitti, kosinüs teoreminden?
2'nin karesi artı 6'nın karesi eksi 2 çarpı 2 çarpı 6 çarpı kosinüs A'ydı sevgili arkadaşlar.
Hemen bunu, aşağıdaki üçgende şimdi yapacağım.
Aşağıdaki üçgenden yine BD'nin karesi nasıl yazılır?
2'nin karesi artı 3'ün karesi eksi 2 çarpı 2 çarpı 3 çarpı bu sefer dikkat lütfen, kosinüs 180 derece eksi A.
Değil mi?
Şimdi 180'den geri geliyorum yine.
İkinci bölgede kosinüs eksi olduğu için şurası eksi kosinüs A'dır.
Buraya da dikkat edeceğim.
Şuradaki eksi ile birbirini artı yapsın hatta, sonrasında işaret hatası yapmayalım. A sevgili arkadaşlar.
Şurayı topluyorum hemen.
9, bu tarafa attım 36 tane cosA.
Şu 13'ü çıkarttım hızlıca.
Kaç etti orası?
27 yaptı arkadaşlar. Dolayısıyla aradığımız kosinüs A değeri, şu şekilde 27/36'dan 3/4 olarak bulunmuş olur diyoruz sevgili arkadaşlar ve hemen bir sonraki sorumuza geçtik.
Bir ABC üçgeninin kenarları arasında a² eşittir b² artı c² artı bc bağıntısı olduğuna göre A açısı kaç derecedir, diye sorulmuş.
Normalde şimdi ben kosinüs teoremini orada yazmak isteseydim, a'nın karesi eşittir b² artı c² eksi 2 çarpı b çarpı c çarpı kosinüs A diyecektim ama şimdi bakın burada zaten şu kısımlarda hiçbir farklılık yok.
Dolayısıyla buradaki bc'nin katsayısı 1'se bizim aşağıdaki bc'nin yanındaki ifadelerin çarpımının da 1 olması lazım ki katsayı 1 olsun.
Başında eksisi de var bakın.
-2 çarpı kosinüs A'ymış arkadaşlar.
Hemen geldim, o zaman buradan şöyle diyebilirim.
Kosinüs A açısı -1/2'ymiş.
Şimdi şöyle, isterseniz bu soruya cevap vereceğiz ama hangi soru?
Önce soruyu sorayım.
Hangi açının kosinüsü -1/2'dir?
Önce şunu sorayım.
Hangi açının kosinüsü +1/2'dir?
60 derecenin değil mi?
Bunu eksi yapmanın yolu zaman 180 eksi 60 diyeceğim yani aradığımız açı bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Şekildeki ABCD paralelkenarında A açısı 120 derece, DF uzunluğu 1, AE uzunluğu 4, BC uzunluğu 8 birim olarak verilmiş. Buna göre EF uzunluğu kaç birimdir, diye soruluyor.
Şimdi öncelikle F noktasından AB doğrusuna, AB doğru parçasına doğru AD'ye paralel olacak bir doğru çizelim hemen ve bu doğruyu çizdikten sonra bunun AB'yi kestiği yere bir isim verelim.
İsterseniz T diyelim oraya.
Sonrasında, yine paralellikten DF 1 birimken AT de 1 birim olacak.
Tamamı 4 olduğu için ET uzunluğuna da 3 birim kaldı.
4 dediğimiz yer şurası, dikkat ediniz.
Burada tabii ki TF de 8 olacak, BC'ye paralel ve eşit.
Yöndeş açılardan burası hızlıca bir kosinüs teoremi yazalım.
x'in karesi eşittir 3'ün karesi artı 8'in karesi eksi 2 çarpı 3 çarpı 8 çarpı kosinüs 120 sevgili arkadaşlar.
Kosinüs 120'yi indirgeme bağıntılarında nasıl bulduğumuzu söylemiştik. Kosinüs 180 eksi 60, 180'den geri geliyoruz.
İkinci bölgede kosinüs eksidir.
Kosinüs 60 değeri de birbirlerini artı yapsınlar.
2'ler de birbirlerini götürsün.
Burası ne yaptı arkadaşlar?
9 artı 64, 73. Eksi artı olmuştu.
3 kere 8, 24.
Dolayısıyla, x'in karesi eşittir, şurayı topladığımızda uzunluk.
Geçelim bir sonraki örneğimize. Şekildeki ABC üçgeninin kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilmiştir.
Buna göre kosinüs B artı C değeri kaçtır, diye sormuş.
Şimdi, ilk olarak şunu söyleyelim hemen. Arkadaşlar bu bir üçgen olduğu için, üçgenin iç açıları toplamı biliyorsunuz 180 derecedir.
Dolayısıyla siz burada B artı C yerine 180 derece eksi A ifadesini yazabilirsiniz.
Bunlar tabii ki nedir her biri?
Üçgenin iç açısı olduğu için, şöyle başlarında şapkacıklar var.
