Kosinüs Teoremini Nasıl Elde Ederiz?

Kıymetli arkadaşlar herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz Kosinüs Teoremini Nasıl Elde Ederiz?
Size bu derste kosinüs teoremini nasıl elde ettiğimizi anlatacağız ve onunla ilgili birkaç örnek çözüme devam edeceğiz.
Şimdi bir ABC üçgenini ele alalım.
A köşesinden yapacağım ben.
Siz diğer köşelerden de aynı şekilde benim yaptığım gibi yapabilirsiniz.
A köşesinden karşısındaki kenara bir tane dik indirelim.
Biliyorsunuz köşelere göre kenarları isimlendirilir.
Küçük harflerle küçük a küçük b veya küçük c dedik ve dik indirdikten sonra buranın sağ tarafına x, sol tarafına da a eksi x diyelim.
Şimdi c açısı Alfa olsun.
Yani C köşesine göre aslında sinüs teoremini yazacağım.
Şimdi ilk olarak sevgili arkadaşlar Pisagor bağıntısı yapacağım.
Ve AD uzunluğunu her iki üçgenden de elde etmeye çalışacağım.
Şöyle.
Sol taraftaki üçgenden AD'yi bulmaya çalışsaydım eğer ne derdim?
C'nin karesinden a eksi x'in karesini çıkartırdım.
Kök içerisinde zaten burası AD'ye eşit olurdu.
Diğer taraftan sağ taraftaki üçgene bakalım şu işaretledim yine.
B'lerin karesinden de karesini çıkartıp yine kök içerisine almış olsam bu ikisi birbirine eşit olacak ikisi de AD'de.
Her iki tarafın karesini alalım.
C kare eksi a eksi x'in karesini açıyorum.
A kare eksisi vardı başında.
Eksi 2x gelecek eksiyi dağıttım artı 2x geldi.
Artı x kare eksi x kareye döndü.
Eşittir b kare eksi x kare.
Burada kısalan yerler bakın x kareler şöyle gidiyorlar.
Şu a kareyi de 2ax ile beraber karşıya atayım.
Sevgili arkadaşlarım, yani c kare ne olur?
A kare artı b kare eksi 2ax.
Şimdi bunu elde etmiş oldum ve biliyorum ki ben şimdi burada x yerine ne yazabiliriz acaba?
Bunu hemen düşünelim.
X yerine ne yazacağımı anlamak için ADC üçgenine bakıyorum.
Şimdi alfa türünden bir şey yazmak istiyorum.
Alfanın bulunduğu ADC üçgeninde bir 90'ın karşısındaki hipotenüs uzunluğunu biliyorum.
Bir de Alfanın komşu dik kenar uzunluğunu biliyorum.
Şimdi komşu ve hipotenüsü birlikte kullandım.
Trigonometrik ifade cos'tur.
Dolayısıyla bu üçgenin hemen biz bir cos alfayı yazmış olsaydık nasıl yazardık?
Komşu bölü hipotenüsten x bölü b olarak yazardık.
Dolayısıyla bakın içler dışlar çarpımı yapılırsa eğer aslında x yerine biz cos alfa çarpı b yazabilir miyiz?
Buyurun götürün bunu x yerine yazın ne olur arkadaşlar?
c kare eşittir a kare artı b kare eksi iki çarpı a çarpı x yerine b çarpı cosinüs alfa yazdım işte.
Zaten bu elde ettiğimiz eşitlik nedir?
Direkt cosinüs teoreminin kendisidir.
Sevgili arkadaşlar peki bunu söyledikten sonra yine cos teoremi ilgili örnekler çözmeye devam edelim.
Şekildeki ABC üçgeninin bazı kenar uzunlukları santimetre cinsinden gösterilmiştir.
Buna göre C eşittir x uzunluğu kaçtır demiş.
Hemen şuraya x diyelim ve x'i bulmaya çalışalım.
Arkadaşlar öncelikle ADE üçgenine bakın lütfen şuraya alfa diyorum ve ADE üçgeninde bir tane sinüs teoremi yazıyorum.
Bu yazdığımız bağıntı neydi?
Alfanın karşısında işte 3 var 3'ün karesi eşittir.
Diğer iki kenarın karelerinin toplamı dördün karesi artı 2'nin karesi eksi 2 çarpı 2 çarpı 4 çarpı bu sefer cosinüs alfa diyeceğim.
Önce cos alfayı buradan bulacağım ve büyük üçgen uygulayarak x'e geçmeye çalışacağız.
Evet bakınız şurası 16 4 daha ne oldu orası?
20 değil mi ve şurası 9 yaptı karşıya aldım eksi 9 diye.
Bu şurası da 16 arkadaşlar eksiyi karşı attım 16 tane cosinüs sayfa eşittir 11se eğer buradan cos alfa değerini 11 bölü 16 olarak bulmuş olduk.
Bu dursun işimize yarayacak.
Şimdi tekrar söylüyorum bir de ABC üçgenindeki olsun istiyorum, yazalım.
Yani x'in karesi eşittir diyelim.
Bu sefer kenar uzunluklarımızın bir tanesi yedi arkadaşlar.
Diğeri de sekiz değil mi?
Hemen yazıyorum.
7'nin karesi artı 8'in karesi eksi iki çarpı yedi çarpı sekiz çarpı cos alfa.
Yukarıda buldum 11 bölü 16 ki bakın şu da hemen iki kere sekiz on altı.
Şurayı sadeeleştireceğim.
7'nin karesi 49, 8'in karesi 64.
Orayı topladım arkadaşlar şurası 113 yaptı.
Eksi yedi kere on bir 77.
Yani şurası otuz altı oldu, x kare eşittir otuz altı oldu ki buradan x eşittir altı santimetre olarak bulunmuş olur.
Dolayısıyla aradığımız BC uzunluğunu bulmuş olduk.
Değerli arkadaşlar ve gelelim bir sonraki sorumuza.
Şekildeki ABC CDE'nin birer üçgen olduğunu, aynı zamanda AE ve BD uzunlukları C noktasında kestiklerini göstermiş.
Aslında orası ACE ve BCD doğrusal demenin başka bir yoludur ve B açısı 90 derece.
Oradaki AB ve BD dik kesişmiş.
Bu verilenlere göre X kaç santimetredir?
diye soruyor.
Evet, aslında iki tane kenar uzunluğumuz var.
Yani şuranın da değil mi cosinüsünü bilmiş olsaydık çok güzel cos teoremi yazardık ki yazacağım.
Niye?
Ters açıdan bakınız burası da alfa olacak.
Dolayısıyla burada bir 3-4-5 üçgeni de var.
Çok iyi cos alfa değerini bulabilirim ABC üçgenine bakarak.
Çünkü o bir dik üçgen.
Dolayısıyla sağ taraftaki CDE üçgeninin hemen cosinüs teoremini yazıyorum.
Neydi?
x'in karesi eşittir birin karesi, artı 5'in karesi eksi 2 çarpı bir çarpı 5 çarpı cos alfa.
Kosinüs neydi?
Komşu bölü hipotenüs.
Yani üç bölü beş olarak arkadaşlar şurayı hemen yazmış oldum.
Bakınız burası bir artı yirmi beş, yirmi altı eksi altı yani x kare eşittir yirmi.
x eşittir kök yirmiden iki kök beş santimetre olarak bulunmuş olur.
Dolayısıyla DE uzunluğunu da bulmuş olduk.
Yine cosinüs teoremini uygulayarak.
Sevgili arkadaşlar, evet, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.