Sinüs Fonksiyonunun Tersi

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz sinüs fonksiyonunun tersi.   Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkla, birebir  ve örten olması durumunda, tersi de bir fonksiyon   olur.
Yani aslında bir fonksiyonun tersinin olması  için gerek ve yeter şart, o fonksiyonun birebir   ve örten olmasıdır.
Eğer bir fonksiyon birebir  ve örtense tersi vardır.
Sinüs fonksiyonunun da   belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması  durumunda tersi olacaktır ve bu fonksiyona biz,   "arcsin" fonksiyonu adını vereceğiz yani arcsinüs,  sinüsün ters trigonometrik fonksiyonu diyeceğiz.   Şimdi buna göre, sinüs eksi pi bölü 2, artı pi  bölü 2 kapalı aralığından [-1,1] kapalı aralığına   tanımlanırsa, tersi olan arcsin fonksiyonu  ki yukarıda tanımladığımız sinüs bu aralıkta   birebir ve örtendir.
Bu durumda arcsin fonksiyonu  yani sinüsün ters trigonometrik fonksiyonu [-1,1]   kapalı aralığından eksi pi bölü 2, artı pi  bölü 2 kapalı aralığına tanımlanmış olur.
Bu   iki fonksiyon arasındaki bağıntıyı aslında  biz şu şekilde de gösterebiliriz yani f(x)   eşittir sinüsx ise f(x)'in tersinde x yani sinüsün  ters fonksiyonunda arcsinx şeklinde gösterilir.   Örneğin işte, sinüs pi bölü 3 bunun karşılığı kök  söylemiştik.
f(x) eşittir y ise f(x)'in tersinde  y de x yani biz şu içini ve dışını fonksiyonu   yer değiştirdiğimizde, bu fonksiyonun tersi  fonksiyonunu bulmuş oluyoruz.
Şimdi burada da aynı   şey var, şu ikisini yer değiştirirsek ne olur  arcsin kök 3 bölü 2 eşittir, pi bölü 3 olur.   Dolayısıyla işte sinüsün ters fonksiyonuna arcsin  tanımlanmış oldu ya da arcsin eksi 1 bölü 2,   değiştirirsek bir fonksiyonun tersinin tersi yani   f ters üzeri -1'in tekrar eksi birinci kuvveti  f'tir.
Dolayısıyla arcsin'in tekrar tersine   aldığımızda, şu ikisini yer değiştirdiğimizde  sinüs olacak.
Sinüs 11 pi bölü 6 eşittir,   gerçekten eksi 1 bölü 2'ye eşit olmuş olacak,  sevgili arkadaşlar.
Evet, şimdi isterseniz   artık konumuzla ilgili örneklere geçelim.
Cos  içerisinde arcsin eksi kök 3 bölü 2 ifadesinin   eşitini bulunuz diyor.
Yapacağımız şey şu  arkadaşlar, hemen şuraya x diyoruz.
Tamam,   yani bize ifade neyi soruyor aslında kosinüs x'i  soruyor, bunu unutmayalım.
Peki ben kime x dedim,   şuraya yazalım.
Arcsinüs eksi kök 3 bölü 2'ye  ne dedim ben sevgili arkadaşlar, x dedim.   Dolayısıyla burada sinüs x'de eksi kök  Şimdi sinüsün eksi kök 3 bölü 2 olduğu yer  neresi?
Önce isterseniz şuna cevap verelim,   sinüs nerede artı kök 3 bölü 2, 60 derecede şimdi  bunu eksi yapabilmek için ya 3.
ya da 4.
bölgeye   almak lazım ama üçüncü bölgede arcsin tanımlı  değil ki.
Nerede tanımlı?
Dördüncü bölge hani eksi   pi bölü iki artı pi bölü iki demiştik.
1'de ve  dolayısıyla eksi 60 ne demek aslında, bu durumda  x eşittir 300 derece demek.
Bu şekilde ifade   edebiliriz.
Şimdi bana neyi soruyor dikkat  ederseniz.
Kosinüs 300 derece nedir, diye   sormuş oluyor, bunu isterseniz indirgeme bağıntısı  kullanarak da yapabiliriz.
Bunun yerine ne yazarız   işte kosinüs 360, eksi 60 dikkat edersen  geri geliyor dördüncü bölgede kosinüs zaten artı  arkadaşlar, hani eksik yutma muhabbetiydi.
Bu,   artı kosinüs 60'a eşittir.
Yani bu da işte sinüs  sorunumuzu çözmüş oluruz ve hiç vakit kaybetmeden  sıradaki sorumuza geçelim.
Tanjant pi bölü 2 eksi   arcsin 3 bölü 5 ifadesinin eşiti bulunuz, diyor.  Şimdi bunu da indirme bağıntısını kullanalım.   Tanjanttan, pi bölü 2'den geri geliyoruz aslında.  Şimdi pi bölü 2'den geri gelirsek, birinci bölgeye   düşeriz.
Tanjantın birinci bölgedeki işareti artı  ama pi bölü 2'den geldiğim için isim değişir,   kotanjant arcsin 3 bölü 5, ifadesinin  değerini bize soruyor.
Yani ne yapıyorduk?
   Şuraya hemen x diyorduk ya ve bana ifade aslında  kotanjant x nedir bunu soruyor.
Verdiği bir şey   var, arcsinüs 3 bölü 5'e siz x dediniz.
Bu durumda  da sinüsx 3 bölü 5 oldu.
Bakın her zaman burada   açıyı bulmanıza gerek yok.
Şimdi bir önceki soruda  açının değerini bulabilmiştik ama burada gerek yok   ki.
Niye gerek yok sinüs x'i vermiş, kotanjant  x'i soruyor.
Ne yapacağız arkadaşlar?
Hemen bir   tane dik üçgen çizeceğiz, bu çizdiğimiz dik  üçgen içerisine x'i yerleştiriyorum, sinüs   neydi?
Karşı bölü hipotenüstü.
3 bölü 5'i yazdım  ve bu 3-4-5 üçgeni hipotenüsünü 5'in karesinden   diğer dik kenar 3'ün karesini çıkarttığımızda 16.  Kök 16'da 4'tür.
Diğer dik kenarı da bulmuş olduk   ve kotanjant x'i soruyor bana.
Kotanjant nedir?
  Komşu bölü karşıdır.
Yani 4 bölü 3 olarak, bize   sorduğu ifade bulunmuş olur diyebiliriz, sevgili  arkadaşlar.
Böylelikle bu sorumuzla birlikte bu   dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki  ders görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.