Dolayısıyla, B artı C yerine 180 eksi A yazarsak burası ne olur?
Kosinüs aslında bana sorduğu şey 180 eksi A'ymış.
Az önce yaptığımız şeyin aynısı.
180'den geri geliyorum, sevgili arkadaşlar.
O halde yine, kosinüs teoremi yapacağım.
Hangi köşeden yapacağım?
Tabii ki de buradan yapacağım arkadaşlar.
A'nın olduğu köşeden yapacağım.
A'nın gördüğü kenar 4, 4'ün karesi eşittir diğer iki kenarın karelerini topluyorum hızlıca.
-2 çarpı kenarları, diğer iki kenarı çarpıyorum.
Çarpı kosinüs A, şu aradığım şey bana cosA'yı verecek ama unutmayınız lütfen dikkat, bana sorduğu şey eksilisi.
Evet, hemen yapalım.
16 eşittir 4 artı 9 eksi 12 tane kosinüs A açısı oldu, sevgili arkadaşlar.
Buradan -12'yi şöyle karşıya attım.
13, 16'dan çıkarttım -3.
Dolayısıyla 12 tane kosinüs A eşittir -3 ise kosinüs A değeri nedir?
-1/4'tür. Bana sorduğu şey neydi?
Eksi kosinüs A'ydı.
Yani o halde şöyle diyorum ben artık.
Kosinüs B artı C eşittir, eksi eksi 1/4'ten, +1/4 olarak bulunmuş olur sorumuzun cevabı diyelim ve bir sonraki örneğimize geçelim.
Şekilde verilen ABCD bir kirişler dörtgeni ve kenar uzunlukları santimetre cinsinden gösterilmiş.
Buna göre cosA ifadesinin değeri kaçtır, diye soruyor.
Şimdi kosinüs A'yı arkadaşlar, bulabilmek için ne yapıyorum?
Hızlıca burada B ve D'yi birleştiriyorum ki ayrı iki tane uzunlukta hemen kosinüs teoremi yazabileyim ve hatta biliyorum ki ben burası A açısıysa, bu kirişler dörtgeninin özelliğidir.
Karşılıklı köşelerde bulunan açılar birbirlerini 180 dereceye tamamlarlar.
Demek ki burası da eşitini yukarıdan yazmaya çalışalım.
Daha doğrusu, karesi.
BD'nin karesi neye eşitti, kosinüs teoreminden?
2'nin karesi artı 6'nın karesi eksi 2 çarpı 2 çarpı 6 çarpı kosinüs A'ydı sevgili arkadaşlar.
Hemen bunu, aşağıdaki üçgende şimdi yapacağım.
Aşağıdaki üçgenden yine BD'nin karesi nasıl yazılır?
2'nin karesi artı 3'ün karesi eksi 2 çarpı 2 çarpı 3 çarpı bu sefer dikkat lütfen, kosinüs 180 derece eksi A.
Değil mi?
Şimdi 180'den geri geliyorum yine.
İkinci bölgede kosinüs eksi olduğu için şurası eksi kosinüs A'dır.
Buraya da dikkat edeceğim.
Şuradaki eksi ile birbirini artı yapsın hatta, sonrasında işaret hatası yapmayalım. A sevgili arkadaşlar.
Şurayı topluyorum hemen.
9, bu tarafa attım 36 tane cosA.
Şu 13'ü çıkarttım hızlıca.
Kaç etti orası?
27 yaptı arkadaşlar. Dolayısıyla aradığımız kosinüs A değeri, şu şekilde 27/36'dan 3/4 olarak bulunmuş olur diyoruz sevgili arkadaşlar ve hemen bir sonraki sorumuza geçtik.
Bir ABC üçgeninin kenarları arasında a² eşittir b² artı c² artı bc bağıntısı olduğuna göre A açısı kaç derecedir, diye sorulmuş.
Normalde şimdi ben kosinüs teoremini orada yazmak isteseydim, a'nın karesi eşittir b² artı c² eksi 2 çarpı b çarpı c çarpı kosinüs A diyecektim ama şimdi bakın burada zaten şu kısımlarda hiçbir farklılık yok.
Dolayısıyla buradaki bc'nin katsayısı 1'se bizim aşağıdaki bc'nin yanındaki ifadelerin çarpımının da 1 olması lazım ki katsayı 1 olsun.
Başında eksisi de var bakın.
-2 çarpı kosinüs A'ymış arkadaşlar.
Hemen geldim, o zaman buradan şöyle diyebilirim.
Kosinüs A açısı -1/2'ymiş.
Şimdi şöyle, isterseniz bu soruya cevap vereceğiz ama hangi soru?
Önce soruyu sorayım.
Hangi açının kosinüsü -1/2'dir?
Önce şunu sorayım.
Hangi açının kosinüsü +1/2'dir?
60 derecenin değil mi?
Bunu eksi yapmanın yolu zaman 180 eksi 60 diyeceğim yani aradığımız açı bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
